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第18章《平行四边形》——【期末复习】八年级数学下册章节知识点梳理（人教版）
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这是一份第18章《平行四边形》——【期末复习】八年级数学下册章节知识点梳理（人教版），文件包含第18章平行四边形教师版docx、第18章平行四边形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
知识点01：平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的定义既是性质，又是判定．
（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；
（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．
平行四边形的基本元素：边、角、对角线．
知识点02：平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；
（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；
（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．
知识点03：两条平行线之间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
性质：（1）两条平行线之间的距离处处相等；
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等．
知识点04：平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．
（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．
知识点05：三角形的中位线及其定理
定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．
（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．
（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点
知识点06：矩形的定义：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形．
（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可．
【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
知识点07：矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．
（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等；
②矩形的对角相等且四个角都是直角；
③矩形的对角线互相平分且相等；
④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴．
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．
知识点08：直角三角形斜边上的中线的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．
知识点09：矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的四边形是矩形．
【注意】（1）判定矩形的常见思路
（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
知识点10：菱形的定义：
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．
（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．
知识点11：菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形的四条边都相等．
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．
【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
（5）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半．
知识点12：菱形的判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四条边都相等的四边形是菱形．
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．
知识点13：正方形的定义：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；
②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
知识点14：正方形的性质：
（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角．
（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，
对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
知识点15：正方形的判定：
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•沙依巴克区校级期末）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
2．（2分）（2022春•岚山区期末）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上截取DE＝DC，在CB延长线上取一点F，连接EF，AF，且EF＝EC．下列四个结论：①BF＝BE；②∠BAF＝∠BCE；③∠AFE＝45°；④连接AE，则S四边形AECD＝2S四边形AFBE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的中点，AF，DE交于点P，连接BP，CP．则下列结论中：
①AF⊥DE；
②AD＝BP；
③∠BPE＝∠CDE；
④．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABGF与正方形ACDE，H为GD的中点，连接EH、FH，若S△AFH＝4，S△DEH＝6，则BC的长为（ ）
A．2B．2C．2D．4
5．（2分）（2022春•福田区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③；④若AB＝3，则，上述结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2分）（2022春•九龙坡区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAD＝30°，AC＝8，OM⊥BD交BC于点M，则OM的长为（ ）
A．4B．C．D．6
7．（2分）（2022春•蜀山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③OA＝OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱ABCD是正方形的有（ ）组．
A．3B．4C．5D．6
8．（2分）（2023春•拱墅区期末）如图，四边形EGFH的四个顶点分别在矩形ABCD的边和对角线上，已知AG＝CH，下列条件能使四边形EGFH是平行四边形的是（ ）
A．FH＝GEB．DF＝FCC．DF＝BED．FG＝FH
9．（2分）（2022春•东阳市期末）如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边FE上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点N．以下结论错误的是（ ）
A．EA+NG＝AN
B．△GQM的周长等于线段CH的长
C．△BQN的周长等于线段CM的长
D．△FNA的周长等于2DH+2HC
10．（2分）（2022春•綦江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．
A．③④B．①②④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DF交AC于点F，E是AF的中点，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，则∠DFE的度数为 ．
12．（2分）（2022春•乐山期末）如图，正方形ABCD的边长，AB＝2点P为AB边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连结DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为 ．
13．（2分）（2022春•青羊区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝ ．
14．（2分）（2022春•潍坊期末）如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝12，∠B＝45°，CD⊥AB，垂足为D，线段AB上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，以线段PD（PD≠0）为边向上作正方形PDMN，设点P运动的时间为t，当点N落在△ABC的边上时，t的值为 秒．
15．（2分）（2022春•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝ 秒．
16．（2分）（2022春•无锡期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，则AD的长度为 ，N为直线AD上一点，作OD关于直线ON对称的线段OM，若OM⊥AD，则线段DN的长度为 ．
17．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
18．（2分）（2022春•曲阜市期末）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
19．（2分）（2021春•安顺期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③AB＝HF．其中正确的有 ．
20．（2分）（2022春•浦东新区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：
（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．
22．（6分）（2022春•鄂城区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在对角线AC上，且AE＝CF，AG＝CH．
（1）求证：四边形FGEH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝2，BC＝4，求线段AE的长．
23．（6分）（2022春•石狮市期末）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，以点A为圆心，AB为半径作弧，交BC于点E，连接EO并延长交AD于点F．
（1）求证：∠AEB＝∠D；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，并延长BG交AC于点H，∠ACB＝45°．
①求证：AB＝BH；
②若，求DF的长．
24．（8分）（2022春•武侯区期末）在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE＝DF，连接AF，CE．
（1）如图1，求证：∠BEC＝∠DFA；
（2）如图2，连接BD分别交AF，CE于点G，H，连接AH，CG．
（ⅰ）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（ⅱ）若AF⊥BD，∠ABC＝45°，AB＝17，AD＝7，求GH的长．
25．（8分）（2022春•庐阳区期末）如图，平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在线段BC上，AE＝CE，连接EO并延长交AD边于点F．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若∠AEC＝120°，EF＝4，直接写出菱形AECF的面积．
26．（8分）（2022春•鄞州区校级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面积为，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
27．（8分）（2019春•光明区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
28．（10分）（2022春•工业园区期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．
知识点01：平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的定义既是性质，又是判定．
（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；
（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．
平行四边形的基本元素：边、角、对角线．
知识点02：平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；
（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；
（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．
知识点03：两条平行线之间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
性质：（1）两条平行线之间的距离处处相等；
（2）夹在两条平行线间的平行线段相等．
知识点04：平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．
（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．
知识点05：三角形的中位线及其定理
定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．
（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．
（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点
知识点06：矩形的定义：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形．
（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可．
【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
知识点07：矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．
（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等；
②矩形的对角相等且四个角都是直角；
③矩形的对角线互相平分且相等；
④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴．
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．
知识点08：直角三角形斜边上的中线的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．
知识点09：矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的四边形是矩形．
【注意】（1）判定矩形的常见思路
（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
知识点10：菱形的定义：
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．
（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．
知识点11：菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形的四条边都相等．
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．
【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
（5）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半．
知识点12：菱形的判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四条边都相等的四边形是菱形．
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．
知识点13：正方形的定义：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；
②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
知识点14：正方形的性质：
（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角．
（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，
对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
知识点15：正方形的判定：
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•沙依巴克区校级期末）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
2．（2分）（2022春•岚山区期末）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上截取DE＝DC，在CB延长线上取一点F，连接EF，AF，且EF＝EC．下列四个结论：①BF＝BE；②∠BAF＝∠BCE；③∠AFE＝45°；④连接AE，则S四边形AECD＝2S四边形AFBE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的中点，AF，DE交于点P，连接BP，CP．则下列结论中：
①AF⊥DE；
②AD＝BP；
③∠BPE＝∠CDE；
④．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABGF与正方形ACDE，H为GD的中点，连接EH、FH，若S△AFH＝4，S△DEH＝6，则BC的长为（ ）
A．2B．2C．2D．4
5．（2分）（2022春•福田区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③；④若AB＝3，则，上述结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2分）（2022春•九龙坡区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAD＝30°，AC＝8，OM⊥BD交BC于点M，则OM的长为（ ）
A．4B．C．D．6
7．（2分）（2022春•蜀山区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③OA＝OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱ABCD是正方形的有（ ）组．
A．3B．4C．5D．6
8．（2分）（2023春•拱墅区期末）如图，四边形EGFH的四个顶点分别在矩形ABCD的边和对角线上，已知AG＝CH，下列条件能使四边形EGFH是平行四边形的是（ ）
A．FH＝GEB．DF＝FCC．DF＝BED．FG＝FH
9．（2分）（2022春•东阳市期末）如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边FE上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点N．以下结论错误的是（ ）
A．EA+NG＝AN
B．△GQM的周长等于线段CH的长
C．△BQN的周长等于线段CM的长
D．△FNA的周长等于2DH+2HC
10．（2分）（2022春•綦江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．
A．③④B．①②④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DF交AC于点F，E是AF的中点，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，则∠DFE的度数为 ．
12．（2分）（2022春•乐山期末）如图，正方形ABCD的边长，AB＝2点P为AB边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连结DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为 ．
13．（2分）（2022春•青羊区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝ ．
14．（2分）（2022春•潍坊期末）如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝12，∠B＝45°，CD⊥AB，垂足为D，线段AB上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，以线段PD（PD≠0）为边向上作正方形PDMN，设点P运动的时间为t，当点N落在△ABC的边上时，t的值为 秒．
15．（2分）（2022春•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝ 秒．
16．（2分）（2022春•无锡期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，则AD的长度为 ，N为直线AD上一点，作OD关于直线ON对称的线段OM，若OM⊥AD，则线段DN的长度为 ．
17．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
18．（2分）（2022春•曲阜市期末）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
19．（2分）（2021春•安顺期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③AB＝HF．其中正确的有 ．
20．（2分）（2022春•浦东新区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：
（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．
22．（6分）（2022春•鄂城区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在对角线AC上，且AE＝CF，AG＝CH．
（1）求证：四边形FGEH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝2，BC＝4，求线段AE的长．
23．（6分）（2022春•石狮市期末）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，以点A为圆心，AB为半径作弧，交BC于点E，连接EO并延长交AD于点F．
（1）求证：∠AEB＝∠D；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，并延长BG交AC于点H，∠ACB＝45°．
①求证：AB＝BH；
②若，求DF的长．
24．（8分）（2022春•武侯区期末）在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE＝DF，连接AF，CE．
（1）如图1，求证：∠BEC＝∠DFA；
（2）如图2，连接BD分别交AF，CE于点G，H，连接AH，CG．
（ⅰ）求证：四边形AGCH是平行四边形；
（ⅱ）若AF⊥BD，∠ABC＝45°，AB＝17，AD＝7，求GH的长．
25．（8分）（2022春•庐阳区期末）如图，平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在线段BC上，AE＝CE，连接EO并延长交AD边于点F．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若∠AEC＝120°，EF＝4，直接写出菱形AECF的面积．
26．（8分）（2022春•鄞州区校级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面积为，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
27．（8分）（2019春•光明区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
28．（10分）（2022春•工业园区期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．
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