专题03 空间向量及其运算的坐标表示（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题三    空间向量及其运算的坐标表示 一、核心素养聚焦考点一  直观想象-求空间中点、向量的坐标例题8.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标．【解析】　(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)． 考点二   数学运算-求空间向量的夹角例题9.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．【答案】120°【解析】因为a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，所以a＋b＝(－1，－2，－3)，所以|a＋b|＝.因为(a＋b)·c＝7，所以a＋b与c夹角的余弦值为，即夹角为60°.因为a＝(1,2,3)与a＋b＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120°.考点三  逻辑推理-证明垂直关系例题11、如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．求证：BN⊥平面C1MN.【证明】：如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)，∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴⊥，⊥，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.二、学业质量测评一、选择题1．求空间中点关于平面的对称点与的长度为（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】点关于平面的对称点的坐标为，所以，与的长度为，故选D.2．设，向量，且，则的值为（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】∵，∴，解得，又，所以，解得，所以，故选：A．3．已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，.故选：A.4．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据中点坐标公式，中点坐标为.故选.5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)A．(1,0，－2) B．(1,0,2)C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)【答案】C【分析】利用⊥，⊥⇔．即可得出．【详解】∵，，．∵⊥，⊥，∴．∴，解得．∴P(－1,0,2) ．故选C ．6．已知向量.若，则x的值为（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【详解】，解得.故选：A7．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ）A．点的坐标为B．点关于点对称的点为C．点关于直线对称的点为D．点关于平面对称的点为【答案】ACD【详解】根据题意知：点的坐标为，选项A正确；的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，选项B错误；在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；点关于平面对称的点为，选项D正确；故选：ACD.8．（多选题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量【答案】BD【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.二、填空题9．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是_________.【答案】【详解】解：由，得，则.故答案为：10．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______.【答案】【详解】由已知得，由题意得即，解得，.11．已知点（为坐标原点），则点的坐标为__________.【答案】【详解】设点的坐标为，,，解得∴点的坐标为.故答案为：12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 【答案】            【详解】因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.因为，所以向量的坐标为.故答案为：；；三、解答题13．已知在空间直角坐标系中，.（1）求；（2）若点M满足，求点M的坐标；（3）若，求.【答案】（1），，；（2）；（3）16.【详解】（1）因为，所以.所以，又所以，又所以.（2）由（1）知，若设M(x，y，z)，则于是，解得，故（3）由（1）知，.14．已知点，，．（1）若D为线段的中点，求线段的长；（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）由题意，点，且点D为线段的中点，可得，则，所以，即线段的长为．（2）由点，，则，所以，解得，所以，则，即向量与夹角的余弦值为．15．已知空间中三点，，，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1）∵，，设与的夹角为，∴；（2）∵，且，∴，即：或.