高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第一课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第一课时学案，共8页。

早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系，你发现了吗？
[问题] 日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？





知识点 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的三种位置关系
2．直线与圆的位置关系的判断
1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？
提示：一定．
2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？
提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
答案：(1)√ (2)√
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B 圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).因为0＜eq \f(\r(2),2)＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B.
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C.eq \r(2) D．无解
解析：选B 由于直线与圆相切，故eq \r(m)＝eq \f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2.
4．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3，4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝eq \f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2×eq \r(25－5)＝2eq \r(20)＝4eq \r(5).
答案：4eq \r(5)
[例1] (链接教科书第91页例1)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系．
[解] 法一(代数法)：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－7）2＋（y－1）2＝36，,x－2y＋5＝0))
消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交．
法二(几何法)：圆心(7，1)到直线l的距离为d＝eq \f(|1×7－2×1＋5|,\r(12＋（－2）2))＝2eq \r(5).∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交．
eq \a\vs4\al()
判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
[跟踪训练]
1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
解析：选C 直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．不确定
解析：选C 由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交.
[例2] (链接教科书第92页例2)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________；
(2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程为________．
[解析] (1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝eq \f(|m×0＋（－1）×0＋2|,\r(m2＋（－1）2))＝eq \f(2,\r(m2＋1)) .由已知得d＝r，即eq \f(2,\r(m2＋1))＝1，解得m＝±eq \r(3).
(2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线l的距离为eq \f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，
因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.
[答案] (1)±eq \r(3) (2)y＝4或3x＋4y－13＝0
eq \a\vs4\al()
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3．求切线长(最值)的两种方法
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
[跟踪训练]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋（－4）2))＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
2．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×eq \f(1,2)|OA|·|PA|
＝2eq \r(|OP|2－|OA|2)＝2eq \r(|OP|2－4).
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝eq \f(10,\r(22＋12))＝2eq \r(5).
故所求最小值为2eq \r(（2\r(5)）2－4)＝8.
答案：8
[例3] (链接教科书第91页例1)如果一条直线经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
[解] 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq \r(52－42)＝3.
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．当直线的斜率存在时，设直线y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k－\f(3,2)))＝0的距离等于3，于是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(3,4).
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
eq \a\vs4\al()
求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
[跟踪训练]
1．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝eq \f(|2－2－3|,\r(5))＝eq \f(3,\r(5))，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 eq \r(4－\f(9,5))＝eq \f(2\r(55),5).
答案：eq \f(2\r(55),5)
2．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝eq \r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq \r(2).
∴半弦长为eq \r(r2－|CA|2)＝eq \r(4－2)＝eq \r(2).
∴最短弦的长为2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
圆的切线与切点弦
若P0(x0，y0)是圆O：x2＋y2＝r2上一点，则圆O的过点P0的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
事实上，因为点P0(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝r2上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝r2，即x0·x0＋y0·y0＝r2，从而点P0在直线x0x＋y0y＝r2上．
又因为圆心O到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝eq \f(r2,\r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)))＝r，所以x0x＋y0y＝r2是圆O的过点P0的切线方程．
[问题探究]
当点P0(x0，y0)在圆O外时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线呢？
如图，过P0(x0，y0)作圆O的两条切线，切点分别为A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线P0A的方程为
x1x＋y1y＝r2.
因为P0(x0，y0)在直线P0A上，所以
x1x0＋y1y0＝r2，
故(x1，y1)满足方程x0x＋y0y＝r2，
即点A在直线x0x＋y0y＝r2上．
同理点B在直线x0x＋y0y＝r2上．
所以x0x＋y0y＝r2是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程．
[迁移应用]
当点P0(x0，y0)在圆O内(异于O)时，方程x0x＋y0y＝r2表示怎样的直线？
解：圆心O(0，0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝eq \f(r2,\r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)))，∵点P0(x0，y0)在圆O内，即eq \r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))r，故直线与圆相离．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D 圆心C(1，1)到直线的距离d＝eq \f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(19,5)，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d2，
所以m∈(－2eq \r(2)，2eq \r(2))．
新课程标准解读
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系
逻辑推理、直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想
直观想象、数学运算
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
直线与圆位置关系的判断
切线问题
弦长问题