初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时练习

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数课时练习，共24页。试卷主要包含了1 锐角三角函数等内容，欢迎下载使用。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数

1．正弦、余弦、正切的概念
如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.

（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝_________________；
（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cos A＝_________________；
（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝_________________；
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的_________________.
2．特殊角的三角函数值
（1）sin 30°＝____________，cos 30°＝____________，tan 30°＝____________.
（2）sin 60°＝____________，cos 60°＝____________，tan 60°＝____________.
（3）sin 45°＝____________，cos 45°＝____________，tan 45°＝____________.
3．锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）;
（2）.
K知识参考答案：
1．（1） 锐角三角函数
2．（1） （2） （3）



K—重点
锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值
K—难点
锐角三角函数之间的关系
K—易错
混淆特殊角的三角函数值
一、锐角三角函数概念
熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.
【例1】已知在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=，
∴sinB= = ，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【例2】在中，，，，则________，________．
【答案】，
【解析】如图：

∵ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，
∴BC==5，
∴cosB=，
tanB=．
故答案为：；．
【名师点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）;
（2）.
【例3】在ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值.
【答案】sin A=；cos B=；tan A=；tan B=.
【解析】∵sin2A+cos2A=1， cosA＝，
∴sin A=，
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA=，sinB=cosA= ，
∴tanA== ，tanB==.
三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算
熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.
【例4】计算：
（1）3tan30°＋cos60°；
（2）2cos30°－2sin30°＋3tan60°.

四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
【例5】如图，在ABC中，∠C=90°．
（1）若AC=5，BC=12，则AB=______，tanA=_______，∠A≈______（精确到1″）；
（2）若AC=3，AB=5，则sinA=______，tanB=______，∠A≈_______，∠B≈______（精确到1″）．

【答案】（1）13，，67°22′48″；（2），，53°7′48″，36°52′12″.
【解析】（1）根据题意得：AB==13，
∴tanA==，
则用计算器求得：∠A≈67°22′48″；
（2）根据题意得：BC==4，
∴sinA==，tanB==，
则用计算器求得：∠A≈53°7′48″，∠B≈36°52′12″.
五、对概念本质理解不透
锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.
【例6】在中，如果各边长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
【错解】A
【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值也扩大为原来的3倍.
【解析】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA=，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA==，
所以余弦值不变．
故选B．
【正解】B


1．已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝
A．25° B．55°
C．65° D．75°
2．如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是

A． B．
C． D．
3．在ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为
A． B．
C． D．
4．在ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的各个三角函数值
A．不变化 B．扩大2倍
C．缩小 D．缩小2倍
5．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于
A． B．
C． D．
6．在ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA的值是
A． B．
C． D．
7．若α是锐角，tan(90°－α)＝，则α的值是
A．30° B．45°
C．60° D．75°
8．在ABC中，若∠A，∠B满足 ＋＝0，则ABC是
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
9．在ABC中，分别是的对边，则有
A． B．
C． D．
10．若α为锐角，且，则m的取值范围是______________．
11．如图，在ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,cosB=______,sinB=_______

12．若+(tanβ－1)2=0，则锐角α=_______，β=_______.
13．化简：（1）│tan60°－2│=_______;（2）=______．
14．计算下列各式的值．
(1) ；
(2) sin45°+tan45°﹣2cos60°．
(3) ．








15．cos45°的值等于
A． B．
C． D．1
16．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为

A． B．
C． D．
17．ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为

A． B．
C． D．
18．如图，在ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于

A． B．
C． D．
19．化简 等于
A．1－ B． －1
C．－1 D．＋1
20．已知，且，则锐角等于
A． B．
C． D．无法求
21．如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若，，则tan∠BCD的值为

A． B．
C． D．
22．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则

A． B．
C． D．
23．如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是

A．5 B．6
C．7 D．8
24．计算：2cos 60°﹣tan 45°=________．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么cos∠ABD的值是________．

26．计算：|1﹣|+（﹣）−2﹣+﹣（2﹣4）0．






27．计算：tan45°+﹣（﹣2019）0﹣4cos30°．






28．（2018·天津市）的值等于
A． B．
C．1 D．
29．（2018·日照市）计算：（）−1+tan30°•sin60°=
A．﹣ B．2
C． D．
30．（2018·云南省）在ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为
A．3 B．
C． D．
31．（2018·贵阳市）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为

A． B．1
C． D．
32．（2018·孝感市）如图，在中，，，，则等于

A． B．
C． D．
33．（2018·淄博市）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是

A． B． C． D．
34．（2018·牡丹江市）如图，ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为

A．3 B．6
C．4 D．2
35．（2018·荆门市）计算：﹣|tan30°﹣3|+20180=_________．
36．（2018·烟台市）（π﹣3.14）0+tan60°=_________．
37．（2018·眉山市）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=_________．

38．（2018·滨州市）在ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
39．（2018·德州市）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．

40．（2018·德阳市）计算：.






41．（2018·深圳市）计算：.





42．（2018·凉山州）计算： .







1．【答案】C
【解析】∵，sin25°＝cosα，α是锐角，
∴90°−α＝25°，
∴α＝65°．
故选C.

3．【答案】B
【解析】根据题意得：sin2A+cos2A=1，
解得cosA=，或cosA=﹣（舍去）.
故选B.
4．【答案】A
【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角的三角函数值与角的大小有关，所以如果各边长度都扩大2倍，角的大小不变，那么锐角A的各个三角函数值不变．
故选A．
5．【答案】A
【解析】∵∠α是等边三角形的一个内角，
∴
∴
故选:A.
6．【答案】A
【解析】∵在ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，

故选：A.

7．【答案】A
【解析】因为α为锐角，tan（90°－α）=，所以90°－α=60°，所以α=30°，故选：A．

9．【答案】C
【解析】∵在ABC中，，
∴sinA=，tanA=，cosB=,
∴a==c·sinA，
b=，
则只有C选项是正确的.
故选C.
10．【答案】
【解析】α是锐角，且，
则有0＜＜1，
解得 ＜m＜.
故答案为：＜m＜.
11．【答案】
【解析】∵∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，
∴tanB==，cosB==，sinB==，
故答案为：(1) ； (2) ； (3).
【名师点睛】本题考查正弦、余弦、正切的定义，在直角三角形中，正弦是角的对边与斜边的比，余弦是角的邻边与斜边的比，正切是角的对边与邻边的比，熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是解题关键.
12．【答案】60°,45°
【解析】∵，tanβ－1=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=60°，β=45°.
故答案为：60°， 45°.
【名师点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
13．【答案】（1）2－;（2）.
【解析】│tan60°－2│=││=2-，=││=.
14．【答案】(1) 1+；(2) 1；(3) ．
【解析】(1) .
=
=2−1+
=1+；
(2) sin45°+tan45°﹣2cos60°
=
=1+1−1
=1；
(3)
=
=
=．

15．【答案】B
【解析】cos45°=，故选B.
16．【答案】D
【解析】连接CD，如图：

，CD=，AC=.
∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．
故选D．
17．【答案】B
【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：

在ADC中，CD=AD，则AC=CD．
cos∠ACB=，
故选B．
18．【答案】A
【解析】∵在ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴sinB=
故选：A．
19．【答案】A
【解析】∵tan30°=，
∴tan30°−1y），由题意得，
解得：或（舍去），
∴直角三角形的斜边长为13，
∴sinα−cosα=，
故选D.
23．【答案】C
【解析】∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6，∴第三行为5，6，7，8，∴方阵中第三行三列的“数”是7，故选C．
24．【答案】0
【解析】2cos 60°﹣tan 45°=2×﹣1=0．
25．【答案】
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3，
∵CD⊥AB，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ABD=∠ABC，
∴cos∠ABD=cos∠ABC=，
故答案为.
26．【答案】0.
【解析】原式=﹣1+4﹣﹣2﹣1=0．
27．【答案】
【解析】原式=1+3−1−4×=．
28．【答案】B
【解析】cos30°=．
故选：B．
29．【答案】C
【解析】（）−1+tan30°•sin60°
=2+
=2+
=，
故选C．
30．【答案】A
【解析】∵在ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为=3，
故选A．
31．【答案】B
【解析】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．

32．【答案】A
【解析】在ABC中，∵AB=10，AC=8，
∴BC=，
∴sinA=.
故选：A．
33．【答案】A
【解析】sinA=，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．
34．【答案】A
【解析】如图：连接OC并延长交圆O于点,连接,可得∠A=∠,
可得sin∠===,可得=,
即圆O的直径为，故圆的半径为，
故选A.

35．【答案】
【解析】【原式=2×﹣|﹣3|+1
=﹣2+1
=﹣，
故答案为﹣．
36．【答案】1+
【解析】原式=1+．
故答案为1+．
37．【答案】2
【解析】如图，连接BE，

∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2.
38．【答案】
【解析】如图所示：

∵∠C=90°，tanA=，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，
则sinB=.
故答案为： ．
39．【答案】
【解析】∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．
故答案为：．
40．【答案】10
【解析】原式＝3＋8−1−4×＋2＝10−2＋2＝10．

42．【答案】
【解析】原式


.