专题6.10 《平行四边形》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题6.10 《平行四边形》全章复习与巩固（专项练习）
1．（2021·上海九年级专题练习）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（　　）
A．一组对角相等，一组邻角互补
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边相等
D．一组对边平行，且另一组对边也平行
2．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC
3．（2021·山东威海市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在中，对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2019·河南省淮滨县实验学校八年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=2.6，BC=4，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，则DE的长为（ ）

A．2.6 B．1.4 C．3 D．2
8．（2020·湖南岳阳市·八年级期中）如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
9．（2020·云南迪庆藏族自治州·八年级期末）如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB
C．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD
10．（2020·山西临汾市·八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）

A． B． C． D．
11．（2020·濮阳市第一中学九年级月考）如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）

A． B． C． D．不能确定


二、填空题
12．（2021·上海九年级专题练习）在四边形中，∥，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）
13．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是______．

14．（2020·山东东营市·李鹊镇初级中学八年级月考）如图所示，在四边形ABCD中，，，，交BC于点，若，BC=，则_______cm．

15．（2021·全国九年级专题练习）如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有_______．

16．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，下列结论中：①；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有____________．（填序号）

17．（2020·四川成都市·正兴中学八年级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC ＝∠C，BD平分∠ABC，AD＝2，∠C＝60°，则BC＝__________．

18．（2019·山西八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是：___________

19．（2020·河北邯郸市·九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=__；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′__S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．

20．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级月考）如图，在四边形中，是边中点，连接并延长，交的延长线于，，添加一个条件，使四边形是平行四边形，你添加的条件是_______．

21．（2021·全国九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，点是的中点，由作图痕迹可得_______，若，则_______．

22．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在四边形中，若，则添加一个条件________，能得到平行四边形（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）．

23．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学八年级期末）如图，在中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则的面积为________．

24．（2020·珠海市第八中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中．已知点A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，2)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为_____．

25．（2018·河北邢台市·九年级一模）如图，在中，，点分别是边上的点，于点．当时，________．

26．（2020·广西钦州市·）如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形．


27．（2020·石阡县教育局教研室八年级期末）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件_________（写出一个即可，图形中不再添加助线），则四边形ABCD是平行四边形．

28．（2019·甘肃张掖市·八年级期末）如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形．

29．（2019·河南周口市·八年级期末）如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为________．

30．（2020·辽宁辽阳市·八年级期末）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=6，AB=12，则AE的长为_______.

31．（2014·山西九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且，在；；；四边形EBFD为平行四边形；；这些结论中正确的是______．

32．（2020·广东云浮市·八年级期末）如图，已知在上两点，且，若，则的度数为________．

33．（2021·全国九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在AD，BA的延长线上，CE∥BD，EF⊥AB，BC＝1，则EF的长为_____．

34．（2019·山西大同市·八年级期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝150°，则∠A的度数是____________．

35．（2020·西城区·北京四中九年级）如图，在平行四边形ABCD中，ED＝2，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为__．


三、解答题
36．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，，．
（1）求证：．
（2）已知，连接BN，若N平分，求CN的长．

37．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，，以为一边向外作等边三角形，点E为的中点，连接．

（1）证明：；
（2）探索与满足怎样的数量关系时，四边形是平行四边形，并说明理由．
38．（2021·全国八年级）在四边形中，对角线与相交于点．
①如果，，那么四边形是平行四边形；
②如果，，那么四边形是平行四边形；
③如果，，那么四边形是平行四边形；
④如果，，那么四边形是平行四边形．
（1）判断上述四个命题的真假；
（2）证明上述四个命题的真假．
（提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．）



参考答案
1．B
【分析】
平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】
、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
、不能判定平行四边形，如等腰梯形；
、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；
故选：．
【点拨】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
2．B
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；
故选：B．
【点拨】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
3．A
【分析】
以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，
∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，
故选：A．
【点拨】
本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．
4．B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
解：A、∵，
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．C
【分析】
根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故选：．
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．
6．D
【分析】
由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．
【详解】
解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠E，
∴∠ADE=∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；
故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7．B
【分析】
由平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用DE=CE-CD，求得答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
．
平分，
，
，
，
．
故选：．
【点拨】
此题考查了平行四边形的性质，能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键．
8．D
【分析】
先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得图中全等的三角形．
【详解】
解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，AO=OC，BO=OD，
∵BF=DE，
∴CF=AE，
∵，
∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO，
①∵AB=CD，AO=OC，BO=OD，
∴△AOB≌△COD(SSS)；
②∵AD=BC，AO=OC，OD=OB，
∴△AOD≌△COB(SSS)；
③∵AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴△ABC≌△CDA(SAS)；
④∵AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，
∴△BAD≌△DCB(SAS)；
⑤∵AE=CF，∠EAO=∠FCO，AO=OC，
∴△AOE≌△COF(SAS)；
⑥∵DE=BF，∠EDO=∠FBO，BO=OD，
∴△FOB≌△EOD(SAS)，
综上，一共6对全等三角形，
故选：D．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解答的关键．
9．C
【分析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；
C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10．D
【分析】
根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．
【详解】
解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）

故选：D．
【点拨】
本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．
11．A
【分析】
如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．
【详解】
如图，过点M作，交CD于点N，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
故选：A．

【点拨】
本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
12．（答案不唯一）
【分析】
根据平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可填写．
【详解】
解：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD=BC（答案不唯一）
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键，本题有多种答案，如可以根据平行四边形的定义填写AB∥CD等．
13．①②③
【分析】
根据平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质及中心对称的性质进行判断即可．
【详解】
解：在中，
，
，
，
于点，于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，故①②正确，
，
，即，故③正确，
∵，
和是中心对称图形，点是对称中心，
易证 ，
，
，
∴共10对全等三角形，故④错误；
故答案为：①②③
【点拨】
本题是平行四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识，正确理解中心对称的性质是解本题的关键．
14．12cm
【分析】
先说明四边形ABED是平行四边形可得BE=AD=5，再由可得∠DEC=∠B=70°，求出EC的长；然后再说明△CDE是等腰三角形得到DC=EC即可解答．
【详解】
解：∵，
∴四边形ABED是平行四边形
∴BE=AD=5
∴EC=BC-BE=17cm-5cm=12cm
∵
∴∠DEC=∠B=70°
∵
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°
∴∠EDC=∠DEC
∴CD=CE=12cm．
故答案为12cm．
【点拨】
本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
15．①②④
【分析】
由DE∥BC，AB∥CD，可判定四边形BCDE是平行四边形，又由∠A=∠B，即可证得AC=DE，CD=AE；利用AAS证得△AOE≌△COD，则可得O点是DE的中点．
【详解】
解：①∵DE∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BC=DE，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴AC=DE；故①正确；
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CD=BE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴CD=AE；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A=∠B，
∴∠ACD=∠B，
但∠B不一定等于∠ACB，
故AC不一定是∠BCD的平分线；故③错误；
在△AOE和△COD中，

∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OE=OD，
即O是DE的中点；故④正确；
∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤错误．
故答案为：①②④．
【点拨】
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
16．①③④
【分析】
由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据平行四边形的性质得到∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【详解】
解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，
∴AD=BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，
∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG•GE=4，
∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；
故答案为：①③④．
【点拨】
本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17．4
【分析】
过点作，可得四边形是平行四边形、是等边三角形，从而可求得，的长，即可求解．
【详解】
解：根据平分，即，
因为，则，
，
，
过点作，

则四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故答案为：4．
【点拨】
本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
18．AD=BC(答案不唯一)
【分析】
根据证平行四边形的条件可知，还需补充一个条件即可．
【详解】
∵AB=CD，
∴补充一个条件：AD=BC
则两组对边平行，可得四边形是平行四边形
故答案为：AD=BC．
【点拨】
本题考查添加一个条件使得四边形是平行四边形，可以从边、角、对角线三方面入手添加．
19．15 =
【详解】
解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，
故答案为：15
（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，

∵E是AD中点，
∴AE=DE，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，
在△ABE和△DPE中，
∵，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，
∴S△BCE=S△PCE，
则S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE
=S△PDE+S△CDE+S△BCE
=S△PCE+S△BCE
=2S△BCE
=2××BC×EF
=15，
∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，
故答案为：=
20．（答案不唯一）
【分析】
添加条件：，证明可得 从而可得： 从而可得四边形是平行四边形．
【详解】
解：添加的是： 理由如下：
是边中点，








四边形是平行四边形．
故答案为：
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形的平行四边形是解题的关键．
21． 4
【分析】
由作图痕迹可得，平分，根据平行四边形的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形，，
∴．
由作图痕迹可得，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，点是的中点，
∴．
【点拨】
本题考查尺规作图-角平分线、平行四边形的性质，根据作图痕迹得到平分是解题的关键．
22．AB∥CD(答案不唯一)
【分析】
根据平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解本题．
【详解】
解：∵在四边形中，已知，
结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
故添加AB∥CD可以得到平行四边形．
故答案为：AB∥CD．
【点拨】
本题考查的是平行四边形的判定，注意掌握相关的判定方法是解题的关键．
23．
【分析】
分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．
【详解】
过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，
由题意知：△ABE是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABF中，BF=1，AF==，
△ABE的面积为：，
∵BE∶EC＝2∶1
∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，
∴△ABC的面积为：，
∴平行四边形ABCD的面积为：．

【点拨】
考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．
24．(4，2)或(﹣4，2)或(2，﹣2)
【分析】
当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得可能的2个点；当平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时，利用平移的性质可得另一点．
【详解】
解：①如图1，


以AB为边时，A（3，0）、B（﹣1，0）两点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
∴第四个顶点的纵坐标为2，横坐标为0+4＝4，或0﹣4＝﹣4，即D（4，2）或D′（﹣4，2）；
②如图2，以AB为对角线时，∵从C（0，2）到B（﹣1，0），是横坐标减1，纵坐标减2，
∴第四个顶点D的横坐标为：3﹣1＝2，纵坐标为0﹣2＝﹣2，即D（2，﹣2）
综上所述，第四个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质．平行于x轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个；平行四边形的对边平行且相等，可利用平移的性质得到平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时第四个点．
25．4
【分析】
设，依据，，判定四边形是平行四边形，再根据，即可得出，进而得到方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设，
，，，
中，，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，，
又，
，
，
即，
解得，
，
故答案为：4．
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，难度不大．
26．
【分析】
由题意，可以用含t的代数式表示AP和BQ，令AP=BQ可得关于t的一元一次方程，解方程可得t的值．
【详解】
解：由题意得：当时间为t秒时，AP=tcm，BQ=BC-CQ=（15-2t）cm，
令AP=BQ得：t=15-2t，解得：t=5
故答案为5 ．
【点拨】
本题考查平行四边形和一元一次方程的综合应用，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法是解题关键．
27．AD=BC（答案不唯一）
【分析】
可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
【详解】
解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
28．AE＝FC或∠ABE＝∠CDF
【解析】
试题分析：∵四边形EBFD要为平行四边形，∴∠BAE=∠DCF，AB=CD，又AE=FC
∴△AEB≌△CFD，∴AE=FC，∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为AE=FC或∠ABE=∠CDF．
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
29．2
【分析】
根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质得证，根据等腰三角形的性质即可得，根据求解即可．
【详解】
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点拨】
本题考查了平行四边形的线段长问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
30．8.4.
【分析】
过点C作CG⊥AB的延长线于点G，设AE=x，由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x, 再求出∠BCG=30°，BG=BC=3, 由勾股定理得到，则EG=EB+BG=12-x+3=15-x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【详解】
解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，

∵▱ABCD沿EF对折，
∴AE=CE
设AE=x，则CE=x，EB=12-x，
∵AD=6，∠A=60°，
∴BC=6, ∠CBG=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=BC=3，
在△BCG中，由勾股定理可得：
∴EG=EB+BG=12-x+3=15-x
在△CEG中，由勾股定理可得：

解得：
故答案为8.4
【点拨】
本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
31．
【分析】
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项．
【详解】
连接BD交AC于O，过D作于M，过B作于N，

四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
四边形BEDF是平行四边形，
，，∴①正确；②正确；④正确；
根据已知不能推出，∴③错误；
，，
，
在和中
≌，
，
，，
，∴⑤正确；
，
，
，∴⑥正确；
故答案为①②④⑤⑥．
【点拨】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
32．80
【分析】
先证明四边形ABCD是平行四边形，再通过条件证明,最后根据全等三角形的性质及三角形外角性质即可得出答案．
【详解】
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
在△AED和△CFB中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案是．
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，结合外角定理计算是解题的关键．
33．
【分析】
根据平行四边形性质推出AD＝BC，BC∥AD，得出平行四边形BCED，推出DE＝BC＝AD，求出AE的长，进而根据勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，BC∥AD，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝AD＝1，即D为AE中点，
∴AE＝2，
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ABC＝60°，∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝1，
∴EF＝，
故答案为：．

【点拨】
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理的运用，解题的关键是求出AE的长．
34．105°
【分析】
根据平行四边形的判定定理证得四边形ABCD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可求出∠ABC，然后利用平行线的性质求出∠A即可．
【详解】
∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠A＝180°，
又∵∠ABC+∠ADC＝150°，
∴∠ABC=75°，
∴∠A=180°－∠ABC=180°－75°=105°．
故答案为：105°．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质，熟记性质及判定定理是解题的关键．
35．3
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC，根据平行线的性质得出∠AED=∠EBC，推出∠ABE=∠AED，根据等腰三角形的判定得出AB=AE，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AED＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AED，
∴AB＝AE，
∵BC＝5，DE＝2，
∴AB＝AE＝5﹣2＝3，
∴CD＝AB＝3，
故答案为：3．
【点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线定义、平行线的性质以及等腰三角形的性质和判定的应用，能求出AB=AE是解此题的关键．
36．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点拨】
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
37．（1）见解析；（2）AC＝AB
【分析】
（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝AB＝AE，再根据等边三角形的性质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°可证明DE∥CB；
（2）当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD．
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE＝30°．
∵∠DCB＝150°，
∴∠EDC+∠DCB＝180°．
∴DE∥CB．
（2）当AC＝AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形，
理由：∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠DCB＝150°，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．

【点拨】
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
38．（1）①真命题；②真命题；③假命题；④假命题；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意判断即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定定理证明即可．
【详解】
解：（1）①如果，，那么四边形是平行四边形是真命题；
②如果，，那么四边形是平行四边形是真命题；
③如果，，那么四边形是平行四边形是假命题；
④如果，，那么四边形是平行四边形是假命题．
（2）①，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
②，
，
，
，
四边形是平行四边形；
③如图1，当，时，则四边形不是平行四边形；

④如图2，当，时，则四边形不是平行四边形．

【点拨】本题考查了命题与定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．