初中数学苏科版八年级下册第11章 反比例函数综合与测试单元测试课后练习题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题11.9第11章反比例函数单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•徐州期末）如图，点P是反比例函数y=−4x图象上的一个点，过P作PA⊥x轴，垂足为A，PC⊥y轴，垂足为C，则矩形OAPC的面积是（　　）

A．2 B．12 C．4 D．14
【分析】直接根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义求解．
【解析】∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，
∴矩形OAPB的面积＝|﹣4|＝4，
故选：C．
2．（2020春•工业园区期末）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=−2020x上，且x1＜0＜x2，则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．y1，y2的大小关系无法确定
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到y1和y2的大小关系，本题得以解决．
【解析】∵函数y=−2020x，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，当x＜0时，y＞0，当x＞0时，y＜0，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=−2020x上，且x1＜0＜x2，
∴y1＞y2，
故选：A．
3．（2020春•吴中区期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A．y=x100 B．y=100x C．y=400x D．y=x400
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解析】由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y=100x．
故选：B．
4．（2020春•新沂市期末）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−1x的图象上，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解析】∵点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−1x的图象上，
∴y1=−1−3=13，y2=−1−2=12，y3=−13，
又∵−13＜13＜12，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
5．（2020春•邳州市期末）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx的图象与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C为坐标（3，n），△OAB的面积为3，则点C的坐标是（　　）

A．（3.2） B．（3，32） C．（3，1） D．（3，12）
【分析】利用三角形面积公式得到S△AOC=12S△OAB=32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到12|k|=32，然后利用反比例函数的性质确定k的值，最后把C（3，n）代入反比例函数的解析式，即可求得C的坐标．
【解析】如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC=12S△OAB=32，
而S△AOC=12|k|，
∴12|k|=32，
而k＞0，
∴k＝3，
∴y=3x，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，点C为坐标（3，n），
∴3n＝3，
∴n＝1，
∴C（3，1），
故选：C．

6．（2020春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过正方形对角线的交点E，若点A（2，0）、D（0，4），则k＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】通过证得△AOD≌△BMA求出B的坐标，进而得到E点坐标，代入y=kx，利用待定系数法求出k．
【解析】作BM⊥x轴于M，
由正方形的性质可知AD＝AB，∠BAD＝90°，BE＝DE，
∴∠ADO+∠DAO＝∠DAO+∠BAM，
∴∠ADO＝∠BAM，
∵∠AOD＝∠BMA＝90°，
∴△AOD≌△BMA（AAS），
∴OA＝BM，OD＝AM，
∵点A（2，0）、D（0，4），
∴OA＝2，OD＝4，
∴BM＝OA＝2，OM＝2+4＝6，
∴B（6，2），
∵E是BD的中点，
∴E（3，3），
∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝3×3＝9．
故选：C．

7．（2020春•清江浦区期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P=FS（S≠0），这个反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解析】当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：A．
8．（2020春•秦淮区期末）如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y=mx的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y=nx的图象交于点C、D．若四边形ACBD的面积是4，则m、n满足等式（　　）

A．m+n＝4 B．n﹣m＝4 C．m+n＝2 D．n﹣m＝2
【分析】连接AB，OC，根据反比例函数的性质可得点O在线段AB上，且OA＝OB，由点A（a，b）是反比例函数y=mx的图象上的点，可得b=ma，由AC∥y轴，可得点C的坐标为（a，na），进而可得AC＝BD＝|ma−na|，从而可以判断四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得S△AOC=12S△ACB=14S平行四边形ACBD＝1，然后根据三角形的面积公式可得12AC|a|＝1，整理得：n﹣m＝2．
【解析】连接AB，OC，如图，

∵A（a，b）、B（﹣a，﹣b）关于原点对称，且是反比例函数y=mx的图象上的两点，
∴点O在线段AB上，且OA＝OB，
∵A（a，b）是反比例函数y=mx的图象上的点，
∴b=ma，
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（a，na），
∴AC＝|ma−na|，
同理可得BD＝|ma−na|，
∴AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴S△AOC=12S△ACB=14S平行四边形ACBD＝1，
∴12AC|a|＝1，
∴12（ma−na）•（﹣a）＝1，
整理得：n﹣m＝2．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
9．（2020春•南京期末）已知反比例函数y=2k−1x的图象经过第一、三象限，则常数k的取值范围是　k＞12　．
【分析】根据反比例函数的性质可得2k﹣1＞0，再解不等式即可．
【解析】∵双曲线y=2k−1x的图象经过第一、三象限，
∴2k﹣1＞0，
解得k＞12．
故答案为：k＞12．
10．（2019秋•大通区期末）已知反比例函数y=−2x，下列结论：①图象必经过点（﹣1，2）；②y随x的增大而增大；③图象在第二、四象限内；④若x＞1，则y＞﹣2．其中正确的有　①③　．（填序号）
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解析】①当x＝﹣1时，y＝2，即图象必经过点（﹣1，2）；
②k＝﹣2＜0，每一象限内，y随x的增大而增大；
③k＝﹣2＜0，图象在第二、四象限内；
④k＝﹣2＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若x＞1，﹣2＜y＜0，故④错误，
故答案为：①③．
11．（2020春•丰县期末）某函数具有下列性质：①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则其函数解析式可以为　y=−2x　．
【分析】根据所给条件结合所学函数可得反比例函数y=kx，当k＜0时，①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，因此可写y=−2x．
【解析】由题意得：y=−2x，
故答案为：y=−2x．
12．（2019春•广陵区校级期末）如图，两双曲线y=kx与y=−6x分别位于第一、第四象限，A是y轴上任意一点，B是y=−6x上的点，C是y=kx上的点，线段BC⊥x轴于点D，且2BD＝3CD，则△ABC的面积为　5　．

【分析】连接OB、OC，如图，由于OA∥BC，则S△OBC＝S△ABC，再根据反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝3，接着根据三角形面积公式由3BD＝2CD得S△OCD=23S△OBD＝2，所以S△ABC＝5．
【解析】连接OB、OC，如图，
∵BC⊥x轴，
∴S△OBC＝S△ABC，
∵S△OBD=12×|﹣6|＝3，
而2BD＝3CD，
∴S△OCD=23S△OBD＝2，
∴S△OBC＝3+2＝5，
∴S△ABC＝5．
故答案为5．

13．（2019春•常熟市期末）反比例函数y=2x与一次函数y＝x+3的图象的一个交点坐标是（a，b），则a2b﹣ab2＝　﹣6　．
【分析】根据函数图象上点的坐标特征得到ab＝2，b﹣a＝3，把原式提公因式，代入计算即可．
【解析】∵反比例函数y=2x与一次函数y＝x+3的图象的一个交点坐标是（a，b），
∴ab＝2，b﹣a＝3，
则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．（2019春•常熟市期末）如图正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点分别在边OA和y轴上，反比例函数y=16x（x＞0）的图象经过P、Q两点．若四边形BDQE的面积为4，则Q的坐标为　（3，163）　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出OA•OB＝OC•OD＝16，求得OA＝OB＝4，四边形BDQE的面积为4，得出OC•OB＝12，从而求得Q点的横坐标为3，代入解析式求得纵坐标．
【解析】由题意可知，OA•OB＝OC•OD＝16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA＝OB＝4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形OCEB的面积为12，
∴OC•OB＝12，
∴OC=12OB=124=3，
∴Q点的横坐标为3，
把x＝3代入y=16x（x＞0）得，y=163，
∴Q（3，163），
故答案为（3，163）．
15．（2019春•张家港市期末）如图，A，B是反比例函数y=6x（x＞0）图象上的两点，过点A作AP∥y轴，过点B作BP∥x轴，交点为P连接OA，OP，若△AOP的面积为2，则△ABP的面积为　4　．

【分析】根据反比例函数特征，设A（m，6m），B（n，6n），根据题意可得AP=6m−6n，且A点到y轴的距离为m，依据已知△AOP的面积为2，得到m和n的关系式n＝3m，计算△ABP面积=12AP×BP，即可得到结果．
【解析】设A（m，6m），B（n，6n），
根据题意可得AP=6m−6n，且A点到y轴的距离为m，
则12AP×m=12（6m−6n）×m＝2，整理得mn=13，
所以n＝3m，B点坐标可以表示为（3m，2m）
△ABP面积=12AP×BP=12（6m−2m）×（3m﹣m）＝4．
故答案为4．
16．（2019春•盐城期末）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上．若反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为　12　．

【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝8，CE＝OB＝6，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∵AB＝10，
∴OB=102−82=6，
在△ABO和△BCE中，
∠OAB=∠CBE∠AOB=∠BECAB=BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝8，CE＝OB＝6，
∴OE＝BE﹣OB＝8﹣6＝2，
∴点C的坐标为（6，2），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝2×6＝12，
故答案为12．

17．（2019春•玄武区期末）如图，反比例函数y1=kx（x＞0）与正比例函数y2＝mx和y3＝nx象分别交于点A（2，2）和B（b，3），则关于x的不等式组mx＜kxnx＞kx的解集为　43＜x＜2　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得b的值，然后根据图象即可求得不等式的解集．
【解析】∵反比例函数y1=kx（x＞0）与正比例函数y2＝mx和y3＝nx象分别交于点A（2，2）和B（b，3），
∴k＝2×2＝3b，
∴b=43，
∴B（43，3），
由图象可知，关于x的不等式组mx＜kxnx＞kx的解集为：43＜x＜2，
故答案为：43＜x＜2．
18．（2019春•玄武区期末）如图，在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，…Pn，Pn+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1，分别过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，…，则Sn＝　9n(n+1)　．（用含n的代数式表示）

【分析】求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出结论．
【解析】当x＝1时，P1的纵坐标为9，
当x＝2时，P2的纵坐标4.5，
当x＝3时，P3的纵坐标3，
当x＝4时，P4的纵坐标94，
当x＝5时，P5的纵坐标95，
…
则S1＝1×（9﹣4.5）＝9﹣4.5；
S2＝1×（4.5﹣3）＝4.5﹣3；
S3＝1×（3−94）＝3−94；
S4＝1×（94−95）=94−95；
…
Sn=9n−9n+1=9n(n+1)；
故答案为9n(n+1)．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•新沂市期末）已知，反比例函数y=2x的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的纵坐标是﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）在反比例函数图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的值；
（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2﹣x1＝2，y1+y2＝3，求△MON的面积．
【分析】（1）先求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象上点的坐标特征求得mn＝2，n＝m+3，即可求得m2+3m＝2，则m2+n2＝m2+（m+3）2＝2m2+6m+9＝2（m2+3m）+9＝2×2+9＝13；
（3）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，根据反比例函数系数k的几何意义，由S△MON＝S梯形MNHG+S△MOG﹣S△NOH＝S梯形MNHG即可求得．
【解析】（1）∵反比例函数y=2x的图象和一次函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的纵坐标是﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），
设一次函数的表达式为y＝kx+b，
∵经过A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1）点，
∴−k+b=−2−2k+b=−1，解得k=−1b=−3，
∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x﹣3；
（2）∵点P（m，n）与点Q关于x轴对称，
∴Q（m，﹣n），
∵点P（m，n）在反比例函数图象上，
∴mn＝2，
∵点Q恰好落在一次函数的图象上，
∴n＝m+3，
∴m（m+3）＝2，
∴m2+3m＝2，
∴m2+n2＝m2+（m+3）2＝2m2+6m+9＝2（m2+3m）+9＝2×2+9＝13；
（3）如图，过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H，
∵M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=2x在第一象限图象上的两点，
∴S△MOG＝S△NOH=12|k|＝1，
∵x2﹣x1＝2，y1+y2＝3，
∴S△MON＝S梯形MNHG+S△MOG﹣S△NOH＝S梯形MNHG=12（y1+y2）（x2﹣x1）=12×3×2=3．

20．（2019秋•鼓楼区期末）如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是152，求一次函数y＝kx+b的表达式．

【分析】（1）根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y＝kx+b的表达式．
【解析】（1）∵点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝OC，
∴AC•OC＝9，
∴AC＝OC＝3，
∴点A的坐标为（3，3）；

（2）∵四边形ABOC的面积是152，
∴（OB+3）×3÷2=152，
解得OB＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
依题意有b=23k+b=3，
解得k=13b=2．
故一次函数y＝kx+b的表达式为y=13x+2．
21．（2019春•苏州期末）如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数y=−1x的图象于点A，交函数y=−4x的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y=−1x于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；
（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

【分析】（1）点P（﹣1，0）则点A（﹣1，1），点B（﹣1，4），点C（−14，4），S△ABC=12BC×AB，即可求解；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t，−1t）、（t，−4t）、（t4，−4t），AB＝BC，即：−4t+1t=t4−t，即可求解；
（3）S△OAC＝S梯形AMNC=12（−t4−t）（−4t+1t）=158，即可求解．
【解析】（1）点P（﹣1，0）则点A（﹣1，1），点B（﹣1，4），点C（−14，4），
S△ABC=12BC×AB=12（−14+1）（4﹣1）=98；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t，−1t）、（t，−4t）、（t4，−4t），
AB＝BC，即：−4t+1t=t4−t，解得：t＝±2（舍去2），
故点A（﹣2，12）；
（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，

各点坐标同（2），
S△OAC＝S梯形AMNC=12（−t4−t）（−4t+1t）=158，
故△OAC的面积随t的值的变化而不变．
22．（2019春•相城区期末）【阅读理解】
对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，
∴a+b−2ab≥0
∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝　1　时，x+1x有最小值为　2　；
（2）如图，已知点A在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y=−1x(x＞0)的图象上，AB∥y轴，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值．

【分析】（1）根据阅读中提供的方法，模仿得出答案，
（2）将四边形ABCD周长的最小值转化为求a+4a的最小值，联系上述方法，根据结论直接得出答案．
【解析】（1）由阅读得：在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
∵x×1x=1 （定值）
∴当x=1x时，即x＝±1，
又∵x＞0，
∴x＝1时，x+1x的最小值为2．
故答案为：1，2．
（2）设A（a，3a），则B（a，−1a）
∴四边形ABCD周长＝2（a+4a）≥2×2a⋅4a=4×2＝8，
∴四边形ABCD周长最小值为8．
23．（2019春•工业园区期末）如图，Rt△AOB的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过斜边OA的中点D，与直角边AB相交于点C
（1）若点A（4，6），求点C的坐标：
（2）若S△OCD＝9，求k的值．

【分析】（1）由点A的坐标可知OB、AB的长度，由D是OA的中点，根据相似三角形可求出点D的坐标，进而确定反比例函数的关系式，由点C的横坐标可求出纵坐标，
（2）设出点D的坐标，表示出点C的坐标，由△COD的面积是9，列出含有k的方程，求出k的值．
【解析】（1）∵点A（4，6），
∴OB＝4，AB＝6，
过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D是OA的中点，
∴OM＝MB=12OB＝2，DM=12AB＝3，
∴D（2，3）代入y=kx得：k＝6，
∴反比例函数的关系式为：y=6x，
当x＝4时，y=32，
∴C（4，32）；
（2）设D（m，km），则C（2m，k2m），
∴S△OCD＝S△ODM+S四边形DMBC﹣S△OCB＝S四边形DMBC=12（k2m+km）×m=34k＝9，
∴k＝12．
答：k的值为12．

24．（2019春•宝应县期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y=kx（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．

【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；
（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；
（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDO＝90°．
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDO＝∠DAF．
在△CDO和△DAF中，∠DOC=∠AFD=90°∠CDO=∠DAFDC=AD，
∴△CDO和△DAF（AAS）．
（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），
∴OC＝3，OD＝4．
∵△CDO和△DAF，
∴FA＝OD＝4，FD＝OC＝3，
∴OF＝OD+FD＝7，
∴点A的坐标为（4，7）．
∵反比例函数y=kx（k＞0）过点A，
∴k＝4×7＝28，
∴反比例函数解析式为y=28x．
同（1）可证出：△CDO≌△BCG，
∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝4，
∴OG＝OC+GC＝7，
∴点G的坐标为（7，0）．
当x＝7时，y=287=4，
∴点E的坐标为（7，4）．
（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（4，7），E（7，4）代入y＝ax+b，得：4a+b=77a+b=4，
解得：a=−1b=11，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+11．
∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为（m，﹣m+3），
∵点A的坐标为（4，7），点C的坐标为（3，0），
∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣4）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+18．
分三种情况考虑：
①当AC＝AP时，50＝2m2+32，
解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，6）；
②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+18，
解得：m3＝﹣2，m4＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；
③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+18，
解得：m=−76，
∴点P的坐标为（−76，256）．
综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（−76，256）．


25．（2019春•丹阳市期末）如图，一次函数y=12x+b与反比例函数y=kx的图象交于点A（4，a）、B（﹣8，﹣2）．
（1）求k、a、b的值；
（2）求关于x的不等式12x+b＞kx的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数y=kx的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标．

【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出a值；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式12x+b＞kx的解集；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，16n），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑：①AB为边，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标；②AB为对角线，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．综上，此题得解．
【解析】（1）∵一次函数y=12x+b的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴﹣2＝﹣4+b，
∴b＝2．
∵反比例函数y=kx的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴k＝（﹣8）×（﹣2）＝16．
当x＝4时，a=16x=4，
∴点A的坐标为（4，4）．
（2）观察函数图象，可知：
当﹣8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=12x+2的图象在反比例函数y=16x的图象上方，
∴不等式12x+b＞kx的解集为﹣8＜x＜0或x＞4．
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，16n）．
分两种情况考虑：
①AB为边，如图2所示．
当四边形AP1Q1B为平行四边形时，4+n=0−84+16n=m−2，
解得：n=−12m=143，
∴点P1的坐标为（0，143）；
当四边形ABP2Q2为平行四边形时，4+0=−8+n4+m=−2+16n，
解得：n=12m=−143，
∴点P2的坐标为（0，−143）；
②AB为对角线，如图3所示．
∵四边形APBQ为平行四边形，
∴4−8=0+n4−2=m+16n，解得：n=−4m=6，
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，143），（0，−143）或（0，6）．



26．（2019春•玄武区期末）（1）下列关于反比例函数y=6x的性质，描述正确的有　BCD　．（填所有描述正确的选项）
A．y随x的增大而减小
B．图象关于原点中心对称
C．图象关于直线y＝x成轴对称
D．把双曲线y=6x绕原点逆时针旋转90°可以得到双曲线y=−6x
（2）如图，直线AB、CD经过原点且与双曲线y=6x分别交于点A、B、C、D，点A、C的横坐标分别为m、n（m＞n＞0），连接AC、CB、BD、DA．
①判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
②当m、n满足怎样的数量关系时，四边形ACBD是矩形？请直接写出结论；
③若点A的横坐标m＝3，四边形ACBD的面积为S，求S与n之间的函数表达式．

【分析】（1）利用反比例函数的性质，找出结论；
（2）①由正、反比例函数的对称性可得出OA＝OB，OC＝OD，进而可证出四边形ACBD为平行四边形；
②（方法一）利用矩形的判定定理可得出：当∠ACB＝90°时，四边形ACBD是矩形，由点A，B，C的坐标可得出AB2，AC2，BC2的值，利用勾股定理可找出当四边形ACBD是矩形时m，n之间的关系；（方法二）利用矩形的判定定理可得出：当OA＝OC时，四边形ACBD是矩形，由点A，C的坐标结合OA＝OC，即可得出m2+36m2=n2+36n2，再结合m＞n＞0即可找出当四边形ACBD是矩形时m，n之间的关系；
③由m的值可得出点A的坐标，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥x轴于点M，由S△OAC＝S矩形OMCF+S梯形CMEA﹣S△OCF﹣S△OAE可求出△OAC的面积，再利用平行四边形的性质，即可求出S与n之间的函数表达式．
【解析】（1）∵6＞0，
∴在同一象限内，y随x的增大而减小，A不符合题意；
∵y=6x为反比例函数，
∴函数y=6x的图象关于原点中心对称，函数y=6x的图象关于直线y＝x成轴对称，B，C符合题意；
设点（a，6a）为反比例函数y=6x上任意一点，
∵将该点绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标为（−6a，a），−6a×a＝﹣6，
∴把双曲线y=6x绕原点逆时针旋转90°可以得到双曲线y=−6x，D符合题意．
故答案为：BCD．
（2）①四边形ACBD为平行四边形，理由如下：
∵直线AB，CD经过原点且与双曲线y=6x分别交于点A，B，C，D，双曲线y=6x的图象关于原点中心对称，
∴点A，B关于原点对称，点C、D关于原点对称，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形ACBD为平行四边形．
②（方法一）当∠ACB＝90°时，四边形ACBD是矩形．
∵点A，C的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），
∴点A的坐标为（m，6m），点C的坐标为（n，6n），
∴点B的坐标为（﹣m，−6m），点D的坐标为（﹣n，−6n），
∴AC2＝（n﹣m）2+（6n−6m）2＝m2+n2+2mn+36m2+36n2−72mn，BC2＝[n﹣（﹣m）]2+[6n−（−6m）]2＝m2+n2+2mn+36m2+36n2+72mn，AB2＝（﹣m﹣m）2+（−6m−6m）2＝4m2+144m2．
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即m2+n2+2mn+36m2+36n2−72mn+m2+n2+2mn+36m2+36n2+72mn=4m2+144m2，
∴m2+36m2=n2+36n2，
∴m2﹣n2=36(m2−n2)m2⋅n2．
又∵m＞n＞0，
∴m2•n2＝36，
∴mn＝6，
∴当mn＝6时，四边形ACBD是矩形．
（方法二）当OA＝OC时，四边形ACBD是矩形．
∵点A，C的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），
∴点A的坐标为（m，6m），点C的坐标为（n，6n），
∴m2+36m2=n2+36n2，
∴m2+36m2=n2+36n2，
∴m2﹣n2=36(m2−n2)m2⋅n2．
又∵m＞n＞0，
∴m2•n2＝36，
∴mn＝6，
∴当mn＝6时，四边形ACBD是矩形．
③当m＝3时，点A的坐标为（3，2）．
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥x轴于点M，如图所示．
∵点C的坐标为（n，6n），
∴OM＝n，ME＝3﹣n，CM=6n，
∴S△OAC＝S矩形OMCF+S梯形CMEA﹣S△OCF﹣S△OAE，
＝6+12×（6n+2）×（3﹣n）−12×6−12×6，
=9n−n．
∵四边形ACBD为平行四边形，
∴S＝4S△OAC=36n−4n．