专题01 空间向量及其运算（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题一    空间向量及其运算  一、核心素养聚焦考点一  逻辑推理-判断向量共线例题10.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．【解析】法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2，所以∥，即与共线．法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.∴＝－＝2－2＝2(－)＝2.所以∥，即与共线．考点二   数学抽象-空间向量的概念例题11.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)【答案】，，　，，，【解析】根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.考点三  数学运算-求向量夹角例题12、已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　　)A．30°   B．45°C．60°   D．以上都不对【解析】∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；令＝c，＝b，＝a，则△ABC三边之长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA＝＝＝－，又向量和是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA，∴cos〈a，b〉＝，即向量a与b之间的夹角〈a，b〉不是特殊角．二、学业质量测评一、选择题1．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：，所以、、.根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.故选：C2．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
 A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 (  )A． B． C． D．【答案】A【详解】在平行六面体，连接AC，如图，则,故选A．4．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图：由,,故选：C5．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）A． B．C． D．以上都不对【答案】B【详解】设且，则，，则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.对于A选项，，，、、、四点不共面；对于B选项，，，、、、四点共面；对于C选项，，，、、、四点不共面.故选：B.6．空间任意四个点A,B,C,D,则等于(　　)A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得=()-.故选D．7．（多选题）若不共面，则（    ）A．共面 B．共面C．共面 D．共面【答案】BCD【详解】∵，∴共面，故B正确；∵，∴共面，故C正确；∵，∴共面，故D正确.对于A选项，若设，则得 ，故无解，因此不共面.故选：BCD.8．在正方体中，下列结论正确的是（    ）A．四边形的面积为 B．与的夹角为60°C． D．【答案】ACD【详解】如图由面得，所以四边形的面积为，故A正确；∵是等边三角形，∴，又∵，∴异面直线与所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；由向量加法的运算法则可以得到，∵，∴，故C正确；向量运算可得，∵在正方体中，面，∴，∴，故D正确.故选：ACD二、填空题9．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．【答案】【详解】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为: 10．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______． 【答案】【详解】所以，所以.11．如图，在直三棱柱中，若，则________．（用表示）【答案】【详解】在直三棱柱中，若，则故答案为：12．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.【答案】1;    .    【详解】解：取的中点，又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为故答案为： ；三、解答题13.在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.【答案】答案见解析．【详解】,在图中表示如下图所示．14．如图，在正三棱柱中，底面的边长为.（1）设侧棱长为1，试用向量法证明：；（2）设与的夹角为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【详解】（1）证明：，因为平面，所以，，又因为为正三角形，所以，所以，所以，∴；（2）由（1）知.又，所以，所以，即侧棱的长为2.15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值；【答案】（1）（2）【详解】（1）设，则，，，，,线段的长为.（2）设异面直线与所成的角为，则,..故异面直线与所成角的余弦值为.