2022版新高考数学一轮总复习课后集训：34+平面向量的数量积与平面向量应用举例+Word版含解析

课后限时集训(三十四)

平面向量的数量积与平面向量应用举例

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝

(　　)

A．4　　　 　 B．3　　　 　

C．2　　 　　 D．0

B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]

2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)

A．   B．－ 

C．   D．－

D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，

∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．

∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0，

∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，

即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]

3．(多选)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则(　　)

A．若a∥b，则x＝－2

B．若x＝1，则|b－a|＝

C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°

D．若a＋2b与a垂直，则x＝3

ABD　[由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1，则b＝(2,1)，|b－a|＝|(2,1)－(1，－1)|＝＝，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．]

4．(2020·武汉模拟)已知向量|a|＝，向量a与b夹角为，且a·b＝－1，则|a－b|＝(　　)

A．   B．2 

C．   D．4

A　[由平面向量数量积的定义可知，a·b＝|a|·|b|·cos ＝·|b|·＝－1，

∴|b|＝1，∴|a－b|＝＝

＝＝.故选A.]

5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰三角形   B．直角三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

A　[∵(－)·(＋－2)＝0，

∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0.

设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0.

由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，

∴△ABC为等腰三角形．故选A.]

6．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)

A．||2＝·

B．||2＝·

C．||2＝·

D．||2＝

ABD　[因为·＝||||cos A＝||||，由射影定理可得||2＝·，选项A正确；因为·＝||||cos B＝||||，由射影定理可得

||2＝·，选项B正确；由·＝||||cos (π－∠ACD)<0，||2>0，知选项C错误；由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||||＝||||，结合选项A，B可得||2＝，选项D正确．故选ABD.]

二、填空题

7．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.

　[由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.]

8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．

－　[∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，

∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，

∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]

9．(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.

　6　[设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.]

三、解答题

10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，0＜θ＜π.

(1)若向量a∥b，求θ的值；

(2)若向量a·b＝，求.

[解]　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，

∴当a∥b时，1×cos θ＝(－1)×sin θ，

即cos θ＝－sin θ.

∵θ∈(0，π)，∴θ＝ .

(2)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，

∴当a·b＝时，1×sin θ＋(－1)×cos θ＝，

可得sin θ－cos θ＝⇒(sin θ－cos θ)2＝⇒1－2sin θcos θ＝，

∴sin θcos θ＝.

∴＝

＝sin θ(sin θ＋cos θ)×

＝sin θcos θ＝.

11．(2020·徐州模拟)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)，函数f(x)＝m·n.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α∈，f ＝，求sin α的值．

[解]　∵向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)，

∴函数f(x)＝m·n＝sin xcos x＋sin2x

＝＋＝sin＋.

(1)T＝＝π.

(2)f ＝sin＋＝⇒sin＝，

∵α∈，∴－＜α－＜，

∴cos＝＝＝.

∴sin α＝sin＝sincos ＋cossin

＝×＋×＝.

1．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列说法正确的是

(　　)

A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形

B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形

C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形

D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形

BCD　[在△ABC中，＝c，＝a，＝b.

若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，即·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，故△ABC为直角三角形，D正确．故选BCD.]

2．(2020·广州模拟)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝80 N，则G的大小为________，F2的大小为________．

160 N　80 N　[根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：∠CAO＝90°，∠AOC＝30° ，AC＝80，

∴OC＝160，OA＝80，

∴G的大小为160 N，F2的大小为80 N．]

3．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)．

[解]　(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，

∴|a|＝＝1，同理|b|＝1.

∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，

因此，向量a＋b与a－b垂直；

(2)a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)，

∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，则

k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2，

即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得

a·b＝cos(β－α)＝0，

∵0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π，所以，－π＜β－α＜0，∴β－α＝－.

1.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，＝2，则·的最小值为________．

5－2　[方法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D.

由题意得AB＝2×2×sin ＝2，所以AC＝3.

取AC中点M，连接PM，由题意得

两式平方后相减得·＝2－2＝2－.

要使·最小，就要使PM最小．

连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小．

此时DM＝，所以OM＝＝，所以PM的最小值为2－，

代入求得·的最小值为5－2.

方法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．

连接OA，由已知得OA＝2，则A(－1，)，B(1，)，圆O的方程为x2＋y2＝4.

连接OC，由＝2得BC＝1，故C(2，)，所以OC＝.

设P(x，y)，则由题意可得－1≤x≤1.

易得＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)．

所以·＝(－1－x)(2－x)＋(－y)2

＝x2＋y2－(x＋2y)＋1

＝5－(x＋2y)．

不妨设θ∈，

则·＝5－(2cos θ＋2×2sin θ)

＝5－2(cos θ＋2sin θ)

＝5－2sin(θ＋φ).

因为sin(θ＋φ)的最大值为1，

所以·的最小值为5－2.]

2．已知O为△ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.

(1)若＝a，＝b，＝c，＝h，试用a，b，c表示h；

(2)证明：⊥；

(3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|.

[解]　(1) 由平行四边形法则可得：＝＋＝＋＋，即h＝a＋b＋c.

(2)∵O是△ABC的外心，∴||＝||＝||，即|a|＝|b|＝|c|，

而＝－＝h－a＝b＋c，＝－＝c－b，

∴·＝(b＋c)·(c－b)＝|c|2－|b|2＝0，

∴⊥.

(3)在△ABC中，O为△ABC的外心，∠A＝60°，∠B＝45°，

∴∠BOC＝120°，∠AOC＝90°，

于是∠AOB＝150°，

|h|2＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a

＝3R2＋2|a|·|b|·cos 150°＋2|b|·|c|·cos 120°＋2|c|·|a|·cos 90°

＝(2－)R2，

∴|h|＝.