2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价30平面向量的数量积及综合应用含解析新人教A版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价30平面向量的数量积及综合应用含解析新人教A版，共8页。试卷主要包含了在边长为2的等边三角形ABC中，已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．(多选题)已知向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，那么下列结论正确的是( )
A．a＋b与c为共线向量
B．a－b与c垂直
C．a－b与a的夹角为钝角
D．a－b与b的夹角为锐角
AB 解析：根据题意，向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，则a＋b＝(4,2)．
又由c＝(－2，－1)，有4×(－1)＝2×(－2)，则a＋b与c是共线向量．
因为a－b＝(－4,8)，(a－b)·c＝(－4)×(－2)＋(－1)×8＝0，所以a－b与c垂直．
2．(2020·中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时．若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为( )
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，eq \r(3)≈1.732)
A．63B．69
C．75D．81
B 解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为F1，F2，身体的重力为G，F1＝F2＝400 N，两胳膊夹角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．
所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cs 60°＋4002＝3×4002，|G|＝400eq \r(3)(N)，40eq \r(3)≈40×1.732≈69，
则该学生的体重约为69 kg.
3．(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝eq \f(π,2)，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．16 B．12 C．8 D．－4
A 解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设E(0，t)，因为AE⊥BD，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
所以t＝eq \f(8,3)，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(8,3))).
eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(8,3)))·(0,6)＝16.
4．(2020·兴庆区校级三模)在边长为2的等边三角形ABC中．若D是BC边上的中点，点P是线段AD上的一动点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－1.0]B．[－1,1]
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))
D 解析：以D为原点，DC和DA分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，eq \r(3))，C(1,0)．
设P(0，y)，y∈[0，eq \r(3)]，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，y－eq \r(3))·(－1，y)＝y(y－eq \r(3))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0)).
5．(2020·唐山二模)已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
A 解析：因为|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，
所以(a－b)·(3a－b)＝3a2＋b2－4a·b＝3＋b2－4a·b＝0，
所以a·b＝eq \f(|b|2＋3,4)，
所以cs〈a·b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(b2＋3,4|b|)＝eq \f(|b|＋\f(3,|b|),4)≥eq \f(\r(3),2)，当且仅当|b|＝eq \r(3)时，等号成立，且0°≤〈a·b〉≤180°，
所以cs〈a·b〉＝eq \f(\r(3),2)时，a，b的夹角最大为30°.
6．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,4)．若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为eq \r(5)，则|c|＝________.
5 解析：向量a＝(－1,2)，向量c与a共线，
设c＝(－λ，2λ)．由b＝(3,4)，
所以c在b方向上的投影为
|c|cs θ＝eq \f(c·b,|b|)＝eq \f(－3λ＋8λ,5)＝eq \r(5)，
解得λ＝eq \r(5)，
所以c＝(－eq \r(5)，2eq \r(5))，
所以|c|＝eq \r(－\r(5)2＋2\r(5)2)＝5.
7．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，且eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) 解析：向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)．
又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角为锐角，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＞0，,\(AB,\s\up6(→))与\(BC,\s\up6(→))不共线，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3t－3＞0，,2t－3－3≠0，))
解得t＞eq \f(7,3)且t≠eq \f(9,2)，
所以实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)).
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(10)，则点C的坐标是________．
(－1，－3) 解析：由题意，eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，－1)是一个单位向量．由于eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－4)，故eq \(OB,\s\up6(→))方向上的单位向量e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在实数λ(λ>0)使得eq \(OC,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))＋e)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－1－\f(4,5)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(9,5))).
因为|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(10)，
所以λ2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,25)＋\f(81,25)))＝10，解得λ＝eq \f(5,3).
代入得eq \(OC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,4×3)＝－eq \f(1,2).
又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(2π,3).
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝eq \r(13).
(3)因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq \f(2π,3)，
所以∠ABC＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC
＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
解：(1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).
因为0＜A＜π，
所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) eq \s\up6(2))＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
则sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，
解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|·cs B＝ccs B ＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
B组 新高考培优练
11．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A．不存在θ，使e1·e2＝eq \r(2)
B．eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)
C．(e1－e2)⊥(e1＋e2)
D．e1在e2方向上的投影为sin θ
ABC 解析：对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1·e2＝1×1×cs θ＝cs θ≤1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)＝1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，(e1－e2)·(e1＋e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝0 ，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cs θ＝cs θ，所以D错误．
12．(2020·乐山模拟)如图，已知函数f (x)＝eq \f(\r(3),2)|sin πx|，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f (x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记ni＝eq \(OA2,\s\up6(→))·eq \(OQi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，5)，则n1＋n2＋…＋n5的值为( )
A．eq \f(15,2)eq \r(3) B．45 C．eq \f(15,4)eq \r(3) D．eq \f(45,2)
D 解析：由题意得，函数f (x)的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1,2,3，故A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，A3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，
则k eq \s\d4(OA2)＝eq \f(\r(3),3)，k eq \s\d4(DA3)＝eq \f(\f(\r(3),2)－0,\f(5,2)－3)＝－eq \r(3).
因为k eq \s\d4(OA2)k eq \s\d4(DA3)＝－1，故eq \(OA2,\s\up6(→))⊥eq \(DA3,\s\up6(→))，
故n1＋n2＋…＋n5
＝eq \(OA2,\s\up6(→))(eq \(OQ1,\s\up6(→))＋eq \(OQ2,\s\up6(→))＋eq \(OQ3,\s\up6(→))＋eq \(OQ4,\s\up6(→))＋eq \(OQ5,\s\up6(→)))
＝eq \(OA2,\s\up6(→))(5eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DQ1,\s\up6(→))＋eq \(DQ2,\s\up6(→))＋eq \(DQ3,\s\up6(→))＋eq \(DQ4,\s\up6(→))＋eq \(DQ5,\s\up6(→)))
＝5eq \(OA2,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)×3＋0))＝eq \f(45,2).
13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
1 1 解析：以射线AB，AD分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0,1)．
设E(t,0)，t∈[0,1]，
则eq \(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为1.
14．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2eq \r(2)，〈a，b〉＝eq \f(π,4)，(c－a)·(c－b)＝－1，求|c－a|的最大值．
解：设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)．
因为|a|＝4，|b|＝2eq \r(2)，a与b的夹角为eq \f(π,4)，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．
因为(c－a)·(c－b)＝－1，所以x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离．因为圆心到A的距离为eq \r(2)，所以|c－a|的最大值为eq \r(2)＋1.
15．(2020·浙江模拟)已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰三角形OCD的顶点C，D在半圆弧eq \(AB,\s\up10(︵))上运动，且OC＝OD，∠COD＝120°，点P是半圆弧eq \(AB,\s\up10(︵))上的动点，求eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的取值范围．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得A(－1,0)，B(1,0)，设D(cs α，sin α)，则C(cs(α＋120°)，sin(α＋120°))．
设P(cs θ，sin θ)，其中α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝(cs(α＋120°)－cs θ，sin(α＋120°)－sin θ)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(cs α－cs θ，sin α－sin θ)，
所以eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝[cs(α＋120°)－cs θ]·(cs α－cs θ)＋[sin(α＋120°)－sin θ]·(sin α－sin θ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))cs α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))cs θ－cs α·cs θ＋cs2θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))sin α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))sin θ－sin αsin θ＋sin2θ
＝－eq \f(1,2)cs2α－eq \f(\r(3),2)sin αcs α＋eq \f(1,2)cs α·cs θ＋eq \f(\r(3),2)sin αcs θ－cs αcs θ－eq \f(1,2)·sin2α＋eq \f(\r(3),2)sin αcs α＋eq \f(1,2)sin αsin θ－eq \f(\r(3),2)cs αsin θ－sin αsin θ＋1
＝－eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,2)(cs αcs θ＋sin αsin θ)
＋eq \f(\r(3),2)(sin αcs θ－cs αsin θ)
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs(α－θ)＋eq \f(\r(3),2)sin(α－θ)
＝eq \f(1,2)＋sin(α－θ－30°)．
因为α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]，所以α－θ－30°∈[－210°，30°]，sin(α－θ－30°)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，所以eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).