高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案及答案，共18页。

第一章 空间向量与立体几何
1．1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算




知识点一　空间向量
(1)定义
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(3)表示方法
几何表示法
空间向量用有向线段表示
字母表示法
如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或||

(4)几类特殊的空间向量
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0.
②单位向量：模为1的向量叫做单位向量．
③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a.
④相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
知识点二　空间向量的加减法
(1)定义
类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)：

a＋b＝＋＝；
a－b＝－＝.
(2)加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.
知识点三　空间向量的数乘运算
(1)向量a与λa的关系
λ的范围
方向关系
λ>0
方向相同
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
(2)空间向量的数乘运算律
设λ，μ是实数，则有：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点四　共线向量与共面向量
(1)共线(平行)向量
定义
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb
直线的方
向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得O＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量

(2)共面向量
定义
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
充要
条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

1．在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．
3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为.
4．四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
5．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　)
(3)零向量是长度为0，没有方向的向量．(　　)
(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________.
(2)已知b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________.
(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：

①－＝________；
②＋＋＝________；
③＋A－＝________.
(4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________.

答案　(1)球面　(2)10　相反　(3)①　②　③　(4)＋＋



题型一 空间向量的概念
例1　给出下列命题：
①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤只有零向量的模为0.
其中假命题的个数是 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①是真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向相同、模相等．
②是真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝.
③是真命题．向量的相等满足传递规律．
④是假命题．空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．
⑤是真命题．根据零向量的定义可知．
[答案]　A

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系
(1)两个要素
判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．
(2)两个关系
①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．
[跟踪训练1]　(1)给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量与向量的长度相等．
其中正确命题的序号为________.
答案　④
解析　①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如≠，但||＝||；④正确．
(2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________.
答案　②③
解析　①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确.
题型二 空间向量的加减运算
例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　)

①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[解析]　①(－)－＝＋＋＝；
②(＋)－＝＋＋＝＋＝；
③(－)－＝－＝－＝≠；
④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.
因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式的运算结果不为向量.故选A.
[答案]　A
[结论探究]　在本例条件下，判断下列各式中运算结果为向量的有哪些？
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(－)＋.
解　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(－)＋＝(＋)＋＝＋＝.
故①②③④式运算结果都是向量.

1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．化简空间向量的常用思路
(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
[跟踪训练2]　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　)

A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
答案　A
解析　＋＋＝－＋－＋－＝0.
题型三 空间向量的数乘运算
例3　已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
(1)＝＋y＋z；
(2)＝x＋y＋.
[解]　(1)如图，

∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴y＝z＝－.
(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，
∴＋＝2，＋＝2，
∴＝2－，＝2－，
∴＝2－2＋，
∴x＝2，y＝－2.

利用向量的线性运算求参数的技巧
利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
[跟踪训练3]　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
解　(1)原式＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)连接AE，则＝－＝(＋)－－＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
题型四 空间向量证明题
例4　在如图所示的平行六面体中，
求证：＋＋＝2.

[证明]　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)，
又＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝，
∴＋＋＝2.

空间向量证明题的注意点
利用三角形法则或平行四边形法则进行证明时，一定要注意和(差)向量的方向．对于不能直接利用法则进行运算的向量，可利用相等向量或相反向量合理转化后，再利用法则求解．
[跟踪训练4]　借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
证明　作如图所示的平行六面体ABCD－A′B′C′D′，令＝a，＝b，＝c，则(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝，

a＋(b＋c)＝＋(＋)
＝＋(＋)＝＋＝，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
题型五 共线向量
例5　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.

求证：E，F，B三点共线．
[证明]　连接EF，EB，设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，∴E，F，B三点共线．
[条件探究]　将本例条件改为“O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．

证明　连接AO，AC1，A1C1.

∵＝，
∴＝＋＝＋
＝＋(＋)＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线．

1．判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.
(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.
2．证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟踪训练5]　已知向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．
解　设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)，
∵e1，e2不共线，∴无解．
∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线.
题型六 共面向量
例6　如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面．

[证明]　如图，连接PE，PF，PG，PH并延长，分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，Q，R，

则M，N，Q，R分别为所在边的中点，作四边形MNQR，则该四边形为平行四边形，连接MQ，EG，EF，EH.
易知＝，＝，＝，＝.
所以＝－＝－＝＝(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＋.
故E，F，G，H四点共面．

证明向量共面、点共面的常用方法
(1)证明空间三个向量共面常用的方法
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥，或∥)．
[跟踪训练6]　(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
答案　
解析　∵点P与A，B，C三点共面，
∴＋＋λ＝1，解得λ＝.
(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋.判断，，三个向量是否共面．
解　∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)＝＋，即＝＋＝－－，∴向量，，共面．



1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B
解析　因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有②正确，故选B.
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案　A
解析　由已知可得＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，即，是共线向量，所以A，B，D三点共线．
3．已知空间向量，，，，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋ B．－＋＝
C．＝＋＋ D．＝－
答案　B
解析　－＋＝＋＋＝＋＝.
4．(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a＝3b
B．(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)
C．正方形ABCD按向量m平移到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体是正方体
D．有直线l，且l∥a，在l上有点B，若＋＝2a，则C∈l
答案　ABD
解析　由向量相等与起点无关易知A正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知B正确；C中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，C错误；由＋＝＋＝＝2a知与直线l平行，又点B在l上，所以C∈l，故D正确．故选ABD.
5. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．

证明　＝E＋＋＝－＋＝(＋)－＝－.
由向量共面的充要条件知，，，E是共面向量．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列命题正确的有(　　)
①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③若a≠b，则a与b的方向不同；④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由＝知AB∥DC或A，B，C，D四点共线，||＝||，因此在A，B，C，D四点不共线的前提下，＝⇔四边形ABCD是平行四边形；③错误，不相等的向量，方向可以相同；④错误．
2．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　＋－＝＋－＝－＝.
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．P∈直线AB B．P∉直线AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
答案　A
解析　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　如图所示．∵G是CD的中点，∴(＋)＝，∴＋(＋)＝.

5．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案　C
解析　如图所示，因为－＝，而＝，所以－＝，即＝＋.而与不共线，所以，，三向量共面．

6．(多选)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量运算正确的是(　　)

A．＝－a＋b＋c B．＝－a＋b＋c
C．＝a＋b＋c D．＝－a－b＋c
答案　ABC
解析　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，A正确；＝＋＝(b－a)＋c＝－a＋b＋c，B正确；＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，C正确；＝＋＝c＋(a＋b)＝a＋b＋c，D错误．故选ABC.
二、填空题
7．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.
答案　－13i＋2j＋7k
解析　4a－3b＝4－3(5i－2j－k)＝2i－4j＋4k－15i＋6j＋3k＝－13i＋2j＋7k.
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案　2
解析　由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知，|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2.
9．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
答案　0
解析　设D为AB的中点，则＋＝2，又M为△ABC的重心，则＝－2，所以＋＋＝0.
三、解答题
10. 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．

解　∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝.
又＝(－)＝－＝－＝，
∴＋－＝＋－＝(如图所示)．

B级：“四能”提升训练
　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PD的中点，证明：PB∥平面ACM(用向量法)．

证明　∵M是PD的中点，
∴＝.
又＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＋＝＋＋＋－.
∴＝2＋.
∴，，共面．
又PB⊄平面ACM，
∴PB∥平面ACM.