2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案17

这是一份2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案17，共17页。
2022届新教材北师大版  　立体几何      单元 测试一、选择题1、某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）A． B． C． D．2、某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为(    )A．4 B．8 C．12 D．243、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（     ）     A． B． C． D．4、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)A． B． C． D．5、已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为（   ）A． B． C． D．6、某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10    B. 12C. 14    D. 167、已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为S，则S的最小值为(    )A． B． C． D．8、在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（    ）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，，，则________．三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，分别为的中点，且为等腰直角三角形，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD.（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积.20、（本小题满分12分）如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.
参考答案1、答案C解析先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.点睛先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.2、答案A解析由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.详解：由三视图还原几体何体如图，三棱锥是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以故选：A点睛此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.3、答案B解析该几何体中图中粗线部分，体积为，故选B．4、答案C解析由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5、答案A解析首先把直三棱柱补充为长方体，可求出长方体的体对角线，而长方体的体对角线就是长方体外接球得直径，即可求出外接球得半径，最后通过球的表面积公式求出结果.详解由题意，将直三棱柱补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，，所以该长方体的外接球的表面积，故选：A.点睛本题主要考查直棱柱的外接球的表面积，还运用补形法把直三棱柱补为长方体，通过长方体的体对角线就是长方体外接球得直径，即：（其中，分别为长方体的长宽高，为球的直径），再运用球的表面积公式：.6、答案B解析由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.7、答案C解析设出，根据体积可得，借助长方体，表示出四面体的外接球的表面积为S，利用基本不等式可求最小值.详解：设，因为，所以；根据长方体的对称性可知四面体的外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径；，当且仅当时，取到最小值.故选：C.点睛本题主要考查多面体的外接球，利用常见模型，建立棱长和外接球半径间的关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.8、答案D解析设AB＝BC＝1，AA1＝a，用表示出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.详解：设AB＝BC＝1，则AC＝A1C1，设AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C，∴C1到直线A1C的距离m，∵B1C1∥BC，BC？平面A1BC，B1C1？平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴，又，∴？？n，∴n.∴.∵AA1＞AB，∴a＞1，∴0，∴.故选：D.点睛该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，计算得到答案.详解：根据题意，，可以构成球内接长方体的三条共顶点的边，则.故答案为：.点睛本题考查了球的内接长方体问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）见解析；（2）（2）将异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，即可得结果.详解解：（1）分别为的中点，，平面平面，平面；（2）由（1）知：，异面直线与所成的角为，，异面直线与所成的角为.点睛本题考查线面平行的判定以及求异面直线所成的角，是基础题.解析19、答案（1）见解析；（2）1（2）利用进行转化，先证出平面，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解：（1）证明：设交于点，连接，在菱形中，，又，是的中点，，，平面，平面，平面，又平面，故平面⊥平面；（2）解：连接，为的中点，且为的中点，，由（1）知，，又，则，，又，平面，又，，.三棱锥的体积为1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥的体积可以转化为以三角形为底，求的体积.解析（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面.详解：（1）在中，D，E分别为棱，中点.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，，因为E，F分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面，所以平面.点睛本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.解析