人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试一课一练

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试一课一练，共17页。
第28章　锐角三角函数
习题课 求锐角三角函数的方法归纳
本课概述
锐角三角函数是初中数学的重要内容,也是中考的热点之一,下面介绍求锐角三角函数值的几种常用方法.
课堂讲解
方法1　运用定义
【例1】如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是( )

A． B． C． D．
[对应训练]
1.在△ABC中,∠C＝90°,BCAB＝35,则( )
A.cos A＝35 B.sin B＝35 C.tan A＝43 D.tan B＝43

第1题图 第2题图
2.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝α,AC＝b,则AB的长为 　.(用含α和b的式子表示) 
3.如图,在△ABC中,∠C＝150°,AC＝4,tan B＝18.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan 75°的值.(结果精确到0.1,参考数据:2≈1.4,3≈1.7,5≈2.2)



方法2　巧设参数
【例2】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值为( )

A． B．2 C． D．
[对应训练]
4.若a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c＝1∶2∶3,则cos B的值为( )
A.63 B.33 C.22 D.24
5.如图,在△ABC中,AB＝AC＝10,tan A＝2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是( )
A.25 B .45 C.53 D.10

第5题图 第6题图
6.如图,在△ABC中,AB＝AC,BD＝CD,CE⊥AB于点E,cos B＝513,则S△BEDS△ABC＝  　. 
7.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的三等分点(AF＞BF).
(1)求证:AC＝AF;
(2)求tan∠CAE的值.





方法3　利用等角
【例3】如图，∠1的正切值为( )

A． B． C．3 D．2
[对应训练]
8.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD是∠BAC的平分线.已知AB＝43,那么AD＝( )
A.6 B.4 C.83 D.43
9.如图,在△ABC中,tan B＝2,∠ACB＝45°,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD,CE交于点F.若AC＝510,则线段EF的长为 　. 

10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝3,sin∠ABC＝13,D是边AB上一点,且CD＝CA,BE⊥CD,垂足为E.
(1)求tan∠EBD的值;
(2)求AD的长.








方法4　构造直角三角形
【例4】如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则tan A的值为( )

A. B． C． D．2
[对应训练]
11.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则sin∠BAC的值为( )
A.97 B.9130130 C.33 D.3

第11题图 第12题图
12.如图,在△ABC中,AB＝BC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交BC于点C和点D,再分别以点C,D为圆心,大于12CD长为半径画弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点M.若CM＝1,BD＝3,则sin B＝  　. 
13.如图,延长Rt△ABC的斜边AB至点D,使BD＝AB,连接CD.若tan ∠BCD＝13,求tan A的值.


14.如图,∠EFG＝90°,EF＝10,OG＝17,cos ∠FGO＝35,求点F的坐标.



方法5　利用特殊角求锐角三角函数值
【例5】如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E，F，G，H，点P是HG上的一点，则cos∠EPF的值是____．

[对应训练]
15.如图，圆O的直径AB＝8，AC＝3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连接MB，则∠MBA的余弦值为____．

第15题图 第16题图
16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC＝____．
17.如图，若想求tan 15°的值，可先画Rt△ABC.使∠C＝90°，∠BAC＝30°，再延长CA到D，使DA＝AB，连接BD.你能求出tan 15°的值吗？请你试一试.



方法6　折叠问题中求锐角三角函数值
【例6】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则tan∠EAF的值为____．

[对应训练]
18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为DE，连接BE，则tan∠CBE的值为( )

A. B． C． D．
课后练习
1.如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，则sin∠BAO的值是( )
A． B． C． D．

第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝( )
A． B． C． D．
3.【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为( )
A． B． C． D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝2，BC＝1，则sin∠ACD＝( )
A． B． C． D．

第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是____．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝____．
7.如图，P(12，a)在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为____．

第7题图 第8题图
8.如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A＝____．
9.【中考·扬州】问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

参考答案
本课概述
锐角三角函数是初中数学的重要内容,也是中考的热点之一,下面介绍求锐角三角函数值的几种常用方法.
课堂讲解
方法1　运用定义
【例1】如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是( )

A． B． C． D．
【分析】利用入射角等于反射角得到∠CEA＝∠DEB＝90°－α，易证得Rt△ACE∽Rt△BDE，则＝，即＝，可求出CE的长，在Rt△ACE中，∠A＝α，根据正切的定义即可求出tanα的值．
【答案】D
[对应训练]
1.在△ABC中,∠C＝90°,BCAB＝35,则( D )
A.cos A＝35 B.sin B＝35 C.tan A＝43 D.tan B＝43

第1题图 第2题图
2.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝α,AC＝b,则AB的长为 bcosα　.(用含α和b的式子表示) 
3.如图,在△ABC中,∠C＝150°,AC＝4,tan B＝18.
(1)求BC的长;
(2)利用此图形求tan 75°的值.(结果精确到0.1,参考数据:2≈1.4,3≈1.7,5≈2.2)

解:(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
∵∠C＝150°,∴∠ACD＝30°,∴在Rt△ADC中,AD＝12AC＝2,CD＝AC·cos 30°＝4×32＝23.
在Rt△ABD中,tan B＝ADBD＝2BD＝18,∴BD＝16,
∴BC＝BD－CD＝16－23.
(2)在BC边上取一点M,使得CM＝AC,连接AM.∵∠ACB＝150°,∴∠AMC＝∠MAC＝15°,∴∠MAD＝75°,
在Rt△AMD中,tan 75°＝tan ∠MAD＝MDAD＝4+232＝2+3≈3.7.
方法2　巧设参数
【例2】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值为( )

A． B．2 C． D．
【分析】在Rt△ADE中，cosA＝＝＝，求出AD，AE，再求出DE，即可得到tan∠DBE＝.
【答案】B
[对应训练]
4.若a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c＝1∶2∶3,则cos B的值为( B )
A.63 B.33 C.22 D.24
5.如图,在△ABC中,AB＝AC＝10,tan A＝2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是( B )
A.25 B .45 C.53 D.10

第5题图 第6题图
6.如图,在△ABC中,AB＝AC,BD＝CD,CE⊥AB于点E,cos B＝513,则S△BEDS△ABC＝ 25169　. 
7.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的三等分点(AF＞BF).
(1)求证:AC＝AF;
(2)求tan∠CAE的值.

解:(1)∵EF⊥AB,∴∠AFE＝90°＝∠C.
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠FAE,又∵AE＝AE,∴Rt△ACE≌Rt△AFE(AAS),∴AC＝AF.
(2)∵F是AB的一个三等分点(AF＞BF),
∴设BF＝x,AF＝2x,∴AC＝2x,AB＝3x.
在Rt△ABC中,由勾股定理得BC＝AB2－AC2＝(3x)2－(2x)2＝5x.
∵tan B＝ACBC＝2x5x＝255,∴在Rt△EFB中,EF＝BF·tan B＝25x5,∴CE＝EF＝25x5,
∴tan ∠CAE＝CEAC＝55.
方法3　利用等角
【例3】如图，∠1的正切值为( )

A． B． C．3 D．2
【分析】先根据圆周角定理得出∠1＝∠2，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【答案】A
[对应训练]
8.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD是∠BAC的平分线.已知AB＝43,那么AD＝( B )
A.6 B.4 C.83 D.43
9.如图,在△ABC中,tan B＝2,∠ACB＝45°,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD,CE交于点F.若AC＝510,则线段EF的长为 52　. 

10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝3,sin ∠ABC＝13,D是边AB上一点,且CD＝CA,BE⊥CD,垂足为E.
(1)求tan∠EBD的值;
(2)求AD的长.

解:(1)∵CD＝CA,∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB.
∵在Rt△EDB中,∠EDB+∠EBD＝90°,
在Rt△ABC中,∠CAD+∠ABC＝90°,
∴∠EBD＝∠ABC.
又∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝3,sin ∠ABC＝13,∴AB＝ACsin∠ABC＝313＝9,
∴BC＝AB2－AC2＝92－32＝62,
∴tan ∠EBD＝tan ∠ABC＝ACBC＝362＝24.
(2)过点C作CF⊥AB于点F.
∵在Rt△ACB中,cos ∠CAB＝ACAB＝39＝13,
∴在Rt△AFC中,cos ∠CAF＝13＝AFAC＝AF3,∴AF＝1.
又∵△CAD为等腰三角形,CF⊥AD,∴AD＝2AF＝2.
方法4　构造直角三角形
【例4】如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则tan A的值为( )

A. B． C． D．2
【分析】延长AC交网格于点E，连接BE，利用图形构造直角三角形，进而利用tan A＝即可求出．
【答案】C
[对应训练]
11.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则sin∠BAC的值为( B )
A.97 B.9130130 C.33 D.3

第11题图 第12题图
12.如图,在△ABC中,AB＝BC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交BC于点C和点D,再分别以点C,D为圆心,大于12CD长为半径画弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点M.若CM＝1,BD＝3,则sin B＝ 35　. 
13.如图,延长Rt△ABC的斜边AB至点D,使BD＝AB,连接CD.若tan ∠BCD＝13,求tan A的值.

解:过点B作BE∥AC,交CD于点E.
∵AC⊥BC,∴BE⊥BC,即∠CBE＝90°.
∵AB＝BD,∴AC＝2BE.
又∵tan ∠BCD＝13,设BE＝x,则AC＝2x,BC＝3x,
∴tan A＝BCAC＝3x2x＝32.
14.如图,∠EFG＝90°,EF＝10,OG＝17,cos ∠FGO＝35,求点F的坐标.

解:过点F作FA⊥y轴交y轴于点A,过点G作GB⊥AF,交AF的延长线于点B,则∠BFG＝∠FGO.∵AB⊥y轴,GB⊥AB,∠AOG＝90°,
∴四边形AOGB为矩形,∴AO＝GB,AB＝OG＝17.
∵∠EFG＝90°,∴∠AFE+∠BFG＝90°,
∴∠AEF＝∠BFG＝∠FGO.
在Rt△AEF中,cos ∠AEF＝AEEF,即AE10＝35,解得AE＝6,由勾股定理,得AF＝EF2－AE2＝8,
∴BF＝AB－AF＝17－8＝9.
在Rt△BFG中,cos ∠BFG＝BFFG,即9FG＝35,解得FG＝15,
由勾股定理,得BG＝FG2－BF2＝12,
∴点F的坐标为(8,12).
方法5　利用特殊角求锐角三角函数值
【例5】如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E，F，G，H，点P是HG上的一点，则cos∠EPF的值是____．

【分析】连接OE，OF，根据切线的性质和正方形的性质可知∠EOF＝90°，再由圆周角定理可得∠EPF＝12∠EOF＝45°，从而可得结论．
【答案】
[对应训练]
15.如图，圆O的直径AB＝8，AC＝3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连接MB，则∠MBA的余弦值为____．
【答案】

第15题图 第16题图
16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC＝____．
【答案】
17.如图，若想求tan 15°的值，可先画Rt△ABC.使∠C＝90°，∠BAC＝30°，再延长CA到D，使DA＝AB，连接BD.你能求出tan 15°的值吗？请你试一试.

解：∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∵∠D＋∠ABD＝30°，∴∠D＝15°.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，设BC＝k(k>0)，则AB＝2k，AC＝k，∴AD＝2k，∴tan D＝＝＝＝2－，即tan 15°＝2－
方法6　折叠问题中求锐角三角函数值
【例6】如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则tan∠EAF的值为____．

【分析】由折叠知AF＝AD，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF，设EF＝x，在Rt△EFC中，由勾股定理有42＋(8－x)2＝x2，求出x，可得EF，在Rt△AEF中根据正切的定义可求出结果．
【答案】
[对应训练]
18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为DE，连接BE，则tan∠CBE的值为( )

A. B． C． D．
【答案】C
课后练习
1.如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，则sin∠BAO的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B

第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝( )
A． B． C． D．
【答案】A
3.【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝2，BC＝1，则sin∠ACD＝( )
A． B． C． D．
【答案】B

第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是____．
【答案】
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝____．
【答案】
7.如图，P(12，a)在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于点H，则tan ∠POH的值为____．
【答案】

第7题图 第8题图
8.如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A＝____．
【答案】
9.【中考·扬州】问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为________；
【答案】2
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
解：如图①，取格点B，连接格点A，B，可得AB∥MC，连接BN，∴∠CPN＝∠BAN.易知△ABN为直角三角形．在Rt△ABN中，AB＝BN＝，AN＝，
∴cos∠CPN＝cos∠BAN＝＝＝.

思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
解：设BC的长为单位1，构造如图②所示的网格图，
取格点D，连接格点A，D，可得AD∥CM，连接DN.
∴∠CPN＝∠DAN.
易知△ADN为直角三角形．
在Rt△ADN中，AD＝DN＝，AN＝2，
∴cos∠CPN＝cos∠DAN＝＝＝.
∴∠CPN＝45°.