2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案

这是一份2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案，共10页。

在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为eq \f(π,3).
[问题] 若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？






知识点一 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则有
空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
1．已知eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，3，1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(4，5，3)，那么向量eq \(BC,\s\up6(―→))＝( )
A．(－2，－2，－2) B．(2，2，2)
C．(6，8，4) D．(8，15，3)
解析：选B 向量eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝(4，5，3)－(2，3，1)＝(2，2，2)，故选B.
2．已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1，4) B．(5，1，－4)
C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4)
解析：选A 向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4)．故选A.
3．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.故选C.
知识点二 空间向量的相关结论
1．空间向量的平行、垂直及模和夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
2.空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up6(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(―→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立吗？
提示：当b1，b2，b3均不为0时，eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立．
1．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
2．已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4eq \r(2) D．3eq \r(2)
解析：选A AB＝eq \r(（1＋3）2＋（1＋3）2＋（1＋3）2)＝4eq \r(3).
3．已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量eq \(P1P2,\s\up6(―→))与eq \(P1P3,\s\up6(―→))的夹角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选D 设向量eq \(P1P2,\s\up6(―→))与eq \(P1P3,\s\up6(―→))的夹角为θ，因为eq \(P1P2,\s\up6(―→))＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，eq \(P1P3,\s\up6(―→))＝(0，1，3)－(1，－1，2)＝(－1，2，1)，所以cs θ＝eq \f(\(P1P2,\s\up6(―→))·\(P1P3,\s\up6(―→)),|\(P1P2,\s\up6(―→))||\(P1P3,\s\up6(―→))|)＝0.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.故选D.
[例1] (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cs〈a，b〉＝________．
[解析] (1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
由题设可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1－x2＝2，,x1＋2x2＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,x2＝0，))
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，则a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝eq \r(3)，|b|＝eq \r(5)，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(15),5).
[答案] (1)－4 (2)－eq \f(\r(15),5)
eq \a\vs4\al()
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．
[跟踪训练]
1．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且eq \(AB,\s\up6(―→))＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
解析：选D ∵a＝(－3，4，12)，且eq \(AB,\s\up6(―→))＝2a，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－6，8，24)．∵A的坐标为(1，－2，0)，∴eq \(OA,\s\up6(―→))＝(1，－2，0)，eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(OA,\s\up6(―→))＝(－6＋1，8－2，24＋0)＝(－5，6，24)，∴点B的坐标为(－5，6，24)．故选D.
2．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．
∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2 5
[例2] (链接教科书第20页例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，(0，0，1)．
∴eq \(NE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
又点A，M的坐标分别是(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AM,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∴eq \(NE,\s\up6(―→))＝eq \(AM,\s\up6(―→)).
又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∵D(eq \r(2)，0，0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(―→))＝(0，eq \r(2)，1)，∴eq \(AM,\s\up6(―→))·eq \(DF,\s\up6(―→))＝0，
∴eq \(AM,\s\up6(―→))⊥eq \(DF,\s\up6(―→))，即AM⊥DF.
同理，eq \(AM,\s\up6(―→))⊥eq \(BF,\s\up6(―→))，即AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
eq \a\vs4\al()
1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．
[跟踪训练]
1．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AC,\s\up6(―→))＝b.
(1)设向量c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1，1))，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解：(1)因为a＝eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，1，0)，b＝eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2)，又c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1，1))，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，1，0)，b＝eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq \f(5,2).
2．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝eq \r(2)，CE＝EF＝1.求证：
(1)AF∥平面BDE；
(2)CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点G，连接EG.因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝eq \f(1,2)AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0，0，0)，A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0，0)，E(0，0，1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).所以eq \(CF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
eq \(BE,\s\up6(―→))＝(0，－eq \r(2)，1)，eq \(DE,\s\up6(―→))＝(－eq \r(2)，0，1)．
所以eq \(CF,\s\up6(―→))·eq \(BE,\s\up6(―→))＝0－1＋1＝0，eq \(CF,\s\up6(―→))·eq \(DE,\s\up6(―→))＝－1＋0＋1＝0，
所以eq \(CF,\s\up6(―→))⊥eq \(BE,\s\up6(―→))，eq \(CF,\s\up6(―→))⊥eq \(DE,\s\up6(―→))，即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
[例3] (链接教科书第20页例3)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[解] 以eq \(CA,\s\up6(―→))，eq \(CB,\s\up6(―→))，eq \(CC1,\s\up6(―→))所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴|eq \(BN,\s\up6(―→))|＝eq \r(（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2)＝eq \r(3)，
∴线段BN的长为eq \r(3).
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up6(―→))＝(1，－1，2)，eq \(CB1,\s\up6(―→))＝(0，1，2)，
∴eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(CB1,\s\up6(―→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|eq \(BA1,\s\up6(―→))|＝eq \r(6)，|eq \(CB1,\s\up6(―→))|＝eq \r(5)，
∴cs〈eq \(BA1,\s\up6(―→))，eq \(CB1,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(―→))·\(CB1,\s\up6(―→)),|\(BA1,\s\up6(―→))||\(CB1,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\r(30),10).
故A1B与B1C所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
eq \a\vs4\al()
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
[跟踪训练]
1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq \(AC,\s\up6(―→))与eq \(AB,\s\up6(―→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 设eq \(AC,\s\up6(―→))与eq \(AB,\s\up6(―→))的夹角为θ.由题意得eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，1，0)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(0，3，3)，∴cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AC,\s\up6(―→))||\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°，故选C.
2．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，eq \(FM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(MA,\s\up6(―→))，则线段OM的长为( )
A．3eq \r(2) B.eq \r(19)
C．2eq \r(5) D.eq \r(21)
解析：选B 由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以|eq \(OM,\s\up6(―→))|＝eq \r(（6－3）2＋（0－3）2＋（4－3）2)＝eq \r(19)，即线段OM的长为eq \r(19)，故选B.
向量概念的推广
我们已经知道：(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可以表示a的方向，又可以求得|a|；
(2)平面向量a可以用二元有序实数对(x，y)表示，即a＝(x，y)．(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；
(3)空间向量a可以用三元有序实数组(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)．(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.
[问题探究]
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组(a1，a2，…，an)表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝(a1，a2，…，an )．
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算．
设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，则
a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)；
λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R；
a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
|a|＝eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)).
n维向量空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离”|AB|＝eq \r(（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋…＋（an－bn）2).
[迁移应用]
某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩．
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以eq \f(1,30)，即

1．已知a＋b＝(2，eq \r(2)，2eq \r(3))，a－b＝(0，eq \r(2)，0)，则cs〈a，b〉＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),6)
解析：选C 由已知得a＝(1，eq \r(2)，eq \r(3))，b＝(1，0，eq \r(3))，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1＋0＋3,\r(6)×\r(4))＝eq \f(\r(6),3).
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：AB1∥GE，AB1⊥EF.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).
∴eq \(AB1,\s\up6(―→))＝(1，0，1)，
eq \(GE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，
∴eq \(AB1,\s\up6(―→))＝2eq \(GE,\s\up6(―→))，
eq \(AB1,\s\up6(―→))·eq \(EF,\s\up6(―→))＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋0＋1×eq \f(1,2)＝0，
∴eq \(AB1,\s\up6(―→))∥eq \(GE,\s\up6(―→))，eq \(AB1,\s\up6(―→))⊥eq \(EF,\s\up6(―→)).
故AB1∥GE，AB1⊥EF.
新课程标准解读
核心素养
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示
数学运算、直观想象
2.掌握空间向量的数量积的坐标表示
数学运算、逻辑推理
向量运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，
a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs〈a，b〉＝
eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
空间向量的坐标运算
利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题
利用坐标运算解决夹角、距离问题