专题6.13 平行四边形-折叠问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题6.13 平行四边形-折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为　　

A． B． C． D．
2．如图，已知平行四边形，，将平行四边形沿直线折叠，点A落在点E处，连结，，若.则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）

A．沿所在直线折叠后，和重合
B．沿所在直线折叠后，和重合
C．以为旋转中心，把逆时针旋转后与重合
D．以为旋转中心，把逆时针旋转后与重合
4．有一张平行四边形纸片，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
7．在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD的面积等于（　　）
A．48 B．10 C．12 D．24
8．有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）

A．60° B．55° C．50° D．45°
9．如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）

A．27° B．32° C．36° D．40°
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
11．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点恰好落在边上的点处，折痕为，那么对于结论：①，②.下列说法正确的是( )

A．①②都错 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都对
12．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么下列说法不正确的是（　　）

A．MN∥BC B．MN＝AM C．AN＝BC D．BM＝CN


二、填空题
13．如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________．
①；②；③；④

14．如图，平行四边形纸片ABCD中，AC=，∠CAB=30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN=_____．

15．如图，在中，，点的坐标为，，、分别是射线、线段上的点，且，以、为邻边构造平行四边形，①若线段与交于点，当时，则_______；②把沿着进行折叠，当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时，则_______．

16．如图，平行四边形ABCD，将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN，已知，则_______．

17．如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=__度．

18．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为_______．

19．如图，把平行四边形 折叠，使点 与点 重合，这时点 落在 ，折痕为 ，若 ，则 _______________．

20．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点处．若，则为_________．

21．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ________．

22．如图，在平行四边形中，为边上点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为_________．

23．如图，在平行四边形中，点在边上，将沿折叠得到，点落在对角线上．若，，，则的周长为________．

24．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF．若∠A＝45°，AD＝，AB＝8，则AE的长为_____．

25．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度．


三、解答题
26．如图(1) ，折叠平行四边形，使得分别落在边上的点，为折痕

(1)若，证明:平行四边形是菱形;
(2)若 ，求的大小;
(3)如图(2) ，以为邻边作平行四边形，若，求的大小
27．如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、．

（1）求的长；
（2）请补全图形并求折痕的长．
28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．

29．如图，为长方形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处.将边沿折叠，使点落在上的点处。

求证：四边形是平行四边形；
若，求四边形的面积。
30．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
31．已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.

（1）求证：；
（2）连接，求证：.
32．如图，在平行四边形中，，垂足为点，将平行四边形折叠，使点落在点的位置，点落在点的位置，折痕为.
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）连接，求证：四边形是矩形.

33．已知：将▱ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．

34．如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处;再将矩形沿折叠,使点落在点处且过点．

（1）求证:四边形是平行四边形;
（2）当是多少度时,四边形为菱形?试说明理由．
35．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求四边形的面积及与之间的距离．
36．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证：；
（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．
37．如图，将平行四边形沿折叠，恰好使点与点重合，点落在点处，连接、．

求证：．
判断四边形的形状，说明理由．
38．如图，在平行四边形中，，，，是射线上一点，连接，沿将三角形折叠，得三角形．

（1）当时，=_______度；
（2）如图，当时，求线段的长度；

（3）当点落在平行四边形的边上时，直接写出线段的长度．
39．如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．

40．如图，将▱ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE．
求证：四边形是平行四边形；
若BE平分：
则四边形是______；填哪一种特殊的平行四边形
求证：．

41．如图，将沿过点的直线折叠，使点落到边上的处，折痕交边于点，连接.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求证：.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系内画出各函数图像即可判断.
【详解】
直线，，，在同一直角坐标系中的图像如图：
由图可知围成的四边形为平行四边形，故选C.

【点拨】
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数图像的画法.
2．C
【分析】
平行四边形的对边相等且互相平行，所以AB=CD，AB=6，D的横坐标为1，加上6为7，所以C的横坐标为7，因为CD∥AB，D的纵坐标和C的纵坐标相同为3．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD AB=6，
∴CD=6，
∵D点的横坐标为1，
∴C点的横坐标为1+6=7，
∵AB∥CD，
∴D点和C点的纵坐标相等为3，
∴C点的坐标为（7，3）．
故选：C．
【点拨】
本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，关键是知道和x轴平行的纵坐标都相等，向右移动几个单位横坐标就加几个单位．
3．D
【分析】
根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A和点C关于原点对称，所以点C的坐标为.
【详解】
解：∵在平行四边形ABCD中，点A和点C关于原点对称
∴点C的坐标为
故选D.
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系. 要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键.
4．B
【分析】
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：①当AB∥CD，AD∥BC时；②当AB∥CD，AC∥BD时；③当AD∥BC，AC∥BD时；分别求出D的坐标即可．
【详解】
解：如图所示

∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：如图所示：
①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（2，1）；
②当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（0，-1）；
③当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（-2，1）．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的判定，要求学生掌握平行四边形的判定并会灵活运用，注意分类讨论．
5．A
【分析】
以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，
∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，
故选：A．
【点拨】
本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．
6．C
【分析】
根据已知条件得到过点P（1，-2）的直线一定过平行四边形OABC的对称中心，设平行四边形OABC的对称中心为点E，求得E（3，2），设该直线的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论．
【详解】
解：连接AC、OB交于点E，

∵过点P（1，-2）的直线将▱OABC分成面积相等的两部分，
∴过点P（1，-2）的直线一定过点E，
则OE=BE，
∵B（6，4），
∴E（3，2），
设该直线的解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得：，
∴该直线的解析式为y=2x-4，
故选：C．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】
作出图形，结合图形进行分析可得.
【详解】
如图所示：

①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；
③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），
故选B.
8．A
【解析】
解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1、▱ABOC2、▱AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，
故选A．

9．A
【分析】
经过平行四边形对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，故先求出对角线的交点坐标，再代入直线解析式求解．
【详解】
解：如图，连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F，
∵四边形ABCO为平行四边形，B的坐标为（4，6），∴ME=BF=3，OE=OF=2，∴点M的坐标为（2，3），∵直线y=kx+3k将▱ABCO分割成面积相等的两部分，∴该直线过点M，∴3=2k+3k，∴k=．
故选A．

【点拨】
本题考查1.平行四边形的性质；2.一次函数图象上点的坐标特征．
10．D
【详解】
A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，

当第四个点为（3，-1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，

当第四个点为（-1，-1）时，
∴BO=AC2=2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，

当第四个点为（1，1）时，
∴BO=AC3=2，
∵A，C3，两点纵坐标相等，
∴C3O=BC3=，
同理可得出AO=AB= ，
进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，
∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；
D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形；
∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选D．
11．B
【分析】
过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标．
【详解】
∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，

∵A（20，0），
∴OE=OM-ME=OM-CF=10-8=2．
连接MC，则MC=OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得
∴点C的坐标为（2，6）．
故选：B．
【点拨】
本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题关键．
12．C
【分析】
在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．
【详解】
解：如图，因为A、D两点横坐标相等，B、C两点横坐标相等，

所以，AD∥y轴，BC∥y轴，
∴AD∥BC．
∵AD=BC，AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
同理，CD∥AB，
∴CD⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形．
故选：C．
【点拨】
本题考查了坐标与图形性质．注意“数形结合”数学思想的应用．
13．D
【分析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8-4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则，
如图所示，

当直线经过D点，设交AB与N，则，作于点M．
与轴形成的角是，轴，
，则△DMN为等腰直角三角形，
设
由勾股定理得，
解得，即DM=2
则平行四边形的面积是：．
故选：D．
【点拨】
本题考查一次函数与几何综合，解题的关键利用l与m的函数图像判断平行四边形的边长与高．
14．D
【解析】
试题分析：在平面直角坐标系中，平行四边形OABC，所以C点应该在第四象限，根据第四象限点坐标的特点（横坐标为正，纵坐标为负），所以该选D；根据平行四边形的性质，OA=BC，因为OA=，所以BC=，由题意得C点的纵坐标为-2，因为BC==，所以x=3,因此顶点C的坐标是（3，-2）
考点：平行四边形
点评：本题考查平行四边形，考生解答本题需要掌握平行四边形的性质，根据平行四边形的性质来求出点的坐标
15．B
【解析】
【分析】
首先连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，E是平行四边形ABCD的中心，即可得AC过点E，易证得△AEG≌△CEH，继而求得答案．
【详解】
连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，

∵E是平行四边形ABCD的中心，
∴AC过点E，
∴AE=CE，
在△AEG和△CEH中，
，
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴EG=EH，CH=AG，
∵E的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，1），
∴EH=EG=4，CH=AG=1，
∴OH=OE+EH=6，
∴点C的坐标为：（6，-1）．
故选B．
【点拨】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．D
【分析】
由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为(3,2)，
∴点B的坐标为(−3,−2).
故答案选：D.
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.
17．D
【分析】
先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=x+1上，所以当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．
【详解】
解：如图,

∵点B(3m，4m+1)，
∴令，
∴y=x+1，
∴B在直线y=x+1上，
∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，
∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上，
∴E(−，0)，G(0，1)
∵F是AC的中点
∵A(0，−2)，点C(6，2)，
∴F(3，0)
在Rt△BEF中，
∵BH2=EH⋅FH，
∴(4m+1)2=(3m+)(3−3m)
解得：m1=−(舍)，m2=，
∴B(，)，
∴BD=2BF=2×=6，
则对角线BD的最小值是6；
故选：D．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．
18．C
【分析】
① 根据题意证明，得出对应边成比例，再根据把线段三等分，证得，即可证得结论；
② 延长BC交y轴于H，证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；
③ 利用面积差求得，根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行计算并作出判断；
④ 根据勾股定理，计算出OB的长，根据三等分线段OB可得结论.
【详解】
作AN⊥OB于点N，BM⊥x轴于点M，如图所示：

在平行四边形OABC中，点的坐标分别是, ,
∴
又∵把线段三等分，
∴
又∵，
∴
∴
∴
即，①结论正确；
∵，
∴
∴平行四边形OABC不是菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
故△OFD和△BEG不相似，故②错误；
由①得，点G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴，
又∵把线段三等分，
∴
∵
∴
∵
∴四边形DEGH是梯形
∴，故③正确；
，故④错误；
综上：①③正确，
故答案为C.
【点拨】
此题主要考查勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、线段的中点，熟练运用，即可解题.
19．A
【分析】
在x轴上顺时针翻滚，四次一个循环，推出第五次翻滚后，点A的坐标，再利用平移的性质求出C的对应点坐标即可．
【详解】
连接AC，过点C作CH⊥OA于点H，
∵四边形OABC是平行四边形，A(2，0)、B(3，1)，
∴C(1，1)，
∴∠COA=45°，OC=AB=，
∴OH= OC÷=1，
∴AH=2-1=1，
∴OA=AH，
∴OC=AC，
∴∆OAC是等腰直角三角形，
∴AC⊥OC，
∵在x轴上顺时针翻滚，四次一个循环，
∴第五次翻滚后点，A的坐标为(6+2，0)，把点A向上平移个单位得到点C，
∴第五次翻滚后，C点的对应点坐标为．
故选：A．

【点拨】
本题主要考查图形与坐标，涉及平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及平移的性质，找到点的坐标的变化规律，是解的关键．
20．15
【解析】
【分析】
结合网格特点利用平行四边形的面积公式进行求解即可.
【详解】
由题意AD＝5，平行四边形ABCD的AD边上的高为3，
∴S平行四边形ABCD＝5×3＝15，
故答案为：15．
【点拨】
本题考查了网格问题，平行四边形的面积，熟练掌握网格的结构特征以及平行四边形的面积公式是解题的关键.
21．24
【分析】
由O(0，0)，A(－6，8)，可得AO的解析式为，由B(m，m－4)，可得点B在直线上，设直线与x轴交于点C，则点C坐标为，依据，即可得到．
【详解】
解：∵直线AO经过原点，可设直线AO的解析式为，
代入A(－6，8)得：，解得：，
∴直线AO的解析式为，
又∵B(m，m－4)，
∴点B在直线上，直线与直线AO平行，
∵四边形OABD是平行四边形，则，
∴点D也在直线上，
设直线与x轴交于点C，
将代入得：，解得：，
∴点C坐标为，
则，
∴，
故答案为：24．

【点拨】
本题主要考查了一次函数实际应用-几何问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
22．，
【解析】
【分析】
根据题意，可分两种情况，点A在y轴正半轴或负半轴，画出图形，根据直角三角形的性质，求出点C′的坐标，点C″与C′关于原点对称．
【详解】
如图：

∵∠AOB=60°，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，
∴∠A′EC′=90°，
∵∠A′C′B=60°，
∴∠A′C′E=30°，
∵A′E=2，A′C′=4，
∴EC′=2，A′E=1，
∴C′（2，4），
∵点A′与A″关于原点对称，
∴点C″与C′关于原点对称．
∴点C″（-2，-4）．
故答案为：（2，4），（-2，-4）
【点拨】
本题考查了坐标与图形的变换-旋转的性质以及勾股定理的应用，是基础知识要熟练掌握．
23．
【分析】
过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得CD的长，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′=．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F，则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′==，进而求得OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．
【详解】

解：∵OC=OC′,CC′⊥y轴,A,B的坐标分别为(6,0),(7,3)，
∴点C到y轴的距离：7−6=1.
∴O′C=O′C′=1,O点到CC′的距离是3，
∴OC=OC′=,S△OCC′=×2×3=3.
如图,过点C作CD⊥OC′于点D,则OC′×CD=3，
∴CD=,sin∠COC′==,tan∠COC′=.
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′=.
如图，过E作x轴的垂线，交x轴于点F，则EF=OO′=3.
∵tan∠AOE=，
∴OF= =4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5.
故答案为5.
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质与解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质与解直角三角形.
24．（2，3）
【解析】
试题分析：连接OB、AC，根据O、B的坐标易求点P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出点C的坐标．
解：连接OB、AC
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴点P的坐标（1．5，0．5），
∵A（1，-2），
∴C点的坐标（2，3），
故答案为（2，3）．

考点：平行四边形的性质；坐标与图形的性质．
25．8
【解析】
试题分析：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8-4=4，
当直线经过D点，设交AB与N，则，作DM⊥AB于点M．

∵y=-x与x轴形成的角是45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠DNM=45°，
∴DM=DN•sin45°，
则平行四边形的面积是：AB•DM=4×2=8．
考点：动点问题的函数图象
26．5-5
【解析】
试题分析：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键.利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A点位置，进而求出AO的长．
试题解析：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E， 当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵菱形ABCD中，BC=10，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，
故AO的最小值为：AO=AE-EO=ABsin60°-×BD=5-5．
故答案为5-5

考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形性质．
27．y=-x+4
【分析】
根据平行四边形的性质得到OA∥BC，OA=BC，由已知条件得到C（2，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，列方程组即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∵A（4，0），B（6，2），
∴C（2，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
故答案为y=-x+4．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．
28．
【分析】
首先根据点A的坐标求得OA的长，然后求得PO的长，从而求得点P到y轴的距离即可．
【详解】
解：∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵∠DAB＝60°，OP⊥AD，
∴∠AOP=30°，
∴AP=1，
∴OP＝，

作PE⊥y轴，
∵∠POA＝30°，
∴∠OPE＝30°，
∴OE=
∴PE＝，
∴点P到y轴的距离为，
故答案为．
【点拨】
考查了平行四边形的性质，能够将点的坐标转化为线段的长是解答本题的关键，难度不大．
29．3
【分析】
作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．
【详解】
解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）．
故答案为：3．

【点拨】
本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．
30．.
【分析】
根据题意，点C在直线上，则可分为两种情况进行讨论：①当AB与CD是对角线时，②AB与CD是边时；CD是对角线时CF⊥直线时，CD最小．CD是边时，CD=AB=10，通过比较即可得出结论．
【详解】
解：根据题意，点在直线图像上，
①当AB与CD是对角线时，AB与CD相交于点F，
则当CF⊥直线时，CD最小；如图：

∵，，
由平行四边形的性质，点F为AB的中点，
∴点F为（-3,4），
∵CF⊥直线，
设CF的直线解析式为：，
把点F代入，得：，
解得：，
∴CF的直线解析式为：；
∴，解得：，
∴点C坐标为：，
∴，
∴；
②当AB与CD是边时，如图：

∴CD=AB=；
∵，
∴CD的最小值为：；
故答案为.
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，求一次函数解析式，勾股定理，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质.注意对CD边进行分情况讨论.
31．
【分析】
根据题意求得E的坐标，根据待定系数法求得直线AC的解析式，从而得出过点E且到点C的距离最大的直线的斜率，设此直线为，代入E点，求得n的值，即可求得结论．
【详解】
解：∵▱ABCD的顶点A坐标（0，6），顶点B坐标（-2，0），顶点C坐标（8，0），
∴E（4，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，

解得
∵过点E且到点C的距离最大的直线垂直于AC，
∴此直线的比例系数为，
∴设此直线解析式为
∵经过E（4，3），

解得
∴过点E且到点C的距离最大的直线解析式为
故答案为
【点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确题意并求得E的坐标是解题的关键．
32．12
【解析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，
则AB=8﹣4=4，
当直线经过D点，则DF=3，作DM⊥AB于点M，

∵y=﹣x与x轴形成的角是45°，
又∵AB∥x轴，
∴∠DFM=45°，
∴DM=DF•sin45°=3×=3，
则平行四边形的面积是：AB•DM=4×3=12，
故答案为：12．
点拨：本题考查了函数的图象，根据图象理解AB的长度，正确得出平行四边形的高是关键.
33．点D的坐标为（0，6）．
【分析】
根据平行四边形的性质，得到A点坐标（2，4），然后根据待定系数法求过点A和点C的一次函数的解析式，求出后，常数项6即为D点的纵坐标，由于点D在y轴上，所以点D的坐标为（0，6）．
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∵B（8，4），C（6，0），
∴A（2，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x=0时，y=6
∴点D的坐标为（0，6）
【点拨】
本题考察了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，和一次函数一般形式的系数的含义，正确掌握待定系数法求函数解析式是初中数学课程的一个重难点，要熟记不同函数的一般形式，然后代入已知点坐标进行求解．
34．D（8，4）、（-2，-4）或（-4，4）．
【分析】
分情况讨论求解：①当BC=AD时，②BD=AC时，进行求解，即可解得D（-4，4）、（-2，-4）或（8，4）．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
（1）当BC=AD时，
∵A（-3，0）、B（3，0）、C（2，4），
∴D点坐标为（-4，4）、（-2，-4）
（2）BD=AC时，
∵A（-3，0）、B（3，0）、C（2，4），
∴D点坐标为（8，4）．
综上所述，D（8，4）、（-2，-4）或（-4，4）．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题关键要注意分情况进行求解，不能忽略任何一种可能的情况，同学们一定要注意这一点．
35．（1）；（2），，．
【分析】
（1）根据勾股定理的性质求出OC即可；
（2）根据平行四边形的性质判断出点D的位置即可；
【详解】
解：（1）∵，
∴，由勾股定理，得，
又，
∴，
∴．
（2）如图所示，点D的位置有三个，

组成的平行四边形分别是：，，，
∴，，．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
36．或
【分析】
分两种情况讨论：当点C在OB上时和当点C在BO的延长线上时，同样需要过点E作于点M，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求OD的长，即可求出m的值．
【详解】
当点C在OB上时，过点E作于点M，

，
，
．
，
，
．
，
，
．
∵四边形DEFA是正方形，
，
．
，
，
；
当点C在BO的延长线上时，过点E作于点M，

同理可得 ．
，
，
，
综上所述，m的值为或．
故答案为：或．
【点拨】
本题主要考查正方形的性质,等腰直角三角形的性质和一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．
37．（1）；（2）；；（3）能，
【分析】
（1）根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式；
（3）根据菱形的性质，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵OA＝3，OC＝4，
∴A（﹣3，0）、C（0，4）．
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣3，0）、C（0，4）代入y＝kx+b中，
得：，
解得：，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+4．
（2）∵C(0，4) B (0，m)
当点B在C点下方时

BC=4-m，
∴S=BC•OA=3(4-m)=-3m+12（m＜4）．
当B点在C点上方时
BC=m-4，
∴S=BC•OA=3(m-4)=3m-12（m>4）．
(3)能，当四边形ABCD是菱形时，AB＝BC
在RtΔAOB中 AB2＝OA2+OB2＝32+m2，
∴32+m2＝（4﹣m）2
解得：m＝，
∴B（0，）．
【点拨】
本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）学会构建方程解决问题．
38．（1）y＝x﹣4；（2）(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)
【分析】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，将点B坐标代入可求解；
（2）先求出点C坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】
（1）设直线AB解析式为：y＝x+b，过点B（6，2），
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4；
（2）如图，作点A关于直线y＝x的对称点A'，

∵直线AB与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣4），
∴点A关于直线y＝x的对称点A'（﹣4，0），
∴设直线A'B的解析式为：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝x+，
联立方程组得：
解得，
∴点C坐标为（1，1），
设点D（x，y），
若AB为对角线，则，
∴x＝5，y＝﹣3，
∴点D（5，﹣3），
若BC为对角线，则，
∴x＝7，y＝7，
∴点D（7，7），
若AC为对角线，则，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴点D（﹣5，﹣5），
综上所述：点D坐标为：(5，﹣3)或(7，7)或(﹣5，﹣5)．
【点拨】
本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
39．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在， (，)， (，)， (，)
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可求得OC的长，从而求得点C，D的坐标；
（2）分AD为对角线，DE为对角线，AE为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为(，)，即(3，2)，
设点N的坐标为(，)，

当AD为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当DE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，)；
当AE为对角线时，
，，
解得：，，
∴的坐标为(，) ．
【点拨】
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．
40．（1）D1(3，-2),D2（3,2），D3（-3,0）（2）y=13x+1（3）6.
【解析】
【分析】
（1）根据题意在直角坐标系内找到符合的D点坐标即可求解；
（2）可任意选择一点D，再根据A点坐标，利用待定系数法即可求出直线解析式；
（3）根据图像中平行四边形ABCD 即可求解面积.
【详解】
（1）如图，根据直角坐标系可得D点坐标为D1(3，-2),D2（3,2），D3（-3,0）
（2）设AD2的直线解析式为y=kx+b，
把A（0,1），D2（3,2）代入得1=b2=3k+b
解得b=1k=13，∴AD2的直线解析式为y=13x+1
（3）∵D3（3,0）∴平行四边形ABCD的面积为2×3=6.


【点拨】此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是根据题意找到各点坐标进行求解.