第三章 图形的平移与旋转——八年级数学下册期末复习章节知识点梳理（北师大版）

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理解并运用平移的性质解决实际问题；
理解并掌握旋转的性质及三要素并能解决一些较综合的有关旋转问题；
理解中心对称和中心对称图形的区别与联系，并在平面直角坐标系中加以运用。
【考点总结】
要点一、平移的基本性质：
1、经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。
2、平移的要素:确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
要点二、旋转的性质
1、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
2、三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点三、中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【例题讲解】
类型一、平移及平移性质
例1．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（ ）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．无法确定
【答案】B
【解析】由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积=12×3=36cm2．
考点：平移的性质.
【训练】如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC＇＝____.
【答案】5
解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，
∴顶点C平移的距离CC′=5．
故答案为5．
【点拨】本题考查平移的性质，简单题目．
【训练】将直线向上平移一个单位长度得到的一次函数的解析式为_______________.
【答案】
解：由平移的规律知，得到的一次函数的解析式为.
【训练】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余, 将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为________三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=____________．
【答案】直角 6
【解析】利用平移的性质可以知∠B+∠C=∠EFG+∠EGF，然后根据三角形内角和定理在△EFG中求得∠FEG=90°，则可得出△EFG的形状，根据平移的性质得BF＝AE，CG＝DE，由此即可求得FG的长.
解：∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置后，∠B的对应角是∠EFG，∠C的对应角是∠EGF，
又∵∠B与∠C互余，
∴∠EFG与∠EGF互余，
∴在△EFG中，∠FEG=90°（三角形内角和定理），
∴△EFG为Rt△EFG，
∵AB平移的长度AE=BF，CD平移的长度DE=CG，
∴FG的长度为BC-CG-BF=BC-（AE+ED）=8-2=6cm，
故答案为直角，6cm.
【点拨】本题考查了平移的性质，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．熟练掌握是解题的关键.
类型二、旋转及旋转性质
例2.如图把正方形绕着点O旋转，至少要旋转________度后与原来的图形重合．
【答案】90
【分析】根据正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答即可．
解：正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，
根据正方形的性质两对角线相互垂直，
所以正方形要绕它的中心至少旋转90°，才能与原来的图形重合，
故答案为：90.
【点拨】本题考查了正方形的性质及旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【训练】如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
【答案】(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F.
【解析】
试题分析：(1)因为△ABC经过旋转后到达△AEF的位置,则A点的对应点为A,于是可判断旋转中心为点A; (2)根据旋转的性质求解; (3)根据旋转的性质求解.
解：（1）它的旋转中心为点A；
（2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；
（3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.
类型三、对称中心及性质
例3、如图，已知三角形ABC与三角形成中心对称，找出它们的对称中心O．
【分析】连接两对对应点，交点即为所求的对称中心O．
解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．
如图所示：
．
【点拨】此题考查中心对称图形的对称中心确定方法，中心对称图形的性质：中心对称图形的对应点连线经过对称中心，，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
【训练】在平面直角坐标系中，点A（0,1）关于原点对称的点的坐标是_______.
【答案】(0,-1)
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.
解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
∴点A关于原点对称的点的坐标是(0,-1)
故填：(0,-1).
【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
类型四、综合训练
例4、已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF=30°，则CF=AC，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．
（2）成立．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．
∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．
又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF=2BC是解题的关键．
例5、如图,在Rt△ACB中,四边形DECF为正方形,回答下列问题.
(1)简述图1经过怎样的变换可形成图2?
(2)若AD=3,BD=4,求△ADE与△BDF的面积之和.
【答案】（1）把△ADE绕D点逆时针旋转90°得△A1DF；（2）6.
【分析】
（1）观察图形，发现DA旋转到DA1，DE旋转到DF，而∠EDF=90°，由旋转的定义即可描述由图（1）变成图（2）的形成过程；
（2）由图形的旋转可知，图形顺时针旋转了90°，即∠EDF=∠ADA1=90°，可得∠A1DB=90°，△ADE和△BDF面积的和即为△A1DB的面积．
解：(1)由题意可得,把△ADE绕D点逆时针旋转90°得△A1DF.
(2)由图及(1)知S△ADE+S△BDF=,
根据图形的旋转性质可知AD=A1D,∠ADE=∠A1DF,
又∵∠ADE+∠FDB=90°,
∴∠A1DF+∠FDB=90°,即∠A1DB=90°.
∴在Rt△A1DB中,A1D=AD=3,BD=4,
A1D×BD=6,
∴△ADE与△BDF面积之和为6.
【点拨】本题考查了旋转的性质，（1）熟记旋转的性质并确定出旋转角的度数是解题的关键，（2）通过旋转将两个图形“移”到同一个图形中去，便于计算面积．
例6、已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长.
【答案】，AD=5
【分析】
只要证明A、B、D、C四点共圆，即可推出∠BAD=∠BCD =60°，然后证明A、C、E三点共线，根据旋转的性质，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5．
解：∵的，以为边向形外作等边，
∴.
∴，，，四点共圆，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，，共线.
∵把绕点按顺时针方向旋转到位置且，
∴，
∴.
【点拨】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是充分利用旋转不变性解决问题，本题的突破点是证明A、C、E共线，△AED是等边三角形即可．
例7、如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；通过作图，你发现了△ABC中任意一点（x，y）关于原点中心对称后的点坐标为 ．
（2）已知点M坐标为（m，n），点P的坐标为（2，－3），则点M关于点P中心对称的点N的坐标为 ．
【答案】（1）画图见解析,（-x，-y），（2）（-m +4，-n -6）
【分析】
（1）依据中心对称画图，即可得到△A1B1C1；根据关于原点对称的坐标变化规律，可得坐标；（2）将P点平移到原点，利用（1）的结论，求出N点坐标．
解：（1）△ABC关于原点对称的△A1B1C1如图所示，（x，y）关于原点中心对称后的点坐标为（-x，-y）
（2）将点P（2，－3）平移到原点，对应的点M坐标变为M1（m-2，n+3），M1（m-2，n+3）关于原点（即现在的点P）对称点M2的坐标为（-m+2，-n-3），再将点P平移回原来的位置，点M2的坐标变为（-m+4，-n-6），即点N的坐标为（-m+4，-n-6）
【点拨】本题考查了中心对称的画法以及关于原点对称点的坐标变化规律，通过平移点P，把关于任意一点成中心对称的问题转化为关于原点对称的问题是解决问题的关键，体现了数学的转化思想．