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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教案及反思
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教案及反思，共4页。教案主要包含了数学史引入，层层递进，推导公式，公式的理解和简单应用，公式的推导与应用，综合应用，小结与课后作业等内容，欢迎下载使用。
课例编号
学科
数学
年级
高二
学期
上
课题
等差数列的前n项和公式（1）
教科书
书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：了解等差数列的前n项和公式的推导方法和原理；从方程的角度认识等差数列的前n项和公式的应用，会结合等差数列的通项公式，求解等差数列中的相关量.
教学重点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、数学史引入
教师介绍高斯的故事.
问题1 计算1＋2＋3＋…＋100的值.
意图：引出高斯首尾配对的方法.
追问：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.
意图：探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算.
二、层层递进，推导公式
问题2 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？
意图：为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.
预案：1＋2＋3＋… ＋101
＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51
＝102×50＋51
＝5151
追问：你还能想到其他方法吗？
预案1：1＋2＋3＋… ＋101
＝(1＋2＋3＋… ＋100) ＋101
＝5050＋101
＝5151
预案2：1＋2＋3＋… ＋101
＝0＋1＋2＋3＋… ＋101
＝(0＋101)＋(1＋100)＋…＋(51＋52)
＝101×51
＝5151
问题3 计算1＋2＋3＋… ＋n.
意图：这个问题既是问题1和问题2的推广，又是等差数列的一个特殊情形，为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫；同时，在对项数分奇偶讨论之后，学生会发现结论的一致性，这可以引发进一步的思考，从而发现倒序求和的方法；此外，这个问题又是一个常用的结论，对于公式（2）的推导也可以用到这个结论.
追问：不分类讨论能否得到最终的结论呢？
意图：引导学生将公式变形，通过变形之后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法.
追问：你能说说这种方法巧妙在哪里吗？
意图：总结倒序求和的方法.
活动：引导学生从几何上体会倒序求和的方法.
问题4 倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？
意图：应用倒序求和的方法求一般等差数列的前n项和，得到公式（1）.
三、公式(1)的理解和简单应用
1. 功能一：已知，n，a1和an，求Sn.
追问：你能用文字语言表述这个公式吗？
意图：由文字语言的表述，提炼利用公式（1）求等差数列的前n项和所需要的条件，即a1，an和n.
练习：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.
2. 功能二：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个.
3. 变形理解：等差数列前n项的平均值等于首项与第n项的平均值.
四、公式(2)的推导与应用
问题5 能不能用a1和d来表示Sn呢？
意图：希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).
追问：如果不利用公式(1)的结论，你还有其他方法得到公式(2)吗？
意图：从数列前n项和的定义出发，将每一项用首项和公差表示，再分组求和.
活动：类比公式(1)的应用，分析公式(2)的应用.
意图：功能1：已知a1，d和n，求Sn.
功能2：已知Sn，n，a1和d中任意3个，求第4个.
练习：在等差数列{ an }中，a1＝，d＝，Sn＝－5，求n.
活动：结合等差数列的通项公式，从方程组角度分析可以解决的问题，体会方程思想.
五、综合应用
例题 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1＝－4，a8＝－18，求S10；
（2）若S10＝310，S20＝1220，求Sn.
意图：体会首项和公差对等差数列的确定作用，总结解决等差数列问题的基本量法，并从方程角度理解确定一个等差数列所需的条件数.
六、小结与课后作业
活动：从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.
活动：课后作业：
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{ an }的前n项和Sn．
（1）a1＝5，an＝95，n＝10；
（2）a1＝100，d＝－2，n＝50；
（3）a1＝14.5，d＝0.7，an＝32.
2. 根据下列等差数列{ an }中的已知量，求相应的未知量．
（1）a1＝20，an＝54，Sn＝999，求d及n；
（2）d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
课例编号
学科
数学
年级
高二
学期
上
课题
等差数列的前n项和公式（1）
教科书
书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：了解等差数列的前n项和公式的推导方法和原理；从方程的角度认识等差数列的前n项和公式的应用，会结合等差数列的通项公式，求解等差数列中的相关量.
教学重点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、数学史引入
教师介绍高斯的故事.
问题1 计算1＋2＋3＋…＋100的值.
意图：引出高斯首尾配对的方法.
追问：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.
意图：探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算.
二、层层递进，推导公式
问题2 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？
意图：为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.
预案：1＋2＋3＋… ＋101
＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51
＝102×50＋51
＝5151
追问：你还能想到其他方法吗？
预案1：1＋2＋3＋… ＋101
＝(1＋2＋3＋… ＋100) ＋101
＝5050＋101
＝5151
预案2：1＋2＋3＋… ＋101
＝0＋1＋2＋3＋… ＋101
＝(0＋101)＋(1＋100)＋…＋(51＋52)
＝101×51
＝5151
问题3 计算1＋2＋3＋… ＋n.
意图：这个问题既是问题1和问题2的推广，又是等差数列的一个特殊情形，为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫；同时，在对项数分奇偶讨论之后，学生会发现结论的一致性，这可以引发进一步的思考，从而发现倒序求和的方法；此外，这个问题又是一个常用的结论，对于公式（2）的推导也可以用到这个结论.
追问：不分类讨论能否得到最终的结论呢？
意图：引导学生将公式变形，通过变形之后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法.
追问：你能说说这种方法巧妙在哪里吗？
意图：总结倒序求和的方法.
活动：引导学生从几何上体会倒序求和的方法.
问题4 倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？
意图：应用倒序求和的方法求一般等差数列的前n项和，得到公式（1）.
三、公式(1)的理解和简单应用
1. 功能一：已知，n，a1和an，求Sn.
追问：你能用文字语言表述这个公式吗？
意图：由文字语言的表述，提炼利用公式（1）求等差数列的前n项和所需要的条件，即a1，an和n.
练习：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.
2. 功能二：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个.
3. 变形理解：等差数列前n项的平均值等于首项与第n项的平均值.
四、公式(2)的推导与应用
问题5 能不能用a1和d来表示Sn呢？
意图：希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).
追问：如果不利用公式(1)的结论，你还有其他方法得到公式(2)吗？
意图：从数列前n项和的定义出发，将每一项用首项和公差表示，再分组求和.
活动：类比公式(1)的应用，分析公式(2)的应用.
意图：功能1：已知a1，d和n，求Sn.
功能2：已知Sn，n，a1和d中任意3个，求第4个.
练习：在等差数列{ an }中，a1＝，d＝，Sn＝－5，求n.
活动：结合等差数列的通项公式，从方程组角度分析可以解决的问题，体会方程思想.
五、综合应用
例题 已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1＝－4，a8＝－18，求S10；
（2）若S10＝310，S20＝1220，求Sn.
意图：体会首项和公差对等差数列的确定作用，总结解决等差数列问题的基本量法，并从方程角度理解确定一个等差数列所需的条件数.
六、小结与课后作业
活动：从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.
活动：课后作业：
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{ an }的前n项和Sn．
（1）a1＝5，an＝95，n＝10；
（2）a1＝100，d＝－2，n＝50；
（3）a1＝14.5，d＝0.7，an＝32.
2. 根据下列等差数列{ an }中的已知量，求相应的未知量．
（1）a1＝20，an＝54，Sn＝999，求d及n；
（2）d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
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