分式的概念和性质学案-无答案

分式的概念和性质

一、教学目标

1.理解分式的意义。

2. 能把简单的与数量有关的词语用分式表示出来。

3. 代入分式求解以及分式有意义时x的取值

4.掌握分式的加减法法则:同分母分式相加减和异分母分式相加减的运算法则。

5.分式的加减计算。

二、知识梳理

分式的定义：

知识点1、概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，式子（B≠0）就叫做分式.整式和分式统称为有理式.

知识点2、分式有意义（无意义）

1、因为零不能作为除数，所以分数的分母不能是零.

2、在分式中，分式中的分母如果是零，则分式没有意义

知识点3

分式的值为0，意味着分子_____________________分母_________________________；

当分式的值为正时，意味着分式的分子和分母值的符号_________________。

当分式的值为负时，意味着分式的分子和分母值的符号_________________。

既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

　  （1）分式：，当B=0时，分式无意义。 　（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

　　（3）分式：，当时，分式的值为零。 （4）分式：，当时，分式的值为1。

　　（5）分式：，当时，即或时，为正数。

　　（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时　或时，为非负数。

分式的基本性质

分式的基本性质由六部分构成：①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．（2）弄懂分式的基本性质是为了运用它．运用这一性质主要是解决“确定分式的符号”“约分”“通分”问题．

知识点1：

定义：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点2：分式的约分

2.分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

第四步：保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点3：最简分式的定义

定义：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

知识点4：分式的通分

定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式。

分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

步骤：

第一步： 取各分母系数的最小公倍数；

第二步：单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

第三步：相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

第四步：保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

分式的加减

1、同分母的分式加减

           同分母的分式加减法：                                   结果化为最简分式。

2、异分母的分式加减

    异分母的分式加减法：首先             ；然后                结果化为最简分式

3、分式的乘除

（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。×=。

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。÷=×＝。

（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。( )n＝

三、典例精讲

考点一:【分式的定义】

1、判断下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？哪些是分式?

（1）     （2）       （3）      （4）

（5）      （6）

考点二：【分式的意义】

1、在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？

2、为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。

3、当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。

考点三：【分式的化简及求值】

 1、先约分后通分技巧

【例】计算+

2、分离整数技巧

【例】计算--

3、裂项相消技巧

【例】计算++

4、分组计算技巧

【例】 计算+--

5、变形技巧

【例】  已知x2-3x+1=0，求x2+的值。

题型四：找规律

【例】（湖北武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则

a4＝【    】

A．            B．            C．            D．

综合训练

1、把分式的分子和分母中各项系数都化为整数为　　　　　　　.

2、(1) ,其中x=8，y=1            (2),其中x=3

，其中x=              若 ,则M=___________.

（化简求值）难：

1、已知，求的值．(拓展)

2、已知，求的值．

3、已知：，求分式的值。

4、已知x、y、z满足 4x – 3y – 6z = 0，x + 2y – 7z = 0，求的值。

5、已知a+b=3，ab=1，则+的值等于________．

6、若分式的值为，则的值为（    ）

A、1        B、-1        C、-       D、

7、已知a2-3a+1=0，求的值。

四、巩固练习

(54分)

一、选择题(每题3分，共15分)

1．[2017·丽水]化简＋的结果是          (　　)

A．x＋1   B.x－1

C．x2－1    D.

2．[2016·河北]下列运算结果为x－1的是         (　　)

A．1－   B.·

C.÷   D.

3．[2016·德州]化简－等于          (　　)

A.   B.

C．－  D．－

4．[2017·泰安]化简÷的结果为       (　　)

A.   B.     C.       D.

5．若·ω＝1，则ω＝          (　　)

A．a＋2(a≠±2)   B．－a＋2(a≠2)

C．a－2(a≠2)   D．－a－2(a≠±2)

二、填空题(每题3分，共15分)

6．[2016·扬州]当a＝2 016时，分式的值是__  __.

7．[2017·扬州]若＝2，＝6，则＝____．

8．[2017·临沂]计算：÷＝____．

9．[2017·枣庄]化简：÷＝__  _.

10．[2016·咸宁]a，b互为倒数，代数式÷的值为____．

三、解答题(共24分)

11．(8分)[2016·广州改编]已知A＝(a，b≠0且a≠b)，化简A.

12．(8分)[2017·广安]先化简，再求值：÷，其中a＝2.

13．(8分)[2017·南充]化简÷，再任取一个你喜欢的数代入求值．

(38分)

14．(6分)已知＋＝3，则代数式的值为      (　　)

A．3  B．－2

C．－  D．－

15．(6分)已知a2－3a＋1＝0，则a＋－2的值为        (　　)

A.－1  B．1      C．－1  D．－5

16．(6分)[2017·眉山]已知m2＋n2＝n－m－2，那么－的值等于    (　　)

A．1   B.0         C．－1  D．－

17．(10分)[2017·滨州](1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；

(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.

18．(10分)[2017·菏泽]先化简，再求值：÷，其中x是不等式组的整数解．

五、拓展提升

(8分)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次运算的结果yn＝____     (用含字母x和n的代数式表示)．