人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教案

课程基本信息

课例编号

学科

数学

年级

高二

学期

一

课题

等比数列的前项和公式（1）

教科书

书名：高中数学人教A版选择性必修第二册                                

出版社：人民教育出版社        出版日期： 2020年5月

教学人员

姓名

单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：理解等比数列的前项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用

公式解决一些简单问题.

教学重点：等比数列的前项和公式.

教学难点：等比数列的前项和公式的推导过程.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

2

分钟

15

分钟

5

分钟

复

习

引

入

新

课

讲

解

公

式

推

导

应

用

新

知

解

决

问

题

问题1 回顾等比数列的定义及通项公式.

（1）等比数列的定义：

（2）等比数列的通项公式：

同学们听说过国际象棋吧？见过国际象棋的棋盘吗？

问题2 国际象棋起源于古印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，第个格子里放上颗麦粒，第个格子里放上 颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为，据查，年度世界小麦产量约为亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

追问1：国王一共应该给他多少颗麦粒？

.

追问2：如何计算？

让我们分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是，公比是，求第个格子到第个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前项的和.我们要计算这个式子，不借助计算器，需要花大量的时间.于是我们自然而然的想到能否借用等比数列的求和公式.

追问3： 如何求一个等比数列的前项的和呢？

追问4：等差数列有求和公式，那么你能否类比等差数列前项和公式的求法推导出等比数列的前项和？

回顾：等差数列的前项和公式推导过程.

等差数列的前项和是.

根据等差数列的定义.

.

.

将上述两式相加，得.

所以.

我们用倒序相加的方法推导出了等差数列的前项和公式. 于是我们就可以用等差数列的首项和第项表示前项和.

本质上是根据等差数列的定义：，从公差为这一特性出发，抓住倒序后两式中上下对应的和均为这一特点，构造相同项，消除项与项之间的差异，进而化繁为简，推出公式.

追问5：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？可否用等比数列的首项和第项表示等比数列前项和？

.

.

因为在等比数列中，

所以.

尝试过后发现行不通，因此等比数列的前项和公式不能用倒序相加法推导.

反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.

追问6：求和的根本目的是什么？

我们透过现象看本质，如何在等比数列前项和中构造相同项，消除项与项之间的差异，消除中间项，从而化繁为简是解决问题的关键.等差数列求和是根据定义，由公差切入.自然，等比数列求和也应根据定义，联系公比来探究.

改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.

即.①

追问7：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

关注等比数列的定义 ，如果对其稍加变形，就会发现，即等比数列中的每一项乘以都等于其后一项.因此，我们类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消出中间项的目的，就须使两式具有最多相同的项.

追问8：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？

想要消除中间项，即需要构造

观察发现，这个式子的每一项都是在原式基础上乘以.

②

于是将①式的两边都乘，由此构造相同项，得到②式，再将两个式子相减.

具体推导过程如下：

设等比数列的首项为，公比为，则的前项和是.

根据等比数列的通项公式，上式可写成. ①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得. ②

①     ②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得

，即.

追问9：要求出，是否可以把上式两边同时除以？

当时，即时，.（1）

当时，即时，.

注意：因为，所以公式（1）还可以写成.（2）

思考：什么时候用公式（1）, 什么时候用公式（2）?
当已知时用公式（1）；当已知时，用公式（2）.

方法小结：

（1）等比数列的前项和公式：

（2）等比数列求和时，应考虑与两种情况；等差、等比这两种数列求和公式的推导方法，从数学思想上来讲是一致的，我们需要挖掘其本质.求和公式的推导过程其根本目的是消项，结合等比数列自身的特征利用错位相减法得到等比数列前项和公式.

问题2的解决：有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.

由，可得.

这个数很大，超过了.如果一千颗麦粒的质量约为，那么以上这些麦粒的总质量超过了亿吨，约是年度世界小麦产量的倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.

问题3 已知数列是等比数列.

（1）若，求；
要求等比数列的前8项和，可以通过求和公式或.第一个公式需要知道，第二个公式需要知道，根据题意我们选择第一个公式进行计算.

因为，所以.

（2）若，求；

要求等比数列的前8项和，可以通过，或者，根据题意我们知道了，因此可以先求出公比，从而在通过等比数列求和公式进行计算.

由，可得，.

又由，得.

所以.

追问1：能否直接用公式（2）求？

可以，但需要先求出公比和.

（3）若，求.

等比数列求和公式有两种，或.每个公式所需要得基本量各不相同，本题中给出了的值，因此可以通过公式，联系方程思想求出的值.

把代入，得.

整理，得.解得.

追问2：对于等比数列的相关量，已知几个量就可以确定其他量？

等比数列通项公式结合前项和公式涉及五个量，五个量“知三求二”（方程思想）.

课堂小结：

1.等比数列的前项和公式：

2.等比数列前项和公式的推导方法：错位相减法.

3.数学思想：有了等比数列前项和公式，如果已知，五个量中的任意三个，就可以求出其余两个，这体现了方程思想在数列中的应用. “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．