2020-2021学年1.1 空间向量及其运算第一课时学案

这是一份2020-2021学年1.1 空间向量及其运算第一课时学案，共8页。
第一课时 空间向量及其线性运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动．原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去．
[问题] 同学们，你知道为什么车会一动不动吗？


知识点一 空间向量的有关概念
1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或eq \a\vs4\al(模)．
3．表示法：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1）几何表示法：空间向量用,有向线段表示；,（2）字母表示法：用字母表示，,若向量a的起点是A，终点是B，,则向量a记作\(AB,\s\up6(―→))，,其模记为|a|或|\(AB,\s\up6(―→))|Ｗ.))
4．几个特殊向量
空间中的任意两个向量是不是共面向量？
提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．( )
(2)向量eq \(AB,\s\up6(―→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(―→))的长度相等．( )
(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2.如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出eq \(AA1,\s\up6(―→))的相反向量．
解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量eq \(AA1,\s\up6(―→))，eq \(A1A,\s\up6(―→))，eq \(BB1,\s\up6(―→))，eq \(B1B,\s\up6(―→))，eq \(CC1,\s\up6(―→))，eq \(C1C,\s\up6(―→))，eq \(DD1,\s\up6(―→))，eq \(D1D,\s\up6(―→))，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)向量eq \(AA1,\s\up6(―→))的相反向量有eq \(A1A,\s\up6(―→))，eq \(B1B ,\s\up6(―→))，eq \(C1C,\s\up6(―→))，eq \(D1D,\s\up6(―→))，共4个．
知识点二 空间向量的线性运算
1．向量线性运算的结果还是向量吗？
提示：是向量．
2．由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
提示：不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.
3．λa的长度是a的长度的λ倍吗？
提示：不是，应是|λ|倍．
1．化简eq \(PM,\s\up6(―→))－eq \(PN,\s\up6(―→))＋eq \(MN,\s\up6(―→))所得的结果是( )
A.eq \(PM,\s\up6(―→)) B.eq \(NP,\s\up6(―→))
C．0 D.eq \(MN,\s\up6(―→))
答案：C
2．已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(BC,\s\up6(―→))＝b，eq \(AD,\s\up6(―→))＝c，则eq \(CD,\s\up6(―→))等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
解析：选B eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝－a－b＋c＝c－a－b.
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________．
答案：3a－2b
[例1] (链接教科书第9页1题)给出下列命题：
(1)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(2)向量a，b相等的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|，,a∥b；))
(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
其中正确的是________．(填序号)
[解析] a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故(1)正确．
由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故(2)错误．
∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，∴|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝|eq \(DC,\s\up6(―→))|且eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(DC,\s\up6(―→)).
又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在平行四边形ABCD中，有eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，故(3)正确．
[答案] (1)(3)
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反．
[跟踪训练]
1．下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(CD,\s\up6(―→))满足|eq \(AB,\s\up6(―→))|>|eq \(CD,\s\up6(―→))|，则eq \(AB,\s\up6(―→))>eq \(CD,\s\up6(―→))
D．相等向量其方向必相同
解析：选D A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
2．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②若a≠b，则|a|≠|b|；
③两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
解析：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，③不正确．综上可知只有①正确．
答案：①
[例2] 如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)eq \(AA′,\s\up6(―→))－eq \(CB,\s\up6(―→))；
(2)eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(B′C′,\s\up6(―→)).
[解] (1)eq \(AA′,\s\up6(―→))－eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(AA′,\s\up6(―→))－eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(A′D′,\s\up6(―→))＝eq \(AD′,\s\up6(―→)).
(2)eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(B′C′,\s\up6(―→))＝(eq \(AA′,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→)))＋eq \(B′C′,\s\up6(―→))＝eq \(AB′,\s\up6(―→))＋eq \(B′C′,\s\up6(―→))＝eq \(AC′,\s\up6(―→)).
向量eq \(AD′,\s\up6(―→))，eq \(AC′,\s\up6(―→))如图所示．
eq \a\vs4\al()
空间向量加减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
[跟踪训练]
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为eq \(AC1,\s\up6(―→))的有①(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))＋eq \(CC1,\s\up6(―→))；②(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1D1,\s\up6(―→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(―→))；③(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1B1,\s\up6(―→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(―→)).( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D ①连接AC(图略)，(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))＋eq \(CC1,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CC1,\s\up6(―→))＝eq \(AC1,\s\up6(―→))；
②连接AD1(图略)，(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1D1,\s\up6(―→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(―→))＝eq \(AD1,\s\up6(―→))＋eq \(D1C1,\s\up6(―→))＝eq \(AC1,\s\up6(―→))；
③连接AB1(图略)，(eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1B1,\s\up6(―→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(―→))＝eq \(AB1,\s\up6(―→))＋eq \(B1C1,\s\up6(―→))＝eq \(AC1,\s\up6(―→)).
即所给3个式子的运算结果都是eq \(AC1,\s\up6(―→)).
[例3] 在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各向量表达式：
(1)eq \(AG,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(―→))；
(2)eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→)))．
[解] (1)因为G是△BCD的重心，所以|eq \(GE,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BE,\s\up6(―→))|，
所以eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \(GE,\s\up6(―→)).又因为eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(―→))＝eq \(EF,\s\up6(―→))，
所以由向量的加法法则，可知eq \(AG,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(―→))＝eq \(AG,\s\up6(―→))＋eq \(GE,\s\up6(―→))＋eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(AE,\s\up6(―→))＋eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(AF,\s\up6(―→)).
(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(AP,\s\up6(―→))，eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AQ,\s\up6(―→))，而eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(AQ,\s\up6(―→))＝eq \(AH,\s\up6(―→))，eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AF,\s\up6(―→))，
所以eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→)))＝eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(AQ,\s\up6(―→))－eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \(AH,\s\up6(―→))－eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \(FH,\s\up6(―→)).
eq \a\vs4\al()
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
[注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；
(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
[跟踪训练]
1.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(―→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(―→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
解析：选A eq \(B1M,\s\up6(―→))＝eq \(B1B,\s\up6(―→))＋eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
2.如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＋xeq \(OB,\s\up6(―→))＋yeq \(OA,\s\up6(―→))，求x，y的值．
解：法一：eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \(OE,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OD,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))－eq \(OA,\s\up6(―→))
＝－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(―→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(3,2).
法二：∵eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CE,\s\up6(―→))
＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(―→))
＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(―→))
＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))
＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→)))
＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))
＝－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(―→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(3,2).
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C．若空间内任意一向量a，则存在λ∈R，使得λa＝0
D．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(DB,\s\up6(―→))
解析：选CD 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意向量a，存在实数λ＝0，解得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确．
2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(DD1,\s\up6(―→))＝( )
A.eq \(D1B1,\s\up6(―→)) B.eq \(D1B,\s\up6(―→))
C.eq \(DB1,\s\up6(―→)) D.eq \(BD1,\s\up6(―→))
解析：选D 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(DD1,\s\up6(―→))＝(eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))＋eq \(DD1,\s\up6(―→))＝eq \(BD,\s\up6(―→))＋eq \(DD1,\s\up6(―→))＝eq \(BD1,\s\up6(―→)).故选D.
3．空间中任意四个点A，B，C，D，则eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up6(―→)) B.eq \(AD,\s\up6(―→))
C.eq \(DA,\s\up6(―→)) D.eq \(AC,\s\up6(―→))
解析：选C eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(DB,\s\up6(―→))＝eq \(BA,\s\up6(―→))－eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(DA,\s\up6(―→)).
4．已知空间向量a，b，c，化简eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________．
解析：原式＝eq \f(1,2)a＋b－eq \f(3,2)c＋eq \f(10,3)a－eq \f(5,2)b＋eq \f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c.
答案：eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c
5．在四面体ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))的化简结果为________．
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则eq \(DF,\s\up6(―→))＝eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→)).故eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BF,\s\up6(―→))－eq \(DF,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \(AF,\s\up6(―→))＋eq \(FD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0.
答案：0
新课程标准解读
核心素养
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念
数学抽象、直观想象
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程
逻辑推理
特殊向量
定义
表示法
零向量
长度为eq \a\vs4\al(0)的向量
0
单位向量
模为eq \a\vs4\al(1)的向量
|a|＝1或|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝1
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量
－a
相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b或 eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))
共线向量或平行向量
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
a∥b或eq \(AB,\s\up6(―→))∥eq \(CD,\s\up6(―→))
名称
代数形式
几何形式
运算律
加法
eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＝a＋b
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c
减法
eq \(CA,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))＝a－b
数乘
当λ＞0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \(PQ,\s\up6(―→))；
当λ＜0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \(MN,\s\up6(―→))；
当λ＝0时，λa＝0
结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
空间向量的概念辨析
空间向量的加减运算
空间向量的线性运算