人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第二课时学案，共5页。
[例1] 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解] 建立如图所示的直角坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－10－a）2＋b2＝r2，,（10－a）2＋b2＝r2，,a2＋（b－4）2＝r2.))
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1(m)．
由于船在水面以上高3 m，30)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq \r(51)，∴当水面下降1 m 后，水面宽为2x0＝2eq \r(51) m.
答案：2eq \r(51)
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西方向70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北方向40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系(如图所示)，则受台风影响的圆形区域的边界的方程为x2＋y2＝302，港口所对应的点的坐标为(0，40)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(70，0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,70)＋eq \f(y,40)＝1，即4x＋7y－280＝0，圆心O(0，0)到l：4x＋7y－280＝0的距离d＝eq \f(280,\r(42＋72))＝eq \f(280,\r(65))，因为eq \f(280,\r(65))>30，所以直线l与圆相离．故轮船返回港口的途中不会受到台风的影响.
[例3] 在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
[解] 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，
则2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝2x－1.①
又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.
∵P(x，y)是内切圆上的点，
∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.
又三个圆的面积之和为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|,2)))eq \s\up12(2)＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PB|,2)))eq \s\up12(2)＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PO|,2)))2＝eq \f(π,4)(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为eq \f(11,2)π，最小值为eq \f(9,2)π.
eq \a\vs4\al()
用坐标法解决几何问题的步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素(点、直线、圆等)，将平面几何问题转化为代数问题；
(2)通过代数运算，解决代数问题；
(3)将代数问题的运算结果“翻译”成几何结论．
[跟踪训练]
如图，AB为圆的定直径，CD为动直径(D在下方)，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，延长线段ED到点P，并使|PD|＝|AB|.求证：直线CP必过定点．
解：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，设圆的方程为x2＋y2＝r2(r为常数，r>0)．
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
所以P(－x0，－y0－2r)，
所以直线CP的方程为
y－y0＝eq \f(－y0－2r－y0,－x0－x0)(x－x0)，即y＝eq \f(y0＋r,x0)x－r.
由直线的点斜式方程，知直线CP过定点(0，－r)．
故直线CP必过定点．
1．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A．2.4米 B．3.5米
C．3.6米 D．2.0米
解析：选B 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去)．
2．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即eq \f(|2＋3＋2|,\r(12＋（－1）2))－2＝eq \f(7\r(2),2)－2.
答案：eq \f(7\r(2),2)－2
3．已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.
求证：AC⊥BD.
证明：如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，
∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，
∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，
∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
直线与圆的方程的实际应用问题
直线与圆的方程在几何问题中的应用