第二课时　换底公式及其应用

课标要求　1.了解自然对数和常用对数.2.记住对数的换底公式，会用换底公式解决对数式的化简，求值等问题.

素养要求　运用换底公式和对数的运算法则，发展学生的数学运算素养和逻辑推理素养.

自 主 梳 理

1.常用对数与自然对数

通常，我们将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N.

2.换底公式

对数换底公式logbN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1).特别地：logab＝.

温馨提醒　(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择.

(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题.

如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)＝log53.(×)

提示　＝log35.

(2)＝.(√)

2.log29×log34等于________.

答案　4

3.log35·log56·log69＝________.

答案　2

解析　原式＝··＝＝＝2.

4.log927＝________.

答案　

解析　log927＝＝＝.

题型一　用换底公式求值

例1 (1)计算(log43＋log83)(log32＋log92).

(2)已知log918＝a，9b＝5，用a，b表示log7245的值.

解　(1)原式＝＝

×＝×＝.

(2)∵9b＝5，∴log95＝b.

则log7245＝＝＝＝.

又∵log918＝a，

∴log9(2×9)＝log92＋1＝a，

∴log92＝a－1，

∴log7245＝＝.

思维升华　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算法则对同底数的对数进行运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.

训练1 (1)求值：log89×log2732.

(2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.

解　(1)法一　log89×log2732＝×＝×＝.

法二　log89×log2732＝log2332×log3325＝log23×log32＝.

(2)∵log23＝a，

∴log37＝＝＝b.

∴log27＝ab.

∴log1456＝＝＝＝.

题型二　用换底公式证明

例2 已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.

证明　不妨设3a＝4b＝6c＝m，

则m＞0且m≠1，

于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.

则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，

＝logm6，

于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝.

因此等式成立.

思维升华　1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形.

2.由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换.

训练2 已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.

证明　由已知可得m＝log210，n＝log510，

因此＝lg 2，＝lg 5，

于是＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，

即＝1，故m＋n＝mn.

题型三　用已知对数表示其他对数

例3 已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.

解　由18b＝5，得log185＝b.

又log189＝a，

则log3645＝＝＝＝

＝＝.

思维升华　用已知对数表示其他对数的思路

(1)统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；

(2)分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值.

训练3 (1)已知log142＝a，试用a表示log7.

(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.

解　(1)法一　因为log142＝a，

所以log214＝.

所以1＋log27＝.

所以log27＝－1.

所以log7＝2log27＝2＝.

法二　由对数换底公式，

得log142＝＝＝a.

所以2＝a(log7＋2)，

即log7＝.

(2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝，所以log245＝2a＋＝.

[课堂小结]

1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：

一是先依照运算法则：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底.

二是一次性地统一换为常用对数或自然对数，再化简、通分、求值.

三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logambn＝logab.

2.对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用.

一、基础达标

1.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)

A.2   B. 

C.100   D.

答案　C

解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，

∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－＝2，

∴ab＝100.故选C.

2.已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为(　　)

A.a－b   B. 

C.ab   D.a＋b

答案　B

解析　log32＝＝，故选B.

3.化简等于(　　)

A.log54   B.3log52 

C.2   D.3

答案　D

解析　＝log28＝log2(23)＝3.

4.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为(　　)

A.b－a＋1   B.b(a－1)

C.b－a－1   D.b(1－a)

答案　A

解析　lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg ＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.

5.若log5×log36×log6x＝2，则x等于(　　)

A.9   B. 

C.25   D.

答案　D

解析　由换底公式，得××＝2，

lg x＝－2lg 5＝lg 5－2，x＝5－2＝.

6.(log169＋log649)(log94＋log814)＝________.

答案　

解析　原式＝(log43＋log83)(log32＋log92)

＝

＝log23×＝.

7.若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于________.

答案　

解析　∵log512＝＝＝.

8.(log2125＋log425＋log85)×(log52＋log254＋log1258)＝________.

答案　13

解析　法一　原式＝×

＝×

＝×＝13.

法二　原式＝(log253＋log2252＋log235)×(log52＋log5222＋log5323)

＝(3log25＋log25＋log25)×(log52＋log52＋log52)

＝log25×3log52＝×3＝13.

9.求值：(1)lg＋lg；

(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57.

解　(1)lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.

(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.

10.若26a＝33b＝62c≠1，求证：＋＝.

证明　设26a＝33b＝62c＝k (k≠1)，

那么∴

∴＋＝6×logk2＋2×3logk3＝6logk6＝3×2logk6＝，

即＋＝.

二、能力提升

11.(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　)

A.   B. 

C.   D.2

答案　AD

解析　令t＝logab，则t＋＝，

∴2t2－5t＋2＝0，即(2t－1)(t－2)＝0，

∴t＝或t＝2，

∴logab＝或logab＝2，

∴a＝b2或a2＝b，

又∵ab＝ba，

∴2b＝b2＝a或a2＝2a＝b，

∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4.

∴＝2或＝，故选AD.

12.已知lg 9＝a，10b＝5，用a，b表示log3645为________.

答案　

解析　∵lg 9＝a，10b＝5，∴lg 5＝b，

∴log3645＝＝＝＝＝

＝＝.

13.(1)求(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值.

(2)求a，b，c∈N＋，且满足a2＋b2＝c2，

求log2＋log2的值.

解　(1)原式＝×

＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5

＝log23×log32＋(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 5

＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝.

(2)因为a2＋b2＝c2，

所以log2＋log2＝log2

＝log2＝log2＝log2＝1.

三、创新拓展

14.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1).

(1)若设x＝at，试用a，t表示y；

(2)若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值.

解　(1)由换底公式，

得logax＋－＝3(a>1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝t，

所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝at2－3t＋3(t≠0).

(2)由(1)知y＝a(t－)2＋，

因为0<t≤2，a>1，

所以当t＝时，ymin＝a＝8.

所以a＝16，此时x＝a＝64.