人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念教学设计及反思

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课时素养检测

一　平面向量的概念

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下列说法中,正确的个数是 (　　)

①时间、摩擦力、重力都是向量;

②向量的模是一个正实数;

③相等向量一定是平行向量;

④向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

【解析】选B.对于①,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力都是向量,故①错误;对于②,零向量的模为0,故②错误;③正确,相等向量的方向相同,因此一定是平行向量;④显然正确.

2.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是 (　　)

A.梯形    B.平行四边形

C.矩形    D.正方形

【解析】选A.因为∥,所以AB∥CD.

又因为||≠||,所以AB≠CD.

所以四边形ABCD是梯形.

3.(多选题)设O是等边三角形ABC的外心,则,,是 (　　)

A.有相同起点的向量   B.平行向量

C.相等向量      D.模相等的向量

【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心,起点都是O,外心为各边垂直平分线的交点,

所以||=||=||.

4.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是 (　　)

A.-1　　　  　B.2　　　　  C.1　　　  　D.3

【解析】选D.||=2-(-1)=3.

5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= (　　)

A.1   B.   C.2   D.2

【解析】选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.

6.(多选题)有下列说法,其中正确的说法是 (　　)

A.若a≠b,则a一定不与b共线

B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点

C.在▱ABCD中,一定有=

D.若a=b,b=c,则a=c

【解析】选CD.对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;对于C,在▱ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故C正确;

对于D,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________. 

【解析】因为正方形的对角线长为2,所以||=.

答案:

【补偿训练】

　　　如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为______. 

【解析】结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.

答案:

8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=________. 

【解析】因为A,B,C不共线,所以与不共线.又m与,都共线,所以m=0.

答案:0

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.

(1)作出向量,,;

(2)求向量的模.

【解析】(1)作出向量,,,如图所示:

(2)由题意得,

△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,

BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.

△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米).

所以||=5米.

【补偿训练】

　　　如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个?与向量方向相同且模为3的向量共有几个?

【解析】(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.

因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.

(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.

10.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.

求证:=.

【证明】因为=,所以||=||且AB∥CD,

所以四边形ABCD是平行四边形,

所以||=||且DA∥CB.

同理可得,四边形CNAM是平行四边形,

所以=,

所以||=||,

所以||=||,

又与的方向相同,所以=.

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