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专题6.15 平行四边形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）
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这是一份专题6.15 平行四边形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题6.15 平行四边形-动点问题（专项练习）
一、单选题
1．（2019·合肥一六八中学九年级月考）如图，点为平行四边形的边上一动点，过点作直线垂直于，且直线与平行四边形的另一边交于点．当点从匀速运动时，设点的运动时间为，的面积为，能大致反映与函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图在中，，，为边上一动点（不与，重合），以、为一组邻边作平行四边形，平行四边形的对角线的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，P是边DC上的动点，G，H分别是PE，PF的中点，已知DC=10cm，则GH的长是（）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．（2021·河南师大附中九年级）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
5．（2019·天津八年级期末）如图，中，对角线，相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②四动形是平行四边形；③；④平分.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2019·浙江八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为，则C的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2019·江苏八年级期末）如图，在中，，，，为上的动点，连接，以、为边作平行四边形，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·浙江八年级期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·全国九年级单元测试）如图，Rt△AOB，∠AOB=90°，BO=2， AO=4.动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，同时动点M从A点出发以每秒2个单位长度的速度向O运动，设运动的时间为t秒(0＜t＜2)．过点Q作OB的垂线交线段AB于点N， 则四边形OMNQ的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
10．（2019·湖北八年级期末）如图，已知平行四边形，，，，点是边上一动点，作于点，作（在右边）且始终保持，连接、，设，则满足（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·渠县琅琊中学九年级月考）如图，在中，，，，点是边上一动点，以为对角线的所有平行四边形中，对角线最小的值是_____．
12．（2019·济南外国语学校八年级期末）如图，已知平行四边形，，是边的中点，是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，，，则的最小值是____．
13．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．
14．（2019·江门市第二中学九年级）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过_____秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
15．（2018·陕西九年级期中）如图，在平行四边形中，，，，为边上的一个动点（不与、重合），过作直线的垂线，垂足为，则面积的最大值为__________．
16．（2020·浙江九年级月考）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为_________．
18．（2020·全国八年级课时练习）如图，平行四边形中，，，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接、，则的最小值是______．
19．（2020·四川电子科大实验中学九年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
20．（2019·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在中，，，为边上一动点，以A、为边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
21．（2020·浙江八年级期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=20，∠A=60°，P是边AD上一动点，连结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是____．
22．（2020·陕西九年级）如图，在平行四边形中，为的中点，是边上不与点重合的一个动点，将沿折叠，得到连接则周长的最小值为___．
23．（2020·陕西西北工业大学附属中学九年级月考）如图，在平行四边形中，，，，点在线段上一动点，连接，将沿着翻折，得，连接、．则面积的最小值为______．
24．（2020·河南九年级）如图，,点G为边BC上一点，且，点E为AB上一动点，将沿折叠，当点B的对应点F落在平行四边形的边上时，线段的长为_______．
25．（2020·武汉市晴川初级中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．
三、解答题
26．（2020·内蒙古九年级月考）在四边形中，；点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动． 规定其中一个动点到达端点时另一个动点也停止运动．从运动开始． 何时图中会出现平行四边形？点最近距离为多少？
27．（2019·河南九年级期中）如图，在平行四边形中，，，且于点，点分别是边上的动点，且.
①求证：四边形是平行四边形；
②当为何值时，四边形是矩形？
28．（2019·苏州市景范中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点的坐标为，过点作于点，点为轴正半轴上的一动点，且满足，连接，以，为边作平行四边形，如果平行四边形为正方形，求的值__________．
29．（2020·银川市第三中学九年级月考）如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
30．（2020·湖北八年级期末）点O为△ABC内一动点，D，E，F，G分别为AB，AC，OB，OC中点．求证：四边形DEFG为平行四边形．
31．（2019·永城市第五初级中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线 DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线 DABCD方向以1cm/s的速度运动.
(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇?
(2)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形?
32．（2018·广东八年级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，过B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒2cm的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t(秒)
(1)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
(2)当t为何值时，△QDP的面积为60cm2？
(3)当t为何值时，PD＝PQ？
33．（2016·山东八年级期末）（2015秋•高青县期末）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）请按下列要求画图，取CD的中点G，点E是边AD上的动点，连接EG并延长，与BC的延长线交于点F，连结CE，DF；
（2）求证：四边CEDF是平行四边形．
34．（2019·山东九年级月考）平行四边形中，对角线，相交于点，若、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动
四边形是平行四边形吗？说明你的理由．
若，，当运动时间为多少时，以、、、为顶点的四边形为矩形．
35．（2019·广东九年级）如图所示，为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求平行四边形的面积；
（2）当点，，三点共线时，设与相交于点，求线段的长；
（3）求线段的长度的最小值．
36．（2018·广东广州市第二中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=，AD=18，∠C=60°；
（1）BC=________
（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
①t=_______秒时，四边形PQED是矩形；
②t为何值时，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；
③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由。
参考答案
1．C
【解析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．
解：设∠A＝，点M运动的速度为a，则AM＝at，
当点N在AD上时，MN＝tan×AM＝tan•at，
此时S＝×at×tan•at＝tan×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
当点N在DC上时，MN长度不变，
此时S＝×at×MN＝a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质，，，故取最小值时，也取最小值，根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”，故当时，取最小值，再根据所对的直角边是斜边的一半即可求出从而可求出此时的.
解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴当取最小值时，也取最小值，
根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”
∴当时，取最小值
∵
∴此时
此时
故的最小值
故选C.
【点拨】此题考查的是平行四边形的性质和最值，掌握垂线段最短和所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.
3．C
【分析】连接，先证明出四边形是平行四边形，再证明是的中位线，进而求出的长度．
解：连接，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BD，AD∥BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=BF，
∴四边形是平行四边形，
∴AB=EF=10cm，
∵G，H分别是PE，PF的中点，
∴是的中位线，
∴=EF=×10=5cm，
故选C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理的知识，解题的关键是证明出GH是△PEF的中位线，此题难度不大．
4．C
【分析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以与不一定全等，故A错误；
选项B，的周长是定值，而的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于与都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道与属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【点拨】本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
5．B
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，
故③错误，
∵BG=EF，BG∥EF∥CD
∴四边形BEFG是平行四边形
故②正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确；
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
6．B
【分析】由轴对称的性质可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，则可求得答案．
解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），
∴AB= ＝，BC=3，
∵若点A关于BP的对称点为A'，
∴BA′=BA=，
在△BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，
∴A′C≥3-，即A′C的最小值为3-，
故选：B．
【点拨】本题考查平行四这形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC-BA′是解题的关键．
7．D
【分析】由勾股定理可知是直角三角形，由垂线段最短可知当DE⊥AB时，DE有最小值，此时DE与斜边上的高相等，可求得答案．
解：如图：
∵四边形是平行四边形，
∴CE∥AB，
∵点D在线段AB上运动，
∴当DE⊥AB时，DE最短，
在中，，，，
∴AC2+BC2=AB2，
∴是直角三角形，
过C作CF⊥AB于点F，
∴DE=CF=，
故选：D．
【点拨】
本题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，确定出DE最短时D点的位置是解题的关键.
8．D
【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．
解：当点P运动到边AC中点（如图），即CP=时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=6，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S平行四边形DPBQ=DP•CP==9．
故选D.
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．
9．B
【解析】
由题意得，AM=2t.OM=4-2t,OQ=t,BQ=2-t.
, , , .
由勾股定理得
.
， ， .
， ，， , ∴四边形OMNQ是平行四边形. ∵∠AOB=90°,∴四边形OMNQ是矩形.
故选B.
10． D
11． 【分析】：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x，由此先判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m的取值范围.
【详解】
如上图：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x
∵
∴
由AP、PF的数量关系可知，
如上图，作交BC于M，所以点F在AM上.
当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得
如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得
∴
故选：D
【点拨】此题考查几何图形动点问题，判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.
11．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可知，，，根据垂线段最短可知，当取最小值时，最短，此时，由三角形中位线定理即可求出答案．
解：在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
当取最小值时，最短，此时，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12．
【分析】如图，作交于，连接、、作于，首先证明，因为，即可推出当、、共线时，的值最小，最小值．
解：如图，作交于，连接、、作于．
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，
最小值，
在中，，
，
在中，．
故答案为：．
【点拨】本题考查了四边形的动点问题，掌握当、、共线时，的值最小，最小值是解题的关键．
13．2
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．
解：如图
∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4
∴OC=OA=AC=2
当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
OD= AO=
∴DE=2OD=2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE最小值的条件是关键．
14．
【分析】根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
解：如图，
在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，
若平行四边形是AEMN，
则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，
此时，AN≠EC，
则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，
则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
当9-2t=8-t时，
解得：t=1（舍去），
当4.5＜t＜6时，M在BC上，
则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
当2t-9=8-t时，
解得：t=，
此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，
不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，正确对t的范围进行讨论是解决问题的关键．
15．
【解析】延长与的延长线交于点
设 则
，
面积的最大值为
故答案为：
16．4
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，CD=AB=6，
∵点M为AD的中点，∠A=45°，
∴DM=MA=，∠MDE=∠A=45°，
∴ME=DE=DM=1，
∴CE=CD+DE=6+1=7，
由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==；
由翻折变换的性质得：MA′=MA=，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，
此时A′C=MC-MA′=5-=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等几何知识点；解题的方法是作辅助线，得出A′点位置．
17．或或
【分析】过点C作CH⊥OA于点H，由题意易得，，则有，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平信四边形的性质及面积计算公式进行求解即可．
解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示：
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，即点H与点D重合，
由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，则可分：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示：
∴点O与点P重合，
∴；
当DE为对角线时，如图所示：
则；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示：
∴点C、Q重合，
∴；
③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示：
∴点B、P重合，
∴；
综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为或或；
故答案为或或．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．
【解析】过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，即可求解.
解：过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，
∴BF'=.
故答案为.
【点拨】本题考查最短距离问题；利用垂线段最短将BE+EF的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
19．
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
解：如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
20．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作A B的垂线PO，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过点O作OP´⊥AB于P´，
∵∠BAC=45°
∴∠AP´O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=4，
∴OP´=
∴PQ的最小值
= 2OP´=
故答案为：
【点拨】本题考查平行四边形的性质和垂线段最短．找到最短线段是解决本题的关键．
21．6+2或4．
【分析】如图1中，当点落在上时，作于，交的延长线于．设．如图2，当点落在上时，如图3中，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
解：如图1中，当点落在上时，作于，交的延长线于．设．
在中，，，
，，
将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，当点落在上时，
将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，
，
在中，，，
；
如图3中，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形．
在中，，，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
，（不合题意舍去），
综上所述，的值是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
22．
【分析】的周长=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出当BA'最小时，的周长最小，由此即可求解．
解：如图，作于点，连接，
∵，
，
，
，
，
由翻折可知，
的周长，
当的长度最小时，的周长最小，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质，翻折不变性，勾股定理，含30度直角三角形的性质等，灵活运用性质是解题关键．
23．4.
【分析】根据翻折的性质可以得到，所以判断点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆，过作，由于，而是定值，所以要使面积最小只能是的取值最小，当三点共线时，的取值最小，结合三角函数求出，继而求出，即可求得 面积的最小值；
【详解】 是由沿着翻折得到的
点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆
过作
要使面积最小，只能是的取值最小
当三点共线时，的取值最小
,,
此时，，即面积的最小值为4
故答案是：4.
【点拨】本题主要结合平行四边形内部的翻折以及动点问题，准确的判断出的运动轨迹是求解本题的关键.
24．
【分析】分两种情况：①当F在AB上时，由折叠的性质可知：∠BEG=90°；然后求得∠BGE=30°，最后根据30°所对的边是斜边的一半即可；②当F在AB上时，过A作AH⊥BG．先求出AG、BH的长，然后根据折叠的性质得到FG=BG=2，∠EFG=60°；再证明四边形AFGH是矩形,得到HG=BG-BH=2-2；再根据等角对等边得到AE=AF=2-2,最后根据线段的和差解答即可．
解：如图：当F在AB上时，由折叠的性质可知：∠BEG=90°
∵∠B=60°
∴∠BGE=30°
∵BG=2
∴BE==．
如图：当F在AB上时，过A作AH⊥BG，
∵∠B=60°，AB=4
∴AH=AB·sin∠B=4×=2,∠BAH=30°
∴BH==2
由折叠的性质可得FG=BG=2，∠EFG=60°，
∴AH//FG，即FG⊥AD,∠AFE=30°
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC
∴四边形AFGH是矩形, ∠BAF=180°-∠B=120°
∵HG=BG-BH=2-2
∴AF=HG=2-2，∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=30°
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF=2-2
∴BE=AB-AE=4-(2-2)=6-2．
故答案为或6-2．
【点拨】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角函数、等腰三角形等知识，掌握分类讨论思想和灵活运用所学知识是解答本题的关键．
25．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK，再证明△ABF△KBE，可得AF＝EK；然后根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，最后解直角三角形求出EK即可．
解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
∴要求AF最小值，即求EK最小值，
又∵K为定点，求EK最小值，即求K到直线AD的最小值，
∴当KE⊥AD时，KE的值最小，此时AF最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，
∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝22，
∴（8+4）a2＝4，
∴a2＝＝，
∴a＝＝＝，
∴EK＝(2+)a＝(2+)×＝，
又∵AF＝EK，
∴AF的最小值为；
故答案为．
【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
26．或；．
【分析】设经过t s时，AP=BQ，结合题意此时四边形ABQP为平行四边形．根据平行四边形的性质列方程即可得到结论，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解，P，Q两点之间最短时，从而可得答案．
解：当四边形为平行四边形时，
当四边形为平行四边形时，
综上：当或的时候出现平行四边形．
两点最短时，
此时四边形为矩形，所以之间的最短距离为．
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
27．①证明见解析；②.
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再求出BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AD．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形
四边形DEBF为平行四边形.
(2)当 时，四边形DEBF为矩形. 理由是：
过点D作于点 E
在中，
AD⊥DB，∠ADB=90°
在中，
当时，，
即平行四边形DEBF是矩形.
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质与矩形的判定方法是解题的关键．
28．或
【分析】分两种情况讨论：当点C在OB上时和当点C在BO的延长线上时，同样需要过点E作于点M，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求OD的长，即可求出m的值．
【详解】当点C在OB上时，过点E作于点M，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
∵四边形DEFA是正方形，
，
．
，
，
；
当点C在BO的延长线上时，过点E作于点M，
同理可得 ．
，
，
，
综上所述，m的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查正方形的性质,等腰直角三角形的性质和一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．见解析
【分析】易证DE是△ABC的中位线，GF是△OBC的中位线，得出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，则DE∥GF，DE=GF，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵D，E，F，G分别为AB，AC，OC，OB中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△OBC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键．
31．（1）8秒 （2）第2秒或6秒时，点A、E、M、N组成平行四边形
【解析】（1）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可；
（2）分点M在点E的右边和左边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN=ME列出方程求解即可．
试题解析：（1）设t秒时两点相遇，
根据题意得，t＋2t＝2（4＋8），解得t＝8，
答：经过8秒两点相遇；
（2）①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得：8－t＝9－2t，解得t＝1，
∵t＝1时，点M还在DC上，∴t＝1舍去；
②如图2，点M在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得：8－t＝2t－9，解得t＝，
所以，经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相遇问题的等量关系，熟记各性质并列出方程是解题的关键．
32．(1)当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；(2)当t＝时，△QDP的面积为60cm2；(3)当t＝，PD＝PQ．
【分析】
（1）根据题意用t表示出CP=t，AQ=2t，根据平行四边形的判定定理列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形的面积公式列方程，解方程得到答案；
（3）根据等腰三角形的三线合一得到DH=DQ，列方程计算即可．
【详解】
(1)由题意得，CP＝t，AQ＝2t，
∴QD＝21﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当DQ＝PC时，四边形PCDQ是平行四边形，
则21﹣2t＝t，
解得，t＝7，
∴当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；
(2)在Rt△ABE中，BE＝＝12，
由题意得，×(21﹣2t)×12＝60，
解得，t＝，
∴当t＝时，△QDP的面积为60cm2；
(3)作PH⊥DQ于H，DG⊥BC于G，则四边形HPGD为矩形，
∴PG＝HD，
由题意得，CG＝AE＝5，
∴PG＝t﹣5，
当PD＝PQ，PH⊥DQ时，DH＝DQ，即t﹣5＝(21﹣2t)，
解得，t＝，
则当t＝时，PD＝PQ．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
33．见解析
【解析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质证出∠FCG=∠EDG，由ASA证明△CFG≌△DEG，得出对应边相等EG=FG，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴EG=FG，
又∵CG=DG，
∴四边CEDF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．
34．(1)见解析;(2) t为2s时.
【分析】（1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE=CF，即可得OE=OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；
（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF=BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：18-2t-2t=10，继而求得答案．
解：四边形是平行四边形．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
根据题意得：或，
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形为矩形．
即或，
∴或，
解得：，
∴当运动时间为时，四边形为矩形．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，正确应用矩形的判定方法得出EF=BD是解题关键．
35．（1）300；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，过点作交的延长线于点，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形的面积；
（2）如图所示，延长到使得，先证明得出，，，再证明，得出即可求出BG；
（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，根据已知推出点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，当点与重合时，取得最小值，易得，然后证明为等腰三角形，求出，
，，，，根据得出即可求出答案．
【详解】
（1）如图所示，过点作交的延长线于点，
，
，
，，
，
，
平行四边形的面积为；
（2）如图所示，延长到使得，
，
，，
，
，
又，，
由，
，
，
，
，，
，
由（1）得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，
，
点、在上，
，
，
点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，
设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，
当点与重合时，取得最小值，
易得，
，
又，
，
为等腰三角形，
，
由（2）得，，
，
又，
，
在中，，
由，
，
，
，
即的长度的最小值是．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．
36．（1）26；（2）①；②当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，理由详见解析.
【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函数值可求CE，进而可求CD，再利用等腰梯形的性质可求BC；（2）①先画图，由于四边形PQED是矩形，那么矩形的对边相等，于是PD=QE，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-4-3t，进而可求t；②有两种情况：（i）是PQ与AB构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得AP=BQ，再根据路程=速度×时间，可得3t=18-2t，进而可求t； （ii）是PQ与CD构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得PD=CQ，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-3t，进而可求t；③根据②中的两种情况，分别求出BQ、DP的值，再与邻边AB、CD比较，从而可判断不存在t值，使②中的平行四边形是菱形．
【详解】
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；
故答案为：26；
（2）①设运动时间为t时，四边形PQED是矩形，如图，
∵四边形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
故答案为：；
②有两种情况：
（i）设运动时间为t时，线段PQ与AB构成平行四边形，如图，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
（ii）设运动时间为t时，线段PQ与CD构成平行四边形，如图，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t= ，
综上，当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；
③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，
（i）当t=时，BQ=3t= ，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四边形ABQP不是菱形，
（ii）当t=时，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四边形PQCD不是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形、菱形的判定和性质，等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t．
专题6.15 平行四边形-动点问题（专项练习）
一、单选题
1．（2019·合肥一六八中学九年级月考）如图，点为平行四边形的边上一动点，过点作直线垂直于，且直线与平行四边形的另一边交于点．当点从匀速运动时，设点的运动时间为，的面积为，能大致反映与函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图在中，，，为边上一动点（不与，重合），以、为一组邻边作平行四边形，平行四边形的对角线的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，P是边DC上的动点，G，H分别是PE，PF的中点，已知DC=10cm，则GH的长是（）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
4．（2021·河南师大附中九年级）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
5．（2019·天津八年级期末）如图，中，对角线，相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②四动形是平行四边形；③；④平分.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2019·浙江八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为，则C的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2019·江苏八年级期末）如图，在中，，，，为上的动点，连接，以、为边作平行四边形，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·浙江八年级期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·全国九年级单元测试）如图，Rt△AOB，∠AOB=90°，BO=2， AO=4.动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，同时动点M从A点出发以每秒2个单位长度的速度向O运动，设运动的时间为t秒(0＜t＜2)．过点Q作OB的垂线交线段AB于点N， 则四边形OMNQ的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
10．（2019·湖北八年级期末）如图，已知平行四边形，，，，点是边上一动点，作于点，作（在右边）且始终保持，连接、，设，则满足（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·渠县琅琊中学九年级月考）如图，在中，，，，点是边上一动点，以为对角线的所有平行四边形中，对角线最小的值是_____．
12．（2019·济南外国语学校八年级期末）如图，已知平行四边形，，是边的中点，是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，，，则的最小值是____．
13．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．
14．（2019·江门市第二中学九年级）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过_____秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
15．（2018·陕西九年级期中）如图，在平行四边形中，，，，为边上的一个动点（不与、重合），过作直线的垂线，垂足为，则面积的最大值为__________．
16．（2020·浙江九年级月考）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为_________．
18．（2020·全国八年级课时练习）如图，平行四边形中，，，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接、，则的最小值是______．
19．（2020·四川电子科大实验中学九年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
20．（2019·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在中，，，为边上一动点，以A、为边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
21．（2020·浙江八年级期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=20，∠A=60°，P是边AD上一动点，连结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是____．
22．（2020·陕西九年级）如图，在平行四边形中，为的中点，是边上不与点重合的一个动点，将沿折叠，得到连接则周长的最小值为___．
23．（2020·陕西西北工业大学附属中学九年级月考）如图，在平行四边形中，，，，点在线段上一动点，连接，将沿着翻折，得，连接、．则面积的最小值为______．
24．（2020·河南九年级）如图，,点G为边BC上一点，且，点E为AB上一动点，将沿折叠，当点B的对应点F落在平行四边形的边上时，线段的长为_______．
25．（2020·武汉市晴川初级中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．
三、解答题
26．（2020·内蒙古九年级月考）在四边形中，；点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动． 规定其中一个动点到达端点时另一个动点也停止运动．从运动开始． 何时图中会出现平行四边形？点最近距离为多少？
27．（2019·河南九年级期中）如图，在平行四边形中，，，且于点，点分别是边上的动点，且.
①求证：四边形是平行四边形；
②当为何值时，四边形是矩形？
28．（2019·苏州市景范中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点的坐标为，过点作于点，点为轴正半轴上的一动点，且满足，连接，以，为边作平行四边形，如果平行四边形为正方形，求的值__________．
29．（2020·银川市第三中学九年级月考）如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算．
30．（2020·湖北八年级期末）点O为△ABC内一动点，D，E，F，G分别为AB，AC，OB，OC中点．求证：四边形DEFG为平行四边形．
31．（2019·永城市第五初级中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线 DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线 DABCD方向以1cm/s的速度运动.
(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇?
(2)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形?
32．（2018·广东八年级期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，过B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13cm，BC＝21cm，AE＝5cm．动点P从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒2cm的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t(秒)
(1)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
(2)当t为何值时，△QDP的面积为60cm2？
(3)当t为何值时，PD＝PQ？
33．（2016·山东八年级期末）（2015秋•高青县期末）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）请按下列要求画图，取CD的中点G，点E是边AD上的动点，连接EG并延长，与BC的延长线交于点F，连结CE，DF；
（2）求证：四边CEDF是平行四边形．
34．（2019·山东九年级月考）平行四边形中，对角线，相交于点，若、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动
四边形是平行四边形吗？说明你的理由．
若，，当运动时间为多少时，以、、、为顶点的四边形为矩形．
35．（2019·广东九年级）如图所示，为平行四边形，，，，且，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求平行四边形的面积；
（2）当点，，三点共线时，设与相交于点，求线段的长；
（3）求线段的长度的最小值．
36．（2018·广东广州市第二中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=，AD=18，∠C=60°；
（1）BC=________
（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
①t=_______秒时，四边形PQED是矩形；
②t为何值时，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；
③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由。
参考答案
1．C
【解析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．
解：设∠A＝，点M运动的速度为a，则AM＝at，
当点N在AD上时，MN＝tan×AM＝tan•at，
此时S＝×at×tan•at＝tan×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
当点N在DC上时，MN长度不变，
此时S＝×at×MN＝a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质，，，故取最小值时，也取最小值，根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”，故当时，取最小值，再根据所对的直角边是斜边的一半即可求出从而可求出此时的.
解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴当取最小值时，也取最小值，
根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”
∴当时，取最小值
∵
∴此时
此时
故的最小值
故选C.
【点拨】此题考查的是平行四边形的性质和最值，掌握垂线段最短和所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.
3．C
【分析】连接，先证明出四边形是平行四边形，再证明是的中位线，进而求出的长度．
解：连接，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BD，AD∥BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=BF，
∴四边形是平行四边形，
∴AB=EF=10cm，
∵G，H分别是PE，PF的中点，
∴是的中位线，
∴=EF=×10=5cm，
故选C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理的知识，解题的关键是证明出GH是△PEF的中位线，此题难度不大．
4．C
【分析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以与不一定全等，故A错误；
选项B，的周长是定值，而的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于与都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道与属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【点拨】本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
5．B
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，
故③错误，
∵BG=EF，BG∥EF∥CD
∴四边形BEFG是平行四边形
故②正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确；
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
6．B
【分析】由轴对称的性质可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，则可求得答案．
解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），
∴AB= ＝，BC=3，
∵若点A关于BP的对称点为A'，
∴BA′=BA=，
在△BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，
∴A′C≥3-，即A′C的最小值为3-，
故选：B．
【点拨】本题考查平行四这形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC-BA′是解题的关键．
7．D
【分析】由勾股定理可知是直角三角形，由垂线段最短可知当DE⊥AB时，DE有最小值，此时DE与斜边上的高相等，可求得答案．
解：如图：
∵四边形是平行四边形，
∴CE∥AB，
∵点D在线段AB上运动，
∴当DE⊥AB时，DE最短，
在中，，，，
∴AC2+BC2=AB2，
∴是直角三角形，
过C作CF⊥AB于点F，
∴DE=CF=，
故选：D．
【点拨】
本题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，确定出DE最短时D点的位置是解题的关键.
8．D
【分析】由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．
解：当点P运动到边AC中点（如图），即CP=时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=6，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S平行四边形DPBQ=DP•CP==9．
故选D.
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．
9．B
【解析】
由题意得，AM=2t.OM=4-2t,OQ=t,BQ=2-t.
, , , .
由勾股定理得
.
， ， .
， ，， , ∴四边形OMNQ是平行四边形. ∵∠AOB=90°,∴四边形OMNQ是矩形.
故选B.
10． D
11． 【分析】：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x，由此先判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大.从而求出m的取值范围.
【详解】
如上图：设PE=x，则PB=x，PF=3x，AP=6-x
∵
∴
由AP、PF的数量关系可知，
如上图，作交BC于M，所以点F在AM上.
当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得
如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得
∴
故选：D
【点拨】此题考查几何图形动点问题，判断出，然后可分析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.
11．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可知，，，根据垂线段最短可知，当取最小值时，最短，此时，由三角形中位线定理即可求出答案．
解：在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
当取最小值时，最短，此时，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12．
【分析】如图，作交于，连接、、作于，首先证明，因为，即可推出当、、共线时，的值最小，最小值．
解：如图，作交于，连接、、作于．
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，
最小值，
在中，，
，
在中，．
故答案为：．
【点拨】本题考查了四边形的动点问题，掌握当、、共线时，的值最小，最小值是解题的关键．
13．2
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．
解：如图
∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，又AB=AC=4
∴OC=OA=AC=2
当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BA，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
在Rt△ADO由勾股定理可知
OD= AO=
∴DE=2OD=2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE最小值的条件是关键．
14．
【分析】根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
解：如图，
在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，
若平行四边形是AEMN，
则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，
此时，AN≠EC，
则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，
则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，
当9-2t=8-t时，
解得：t=1（舍去），
当4.5＜t＜6时，M在BC上，
则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，
当2t-9=8-t时，
解得：t=，
此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，
不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，正确对t的范围进行讨论是解决问题的关键．
15．
【解析】延长与的延长线交于点
设 则
，
面积的最大值为
故答案为：
16．4
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，CD=AB=6，
∵点M为AD的中点，∠A=45°，
∴DM=MA=，∠MDE=∠A=45°，
∴ME=DE=DM=1，
∴CE=CD+DE=6+1=7，
由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==；
由翻折变换的性质得：MA′=MA=，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，
此时A′C=MC-MA′=5-=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等几何知识点；解题的方法是作辅助线，得出A′点位置．
17．或或
【分析】过点C作CH⊥OA于点H，由题意易得，，则有，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平信四边形的性质及面积计算公式进行求解即可．
解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示：
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，即点H与点D重合，
由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，则可分：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示：
∴点O与点P重合，
∴；
当DE为对角线时，如图所示：
则；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示：
∴点C、Q重合，
∴；
③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示：
∴点B、P重合，
∴；
综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为或或；
故答案为或或．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．
【解析】过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，即可求解.
解：过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；
∵∠BAD=60°，AD=2，
∴在Rt△BCF'中，BC=2，∠BCF'=60°，
∴BF'=.
故答案为.
【点拨】本题考查最短距离问题；利用垂线段最短将BE+EF的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
19．
【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
解：如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．
20．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作A B的垂线PO，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过点O作OP´⊥AB于P´，
∵∠BAC=45°
∴∠AP´O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=4，
∴OP´=
∴PQ的最小值
= 2OP´=
故答案为：
【点拨】本题考查平行四边形的性质和垂线段最短．找到最短线段是解决本题的关键．
21．6+2或4．
【分析】如图1中，当点落在上时，作于，交的延长线于．设．如图2，当点落在上时，如图3中，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
解：如图1中，当点落在上时，作于，交的延长线于．设．
在中，，，
，，
将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，当点落在上时，
将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，
，
在中，，，
；
如图3中，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形．
在中，，，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
，（不合题意舍去），
综上所述，的值是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
22．
【分析】的周长=FA'+BF+BA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA'，推出当BA'最小时，的周长最小，由此即可求解．
解：如图，作于点，连接，
∵，
，
，
，
，
由翻折可知，
的周长，
当的长度最小时，的周长最小，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质，翻折不变性，勾股定理，含30度直角三角形的性质等，灵活运用性质是解题关键．
23．4.
【分析】根据翻折的性质可以得到，所以判断点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆，过作，由于，而是定值，所以要使面积最小只能是的取值最小，当三点共线时，的取值最小，结合三角函数求出，继而求出，即可求得 面积的最小值；
【详解】 是由沿着翻折得到的
点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆
过作
要使面积最小，只能是的取值最小
当三点共线时，的取值最小
,,
此时，，即面积的最小值为4
故答案是：4.
【点拨】本题主要结合平行四边形内部的翻折以及动点问题，准确的判断出的运动轨迹是求解本题的关键.
24．
【分析】分两种情况：①当F在AB上时，由折叠的性质可知：∠BEG=90°；然后求得∠BGE=30°，最后根据30°所对的边是斜边的一半即可；②当F在AB上时，过A作AH⊥BG．先求出AG、BH的长，然后根据折叠的性质得到FG=BG=2，∠EFG=60°；再证明四边形AFGH是矩形,得到HG=BG-BH=2-2；再根据等角对等边得到AE=AF=2-2,最后根据线段的和差解答即可．
解：如图：当F在AB上时，由折叠的性质可知：∠BEG=90°
∵∠B=60°
∴∠BGE=30°
∵BG=2
∴BE==．
如图：当F在AB上时，过A作AH⊥BG，
∵∠B=60°，AB=4
∴AH=AB·sin∠B=4×=2,∠BAH=30°
∴BH==2
由折叠的性质可得FG=BG=2，∠EFG=60°，
∴AH//FG，即FG⊥AD,∠AFE=30°
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC
∴四边形AFGH是矩形, ∠BAF=180°-∠B=120°
∵HG=BG-BH=2-2
∴AF=HG=2-2，∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=30°
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF=2-2
∴BE=AB-AE=4-(2-2)=6-2．
故答案为或6-2．
【点拨】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角函数、等腰三角形等知识，掌握分类讨论思想和灵活运用所学知识是解答本题的关键．
25．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK，再证明△ABF△KBE，可得AF＝EK；然后根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，最后解直角三角形求出EK即可．
解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
∴要求AF最小值，即求EK最小值，
又∵K为定点，求EK最小值，即求K到直线AD的最小值，
∴当KE⊥AD时，KE的值最小，此时AF最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，
∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝22，
∴（8+4）a2＝4，
∴a2＝＝，
∴a＝＝＝，
∴EK＝(2+)a＝(2+)×＝，
又∵AF＝EK，
∴AF的最小值为；
故答案为．
【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
26．或；．
【分析】设经过t s时，AP=BQ，结合题意此时四边形ABQP为平行四边形．根据平行四边形的性质列方程即可得到结论，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解，P，Q两点之间最短时，从而可得答案．
解：当四边形为平行四边形时，
当四边形为平行四边形时，
综上：当或的时候出现平行四边形．
两点最短时，
此时四边形为矩形，所以之间的最短距离为．
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
27．①证明见解析；②.
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再求出BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=AD．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形
四边形DEBF为平行四边形.
(2)当 时，四边形DEBF为矩形. 理由是：
过点D作于点 E
在中，
AD⊥DB，∠ADB=90°
在中，
当时，，
即平行四边形DEBF是矩形.
【点拨】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质与矩形的判定方法是解题的关键．
28．或
【分析】分两种情况讨论：当点C在OB上时和当点C在BO的延长线上时，同样需要过点E作于点M，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求OD的长，即可求出m的值．
【详解】当点C在OB上时，过点E作于点M，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
∵四边形DEFA是正方形，
，
．
，
，
；
当点C在BO的延长线上时，过点E作于点M，
同理可得 ．
，
，
，
综上所述，m的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查正方形的性质,等腰直角三角形的性质和一元一次方程的应用，分情况讨论是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论．
解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
是菱形；
（2）四边形是菱形，
与关于对称，
连接交于，则的长即为的最小值，
过作于，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．见解析
【分析】易证DE是△ABC的中位线，GF是△OBC的中位线，得出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，则DE∥GF，DE=GF，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵D，E，F，G分别为AB，AC，OC，OB中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△OBC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键．
31．（1）8秒 （2）第2秒或6秒时，点A、E、M、N组成平行四边形
【解析】（1）根据相遇问题的等量关系列出方程求解即可；
（2）分点M在点E的右边和左边两种情况，根据平行四边形对边相等，利用AN=ME列出方程求解即可．
试题解析：（1）设t秒时两点相遇，
根据题意得，t＋2t＝2（4＋8），解得t＝8，
答：经过8秒两点相遇；
（2）①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得：8－t＝9－2t，解得t＝1，
∵t＝1时，点M还在DC上，∴t＝1舍去；
②如图2，点M在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得：8－t＝2t－9，解得t＝，
所以，经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相遇问题的等量关系，熟记各性质并列出方程是解题的关键．
32．(1)当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；(2)当t＝时，△QDP的面积为60cm2；(3)当t＝，PD＝PQ．
【分析】
（1）根据题意用t表示出CP=t，AQ=2t，根据平行四边形的判定定理列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形的面积公式列方程，解方程得到答案；
（3）根据等腰三角形的三线合一得到DH=DQ，列方程计算即可．
【详解】
(1)由题意得，CP＝t，AQ＝2t，
∴QD＝21﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当DQ＝PC时，四边形PCDQ是平行四边形，
则21﹣2t＝t，
解得，t＝7，
∴当t＝7时，四边形PCDQ是平行四边形；
(2)在Rt△ABE中，BE＝＝12，
由题意得，×(21﹣2t)×12＝60，
解得，t＝，
∴当t＝时，△QDP的面积为60cm2；
(3)作PH⊥DQ于H，DG⊥BC于G，则四边形HPGD为矩形，
∴PG＝HD，
由题意得，CG＝AE＝5，
∴PG＝t﹣5，
当PD＝PQ，PH⊥DQ时，DH＝DQ，即t﹣5＝(21﹣2t)，
解得，t＝，
则当t＝时，PD＝PQ．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
33．见解析
【解析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质证出∠FCG=∠EDG，由ASA证明△CFG≌△DEG，得出对应边相等EG=FG，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴EG=FG，
又∵CG=DG，
∴四边CEDF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．
34．(1)见解析;(2) t为2s时.
【分析】（1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE=CF，即可得OE=OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；
（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF=BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：18-2t-2t=10，继而求得答案．
解：四边形是平行四边形．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
根据题意得：或，
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形为矩形．
即或，
∴或，
解得：，
∴当运动时间为时，四边形为矩形．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，正确应用矩形的判定方法得出EF=BD是解题关键．
35．（1）300；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，过点作交的延长线于点，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形的面积；
（2）如图所示，延长到使得，先证明得出，，，再证明，得出即可求出BG；
（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，根据已知推出点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，当点与重合时，取得最小值，易得，然后证明为等腰三角形，求出，
，，，，根据得出即可求出答案．
【详解】
（1）如图所示，过点作交的延长线于点，
，
，
，，
，
，
平行四边形的面积为；
（2）如图所示，延长到使得，
，
，，
，
，
又，，
由，
，
，
，
，，
，
由（1）得，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、，以为圆心，为半径作圆，
，
点、在上，
，
，
点在与直线夹角为且经过点的直线上运动，
设直线与交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，过点作于，
当点与重合时，取得最小值，
易得，
，
又，
，
为等腰三角形，
，
由（2）得，，
，
又，
，
在中，，
由，
，
，
，
即的长度的最小值是．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．
36．（1）26；（2）①；②当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，理由详见解析.
【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函数值可求CE，进而可求CD，再利用等腰梯形的性质可求BC；（2）①先画图，由于四边形PQED是矩形，那么矩形的对边相等，于是PD=QE，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-4-3t，进而可求t；②有两种情况：（i）是PQ与AB构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得AP=BQ，再根据路程=速度×时间，可得3t=18-2t，进而可求t； （ii）是PQ与CD构成平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，可得PD=CQ，再根据路程=速度×时间，可得2t=26-3t，进而可求t；③根据②中的两种情况，分别求出BQ、DP的值，再与邻边AB、CD比较，从而可判断不存在t值，使②中的平行四边形是菱形．
【详解】
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；
故答案为：26；
（2）①设运动时间为t时，四边形PQED是矩形，如图，
∵四边形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
故答案为：；
②有两种情况：
（i）设运动时间为t时，线段PQ与AB构成平行四边形，如图，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
（ii）设运动时间为t时，线段PQ与CD构成平行四边形，如图，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t= ，
综上，当t=或时，，线段PQ与四边形ABCD的边构成平行四边形；
③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形，
（i）当t=时，BQ=3t= ，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四边形ABQP不是菱形，
（ii）当t=时，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四边形PQCD不是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形、菱形的判定和性质，等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t．
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