2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案16

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 2022届新教材北师大版  　立体几何  单 元测试一、选择题1、设长方体的三条棱长分别为、、，若长方体所有棱长度之和为，一条对角线长度为，体积为，则等于(     ).A． B． C． D．2、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2. 7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（    ）立方丈A． B． C． D．3、已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．4、在棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（    ）A．面 B．点到面的距离为C．与面的夹角的余弦值为 D．二面角的大小为5、刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（    ）      A． B．C． D．6、如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）A. ①②⑥    B. ①②③    C. ④⑤⑥    D. ③④⑤7、如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　）A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V28、在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（    ）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为_______.三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19、（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD.（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积.20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD
参考答案1、答案A解析解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，a+b+c=6①，abc=2②，a2+b2+c2=25③由①式平方-②可得ab+bc+ac=④，④÷②得：=故选A2、答案D解析由条件先算出长方体的体积，然后可得出长方体的高，然后再算出长方体的外接球半径即可.详解：因为该长方体的粮仓可装粟一万斛，1斛的体积为2.7立方尺所以该长方体的体积为立方尺所以该长方体的高为尺因为长方体的外接球直径为其体对角线所以长方体的外接球半径尺所以体积为立方尺，即为立方丈故选：D点睛1.长方体的体对角线是其外接球的直径.2.解答本题时要注意单位的统一.3、答案B解析根据题意可知，在底面的射影为的外心，由三角形知识可求出底面半径，三棱锥的高，再根据球心距， 外接圆的半径，球的半径关系即可求出球的半径，因而可求出该三棱锥的外接球的表面积．详解因为，所以在底面的射影为的外心．如图所示： 设外接圆的半径为，球的半径为，三棱锥的高为，在中，， ∴．，∴．故即，解得．∴该三棱锥的外接球的表面积为．故选：B．点睛本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法，涉及解三角形，三棱锥有关性质，球的几何性质的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．4、答案BC解析不垂直于，A错误，利用等体积法计算B正确，据B知，C正确，为二面角的平面角，，D错误，得到答案.详解：易知为等边三角形，故不垂直于，故不垂直平面，A错误；，，解得，B正确；设与面的夹角的余弦值为，据B知，故，C正确；为中点，易知，，故为二面角的平面角，，D错误.故选：BC.点睛本题考查了线面垂直，点面距离，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、答案C解析由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．详解由三视图，棱台体积为．故选：C.点睛本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．6、答案B解析经观察可得正视图为①、侧视图为②、俯视图为③，故选B.考点三视图.方法点晴本题主要考查三视图，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握虚线和实线的正确使用，方能正确求解.7、答案A解析由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解详解：解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为，由,所以,故选：B点睛此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题8、答案D解析设AB＝BC＝1，AA1＝a，用表示出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.详解：设AB＝BC＝1，则AC＝A1C1，设AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C，∴C1到直线A1C的距离m，∵B1C1∥BC，BC？平面A1BC，B1C1？平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴，又，∴？？n，∴n.∴.∵AA1＞AB，∴a＞1，∴0，∴.故选：D.点睛该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案4解析设圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．详解：设圆锥的底面半径为，母线长为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，，，又圆锥的表面积为，，解得，母线长为．故答案为：4点睛本题主要考查了圆锥的结构特征与应用问题，考查了面积计算，属于中档题．详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）由为的中点，可得到底面的距离等于，再求出底面的面积，代入棱锥体积公式求解．详解：（1）如图，取的中点，连接，，，，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，平面平面，平面则平面；（2）为的中点，到底面的距离等于．又底面是边长为2的等边三角形，．．点睛本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题．解析19、答案（1）见解析；（2）1（2）利用进行转化，先证出平面，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解：（1）证明：设交于点，连接，在菱形中，，又，是的中点，，，平面，平面，平面，又平面，故平面⊥平面；（2）解：连接，为的中点，且为的中点，，由（1）知，，又，则，，又，平面，又，，.三棱锥的体积为1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥的体积可以转化为以三角形为底，求的体积.解析详解：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，，平面BCD，平面BCD∴EF∥平面BCD点睛本题主要考查线面平行的判定定理，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，属于中档题.解析