5.4.3 正切函数的性质和图象-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

正切函数的性质与图象要点一：正切函数的图象由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.    要点二：正切函数的性质1．定义域：，2．值域：R  3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．要点三：正切函数型的性质1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2．值域：3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：  图象定义域值域最值当时，；当   时，．当时，      ；当时，．无最值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称轴无对称轴对称中心  类型一：正切函数的图象例1．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．  ①y=tan |x|；    ②y=|tan x| 【解析】（1）将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图．（2）①∵故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如图．        观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．        观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数． 【变式1】函数在区间内的图象大致是（    ）   【答案】D类型二：正切函数的周期性例2．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）；  （2）；  （3）；  （4）. 【解析】（1）函数是周期函数，最小正周期是．（2）是周期函数，最小正周期是．（3）由图象知，函数不是周期函数  （4）是周期函数，最小正周期是． 类型三：正切函数的单调性例3．设函数．（1）求函数的定义域、周期和单调区间（2）求不等式的解集．【解析】（1）根据函数，可得，k∈Z，求得，故函数的定义域为．它的周期为．令，k∈Z，求得，故函数的增区间为，k∈Z．（2）求不等式，即，∴，求得，故不等式的解集为，k∈Z． 举一反三：【变式1】求函数的单调增区间.【答案】  【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.【解析】函数在区间单调递减，且，即： ，解得：， 类型四：正切函数性质的综合应用例4．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（    ）A．    B．    C．    D．1【答案】C【解析】∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为，∴，∴ω=2，∴f（x）=tan2x；∴．    【变式1】（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；（2）求函数，的值域；（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．【解析】（1）由，得，∴所求定义域为．值域为R，周期，是非奇非偶函数．在区间（k∈Z）上是增函数．（2）设tan x=t．∵，∴．∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．∴当t=1，即时，ymin=8，当，即时，．∴函数的值域为．（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．∵＞0，∴=2．从而．∵函数的图象关于点对称，∴（k∈Z），即（k∈Z）．∵，∴只能取．故．