专题强化训练试卷一 平面向量数量积及其应用（提升练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

专题强化训练试卷二 平面向量数量积及其应用(提升篇）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若平面向量与的夹角为120°， ， ，则（     ）

A．  B．

C．2  D．3

【答案】B

【解析】化简，

或（舍去）．故选:B．

2.已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，即，得，

则，，.故选：C.

3.向量，若，则的值是(    )

A．4 B．-4 C．2 D．-2

【答案】B

【解析】，故选:B.

4.已知向量， ，且，则 =（     ）

A． B．-3 C．3 D．

【答案】A

【解析】由已知，，又，故，所以.故选：A.

5.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（     ）

A．-3 B．-2

C．2 D．3

【答案】C

【解析】

由，，得，则，．故选:C．

6.如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】因为，为的中点，，

所以，，则为等边三角形，

所以，又，所以，则，

因为，，所以，即为直角三角形，

所以，

.故选：B.

7.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，建立平面直角坐标系，则.

设，则，故，

即的取值范围是.故选：A

8.在中， ， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， （   ）

A.                   B.              C.             D. 24

【答案】D

【解析】以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，

则，设

当时取得最小值，

，故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.在中，，，若是直角三角形，则的值可以是

A． B． C． D．

【答案】．

【解析】中，，，

①当时，，即，解得；

②当时，，且；

即，解得；

③当时，，即，整理得，解得或；

综上知，的取值为或或．

10.下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件

B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角

C．设，，为非零向量，则

D．若点G为的重心，则

【答案】AD

【解析】对于选项A，因为

所以“”是“”的充要条件，A正确；

对于选项B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；

对于选项C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；

对于选项D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，

所以，即，D正确.

故选：AD

11.下列命题中，结论正确的有（    ）

A．

B．若，则

C．若，则A､B､C､D四点共线；

D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.

【答案】BD

【解析】对于选项A，，故A错误；

对于选项B，若，则，所以，，故，即B正确；

对于选项C，，则或与共线，故C错误；

对于选项D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；

故选：BD

12.若均为单位向量,且,则的值可能为(    )

A． B．1 C． D．2

【答案】AB

【解析】因为均为单位向量,且，

所以，所以，

而

，所以选项不正确，故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量，的夹角为，，，则________

【答案】

【解析】，，，

，

，故答案为：

14.已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.

【答案】

【解析】设点的坐标是，即，

因为向量，，

所以，，

，

当时，有最小值，此时点的坐标是，

故答案为：.

15.在四边形中，.若，则__________.

【答案】-16

【解析】因为，，

所以，

故答案为：-16

16.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】(1). ；(2).

【解析】，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知，，且与的夹角为.

(1)求的值；(2)求的值；(3)若，求实数的值.

【答案】（1）-6；（2）;(3).

【解析】（1）；

（2）；

（3）因为，

所以，

即，

，解得．

18.已知向量，满足，，．

（1）求的值；

（2）求向量与夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为,

所以

即； （2）因为 ，

所以.

.

19.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.

(1) 求的值；

(2) 求的值.

【答案】(1);(2).

【解析】(1)由题意得,

,

;

(2)

20.在中，，记，且为正实数），

（1）求证：；

（2）将与的数量积表示为关于的函数；

（3）求函数的最小值及此时角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2，.

【解析】（1）在中，，可得，

所以，所以.

（2）由，可得，

即，整理得，

所以．

（3）由（2）知，

因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为2，即，

此时，因为，可得，

又因为，此时为等边三角形，所以．

21. 在中，底边上的中线，若动点满足.

（1）求的最大值；

（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.

【答案】（1）8；（2）-5.

【解析】（1）且

三点共线，又

在线段上

为的中点，设，则，，

当时，取最大值

（2）为等腰三角形，且为底边的中线

以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系

由（1）可得，又

，

则

22.已知△OAB的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且.点是边上一点,且.

(1)求实数的值与点的坐标；

(2)求点的坐标；

(3)若为线段上的一个动点,试求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)设，则，由，

得，解得，所以点

(2)设点，则，又，则由，

   得①

   又点在边上，所以，即②

   联立①②，解得，所以点

(3)因为点Q是线段AB的中点，所以

由于反向，所以

又，若设，则，

所以

故当时，取得最小值为