数学湘教版（2019）4.1 实数指数幂和幂函数课后作业题

这是一份数学湘教版（2019）4.1 实数指数幂和幂函数课后作业题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知a>0，则a eq \s\up6(\f(1,4)) ·a－ eq \f(3,4) 等于( )
A．a－ eq \f(1,2) B．a－ eq \f(3,16) C．a eq \s\up6(\f(1,3)) D．a
2．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))
3．函数y＝ eq \r(lg x) ＋lg (5－3x)的定义域是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
4．设a＝lg20.3，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
5．函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) x2－1的单调递增区间为( )
A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，0)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－1))
6．函数f(x)＝ eq \f(ex＋1,|x|（ex－1）) (其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2＝0.301 0，则x的值约为( )
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
8．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≤0,ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))，x>0)) ，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
10．下列说法正确的是( )
A．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(1,x)在定义域上是减函数
B．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－x2有且只有两个零点
C．函数y＝2|x|的最小值是1
D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称
11．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，a≠1))图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>0
D．若012．已知函数f(x)＝2x＋lg2x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )
A．x0a C．x0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)的图象不经过原点，则实数m的值为________．
14．已知3a＝5b＝A，且b＋a＝2ab，则A的值是________．
15．已知函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
16．已知函数f(x)＝3|x＋a|(a∈R)满足f(x)＝f(2－x)，则实数a的值为________；若f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)求下列各式的值：
(1)＋2lg92－lg3 eq \f(2,9)
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(2,3))＋π0＋lg2 eq \f(2,3)－lg4 eq \f(16,9)
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg2(x＋3)－2x3＋4x的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：
(1)计算上述表格中的对应值a和b；
(2)从上述对应填表中，可以发现函数f(x)在哪几个区间内有零点？说明理由．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)若函数f(x)在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3，求3x＋3－x的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg4(4x－1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，求f(x)的值域．
21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100lg20x＋50，x∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3))).
(1)若函数F(x)＝－3f(x)＋10－m在区间(0，2)内存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若x∈(0，1]时，2ln h(x)－ln g(x)－t≥0恒成立，求实数t的取值范围．
章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数
1．解析：a eq \s\up6(\f(1,4))·a－ eq \f(3,4)＝＝a－ eq \f(1,2).
故选A.
答案：A
2．解析： 设f(x)＝2x－1＋x－5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y＝2x－1与y＝x在R上都是递增函数，所以f(x)在R上单调递增，故函数f(x)＝2x－1＋x－5最多有一个零点，而f(2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f(3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f(x)＝2x－1＋x－5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．
故选C.
答案：C
3．解析：要使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x≥0,5－3x>0))，解得1≤x< eq \f(5,3)，则函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))).
故选C.
答案：C
4．解析：a＝lg20.330＝1，c＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b>c>a.
故选D.
答案：D
5．解析：令t＝x2－1，则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t，因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t为单调递减函数，且函数t＝x2－1在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，0))上递减，所以函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，0)).
故选A.
答案：A
6．解析：由题意，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝ eq \f(e－x＋1,|－x|（e－x－1）)＝ eq \f(ex（e－x＋1）,|－x|（e－x－1）ex)＝ eq \f(ex＋1,|x|（1－ex）)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，排除A，B；当x→＋∞时， eq \f(ex＋1,ex－1)→1， eq \f(1,|x|)→0，即x→＋∞时， eq \f(ex＋1,|x|（ex－1）)→0，可排除D，
故选C.
答案：C
7．解析：∵2x＝ eq \f(5,2)，∴x＝lg2 eq \f(5,2)＝ eq \f(lg 5－lg 2,lg 2)＝ eq \f(1－2lg 2,lg 2)＝ eq \f(1－2×0.301 0,0.301 0)≈1.322.
故选A.
答案：A
8．解析：作出y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x）))的图象如图，
由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax≤|f(x)|，则a≤0，且ax≤x2－2x(x<0)，即a≥x－2对任意x<0恒成立，所以a≥－2，综上－2≤a≤0.
故选D.
答案：D
9．解析：当α＝－1时，幂函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A不符合；当α＝1时，幂函数y＝x，符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选BD.
答案：BD
10．解析：对于A，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(1,x)在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，命题正确．
故选CD.
答案：CD
11．解析：由题2＝lga4，a＝2，故f(x)＝lg2x.
对A，函数为增函数正确．
对B, f(x)＝lg2x不为偶函数．
对C，当x>1时， f(x)＝lg2x>lg21＝0成立．
对D，因为f(x)＝lg2x往上凸，故若0故选ACD.
答案：ACD
12．解析：易知函数f(x)＝2x＋lg2x在(0，＋∞)为增函数，
由f(a)f(b)f(c)<0, 则f(a)，f(b)，f(c)中为负数的个数为奇数，对于选项A，B，C可能成立．
故选ABC.
答案：ABC
13．解析：由函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m是幂函数，
所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2；
当m＝－1时，f(x)＝x－1，图象不经过原点，满足题意；
当m＝2时，f(x)＝x8，图象经过原点，不满足题意；
所以m＝－1.
答案：－1
14．解析：由 3a＝5b＝A，得a＝lg3A，b＝lg5A.
当a＝b＝0时，A＝1，满足条件．
当ab≠0时，由b＋a＝2ab，即 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝2，将a，b代入得：
eq \f(1,lg3A)＋ eq \f(1,lg5A)＝2，即lgA3＋lgA5＝lgA15＝2，得A＝ eq \r(15)，
所以A＝ eq \r(15)或1.
答案： eq \r(15)或1
15．解析：函数f(x)＝lga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].
当a>1时，f(x)＝lga(－x＋1)单调递减，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－2）＝lga3＝0，,f（0）＝lga1＝－1，))无解；
当0∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－2）＝lga3＝－1，,f（0）＝lga1＝0，))解得a＝ eq \f(1,3).
∵g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x＋m)－3的图象不经过第一象限，
∴g(0)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(m)－3≤0，解得m≥－1，即m的取值范围是[－1，＋∞).
答案：[－1，＋∞)
16．解析：(1)∵f(x)＝f(2－x)，取x＝0得，f(0)＝f(2)，
∴3|a|＝3|2＋a|，即|a|＝|2＋a|，解得a＝－1；
(2)由(1)知f(x)＝3|x－1|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－1，x≥1，,31－x，x<1，))
f(x)在(－∞，1)上单调递减，
在[1，＋∞)上单调递增．
∵f(x)在[m，＋∞)上单调递增，
∴m≥1，m的最小值为1.
答案：－1 1
17．解析：(1)原式＝ eq \f(1,4)＋(lg32－lg3 eq \f(2,9))＝ eq \f(1,4)＋2＝ eq \f(9,4)；
(2)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋1＋lg2 eq \f(2,3)－lg2 eq \f(4,3)
＝ eq \f(4,9)＋1＋lg2 eq \f(1,2)
＝ eq \f(4,9).
18．解析：(1)由题意可知a＝f(－2)＝lg2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8，
b＝f(1)＝lg24－2＋4＝4.
(2)∵f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．
19．解析：(1)f(x)＝2x为R上的增函数，则f(x)在区间[a，2a]上为增函数，
∴f(x)min＝2a，f(x)max＝22a，
由22a＋2a＝6，得22a＋2a－6＝0，即2a＝－3(舍去)，或2a＝2，即a＝1；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3，则2 eq \s\up6(\f(1,x))＝3，即 eq \f(1,x)＝lg23＝ eq \f(lg 3,lg 2)＝ eq \f(1,\f(lg 2,lg 3))＝ eq \f(1,lg32)，则x＝lg32，
∴3x＋3－x＝3lg32＋3－lg32＝2＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(5,2).
20．解析：(1)∵f(x)＝lg4(4x－1)，
∴4x－1>0解得x>0，
故函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)令t＝4x－1，
∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∴t∈[1，15]，
∴y＝lg4t∈[0，lg415]，
∴f(x)∈[0，lg415]，
即函数f(x)的值域为[0，lg415].
21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000，9 000]为增函数，
且对∀x∈[3 000，9 000]，恒有f(x)≥100且f(x)≤ eq \f(x,5).
①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f(3 000)＝98＜100，不符合要求；
②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f(x)＝100lg20x＋50在[3 000，10 000 ]，
显然f(x)为增函数，且当x＝3 000时，f(3 000)>100lg2020＋50≥100；
又因为f(x)≤f(9 000)＝100lg209 000＋50<100lg20160 000＋50＝450；
而 eq \f(x,5)≥ eq \f(3 000,5)＝600，所以当x∈[3 000，9 000]时，f(x)max≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,5)))min.
所以f(x)≤ eq \f(x,5)恒成立；
因此，f(x)＝100lg20x＋50为满足条件的函数模型．
(2)由100lg20x＋50≥350得：lg20x≥3，所以x≥8 000，
所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．
22．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3)))，
所以a eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \r(3)，解得a＝3，
则f(x)＝3x，
因为x∈(0，2)，故1＜3x＜9，
令t＝3x，则1＜t＜9，
函数F(x)＝－3f(x)＋10－m在区间(0，2)内存在零点，
即函数G(t)＝－3t＋10－m在区间(1，9)内有零点，
所以G(1)·G(9)＜0，即(7－m)(－17－m)＜0，解得－17＜m＜7，
所以实数m的取值范围为(－17，7)；
(2)由题意可得，函数f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＝g（x）＋h（x）＝3x,f（－x）＝g（－x）＋h（－x）＝3－x))，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（x）＋h（x）＝3x,－g（x）＋h（x）＝3－x))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（x）＝\f(3x－3－x,2),h（x）＝\f(3x＋3－x,2),))，
因为2ln h(x)－ln g(x)－t≥0，
所以t≤ln eq \f(h2（x）,g（x）)＝ln eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋3－x,2)))\s\up12(2),\f(3x－3－x,2))
＝ln eq \f(（3x－3－x）2＋4,2（3x－3－x）)，
设a＝3x－3－x，
因为0＜x≤1，且a＝3x－3－x在R上为单调递增函数，
所以0＜a≤ eq \f(8,3)，
所以t≤ln eq \f(a2＋4,2a)＝ln eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(4,a)))))，
因为a＋ eq \f(4,a)≥2 eq \r(a·\f(4,a))＝4，
当且仅当a＝ eq \f(4,a)，即a＝2时取等号，
所以t≤ln 2，
故实数t的取值范围为(－∞，ln 2].x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
f(x)
a
－1
1.58
b
－5.68
－39.42
－109.10
－227