2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案12

2022届新教材北师大版  导数及 其运用     单元测试

一、选择题

1、已知A（1，0），曲线C：y=eax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且.的最小值为2，则a的值为（　　）

A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2

2、一个物体的运动方程为, 其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在的瞬时速度是

A. 8米/秒    B. 7米/秒    C. 6米/秒    D. 5米/秒

3、已知点P是曲线上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（）

A．0    B．    C．    D．

4、曲线在点处的切线斜率为（   ）

A.     B.     C.     D.

5、已知函数，若轴为曲线的切线，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

6、已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（　　）

　 A． （﹣∞，） B． （，+∞） C． （，e） D． （e，+∞）

7、若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(  )

A．[0，)       B．[0，)∪[，π)    

C．[，π)     D．[0，)∪(，]

8、若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ）

A．                B．                 C．                 D．

9、曲线在点处的切线方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

10、已知函数，若，则的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

11、已知，则的值为（   ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

12、函数在点（1,1）处的切线方程为：（   ）

A．     B．

C．     D．

二、填空题

13、已知函数f（x）＝－kx （x≥0，k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝      ．

14、已知函数的图象在点处的切线方程是，则_________.

15、设函数的图象与轴相交于点，则在点处的切线方程为__________．

16、已知函数在处的切线与直线平行，则                 

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知直线与曲线切于点(1，3)，求和的值．

18、（本小题满分12分）求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.

19、（本小题满分12分）已知函数，若，求在处的切线方程.

20、（本小题满分12分）求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．

参考答案

1、答案C

解析因为 e0=1所以B（0，1）．

考察.的几何意义，因为=，

故.取得最小时，在上的投影长应是，所以P，B重合．

这说明曲线C：y=eax在点B（0，1）处的切线与垂直，

所以y′|x=0=1，即 a？e0=1，∴a=1，

故选：C

2、答案D

解析由题意得， ，所以当时， ，所以物体在时的瞬时速度为 米/秒，故选D。

3、答案D

解析 ,故选D.

考点：导数的几何意义、基本不等式.

易错点晴本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题也着重了导数的运算.

4、答案A

解析因为，所以由导数的几何意义可知曲线在点处的切线的斜率，应选答案A。

5、答案D

解析因为 ，所以，因为轴为曲线的切线，所以必有极值点，切点就是极小值点，令得，切点在上，将点代入，解得，故选D。

考点：导数的几何意义及函数的图象和性质。

6、答案B

解析求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为（ex﹣m）e=﹣1，有解，即可得到结论．

解：函数的f（x）的导数f′（x）=ex﹣m，

若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，

则切线斜率k=ex﹣m，

满足（ex﹣m）e=﹣1，

即ex﹣m=﹣有解，

即m=ex+有解，

∵ex+＞，

∴m＞，

故选：B

7、答案B

解析由题可知，因为函数的导数为，故，因为倾斜角的范围是，解得或；

考点：导数的几何意义

8、答案A

解析

考点：点到直线的距离，导数的应用

9、答案D

解析 , 则切线的斜率是 ，切线方程是 ，即 ,  故选D.

10、答案C

解析由题意作出函数和的图像（如图），由图象得，函数在图象为经过原点的直线，当直线介于直线和轴之间时符合题意，直线为曲线的切线，且此时在第二象限的解析式为，导数为，因为，所以，故直线的斜率为，所以只需直线的斜率介于与0之间即可，即；故选C．

考点：1.导数的几何意义；2.数形结合思想．

11、答案C

解析由已知=，故选C。

考点：本题主要考查函数的极限，导数的概念。

12、答案D

解析根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.

详解

因为，所以，切线方程为，即，故选D.

点睛

本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.

13、答案

解析由题意得与相切，切点为，

由导数几何意义得，因此，

即

考点：导数几何意义，同角三角函数关系

14、答案4

解析∵函数的图象在点处的切线方程是

∴，

∴

故答案为4

15、答案

解析函数与轴相交于点为， ，故切线斜率，故切线方程为： ，即： ．

故答案为：

16、答案0

解析求导，，得.

考点：导数的几何意义.

17、答案，.

详解：∵直线与曲线切于点(1，3)，

∴点(1，3)在直线与曲线上，

∴，

解得

又

，

解得，

又，

所以.

点睛

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

解析

18、答案.

试题解析：因为直线的斜率为，所以垂直于直线并且与曲线相切的直线的斜率为

设切点为，函数的导数为

所以切线的斜率，得

代入到得，即

∴所求切线的方程为即.

考点1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.

解析

19、答案.

详解：，

，.

在处的切线方程为：，即

点睛

本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

解析

20、答案

详解

证明：因为，所以，所以.

函数在图像上的任一点处的切线斜率，，

所以切线方程是，即．

令，得；令，得.

所以，为常数．

即在双曲线上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数.

点睛

本题考查关于导数的应用的证明，解题关键在掌握导数的几何意义.

解析