5.5.1 两角差的余弦公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

两角差的余弦公式要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有：，结合向量数量积的坐标表示，有：所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使．①若，则．②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：=    要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用 ：=要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到．2．角变换后使用．3．移项运用4．特殊化使用5．以代即 【典型例题】类型一：利用差角的余弦公式进行证明例1．求证：（1）（2）【证明】（1）=             = （2）                =                =                =                =举一反三：【变式1】证明：             =             =             =             =             = 类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式例2．（1）；（2）．  举一反三：【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；（4）；            类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）例3．已知，，，均为锐角，求．     举一反三：【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值           例4．已知、均为锐角，且，，求的值．   【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值．  【变式2】若，，求的值．  类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用例5．设A、B为锐角三角形ABC的两个内角，向量，，若a，b的夹角为60°，则A－B等于（    ）A．    B．    C．    D．