新教材2023_2024学年高中数学第三章空间向量与立体几何本章总结提升课件北师大版选择性必修第一册

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第三章本章总结提升网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引 网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一　应用空间向量证明位置关系【例1】 如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.证明 (1)如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分别为AB,PC的中点,规律方法　利用空间向量证明平行、垂直关系的方法(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量.(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题.(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.变式训练1如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD. 证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴直线AB,AD,AP两两垂直,如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),取y=-1,得x=-2,z=1,∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,设n=(x1,y1,z1)为平面PCD的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量,∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.专题二　应用空间向量求空间距离【例2】 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).规律方法　向量法求点面距离的步骤 变式训练2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=4,AB=2,M,N,P分别是BB1,B1C1,BC的中点,点Q为棱CC1上一点,且直线AA1和PQ所成的角为 .(1)求证:PQ∥平面AMN;(2)求点P到平面AMN的距离.(1)证明 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵AA1∥CC1,∴直线AA1和PQ所成的角为∠PQC= ,∴三角形PQC为等腰直角三角形,∴QC=2,故点Q为棱CC1的中点.连接BC1(图略),∴PQ∥BC1,MN∥BC1,∴PQ∥MN.又MN⊂平面AMN,PQ⊄平面AMN,∴PQ∥平面AMN.(2)解 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),B1(4,2,4),C1(0,2,4),∴P(2,2,0),M(4,2,2),N(2,2,4).专题三　应用空间向量求空间角【例3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求异面直线A1D与AM所成的角;(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM与平面ABCD所构成的二面角的平面角是锐角的二面角的平面角的余弦值.解 以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).规律方法　向量法求线面角、两平面所成的角的方法(1)利用空间向量求直线与平面所成的角的两种方法:①分别求出斜线和它在平面内的投影所在直线的方向向量,将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,则其余角就是斜线和平面所成的角.(2)利用空间向量求两平面所成的角的两种方法:①利用定义,分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;②通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的平面角的大小等于(或π-).变式训练3[2023云南巍山第二中学高二阶段练习] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2, PA=AD=CD,点M,N分别是棱PB,PC上的动点.(1)若N是棱PC的中点,求二面角A-DN-B的平面角的大小;(2)请判断下列条件:①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为中哪一个条件可以推断出PD∥平面ACM(无需说明理由),并用你的选择证明该结论.当y1=1时,x1=0,z1=-1,则n1=(0,1,-1).当y2=1时,x2=2,z2=1,则n2=(2,1,1).因为n1·n2=0+1-1=0,故二面角A-DN-B的平面角的大小为90°.(2)条件①不可以推断PD∥平面ACM,条件②可以推断PD∥平面ACM,以下证明条件①不可以,条件②可以.若选择条件①,因为点M在线段PB上,过M作AB的垂线,垂足为Q,易得∠MAQ是直线AM与平面ABCD所成角,专题四　空间中的折叠与探究性问题【例4】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求平面ADC1与平面ABC所构成的二面角中平面角是锐角的二面角的平面角的余弦值;(3)线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明 连接A1C,交AC1于点O,连接OD,如图.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解 由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),规律方法　解决存在性问题的基本策略假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.变式训练4 如图1,在边长为4的菱形ABCD中, ∠DAB=60°,点M,N分别是边BC,CD的中点, AC∩BD =O1,AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置,连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG?证明你的结论.(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时,求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值.图1 图2 (3)在(2)的条件下,在线段PA上是否存在一点Q,使得二面角Q-MN-P的平面角余弦值的绝对值为 ?若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.解 (1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG,证明如下:∵M,N分别是边CD,CB的中点,又∠DAB=60°,∴BD∥MN,且△PMN是等边三角形,∵G是MN的中点,∴MN⊥PG,∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC.∴MN⊥AG.∵AG∩PG=G,∴MN⊥平面PAG,∴BD⊥平面PAG.∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAG.(3)假设符合题意的点Q存在.以点G为坐标原点,GA,GM,GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(3 ,0,0),M(0,1,0),N(0,-1,0),P(0,0, ),由(2)知,AG⊥PG,又AG⊥MN,且MN∩PG=G,∴AG⊥平面PMN,故平面PMN的一个法向量为n1=(1,0,0).【例5】 如图①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2 ,E,F分别是CD的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线AF,BE折起,使得点C和点D重合,记为点P,如图②.图① 图② (1)求证:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE与平面PAB所构成的二面角的平面角是锐角的角的余弦值.(1)证明 ∵四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2 ,E,F是CD的两个三等分点,∴四边形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE⊂平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解 过点P作PO⊥EF于点O,过点O作BE的平行线交AB于点G,则PO⊥平面ABEF,规律方法　解决与折叠有关问题的方法解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.变式训练5已知如图1,在菱形ABCD中,∠A=60°且AB=2,E为AD的中点,将△ABE沿BE折起使AD= ,得到如图2所示的四棱锥A-BCDE.图1 图2 (1)求证:BC⊥AB.(2)在线段AC上是否存在一点P,使得平面ABD与平面PBD所成二面角的平面角的余弦值为 ?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.(1)证明 如图1,连接BD,因为四边形ABCD为菱形,∠A=60°,所以△ABD为正三角形,又因为E为AD的中点,所以BE⊥AE,BE⊥ED,BE⊥BC,因为AE=ED=1,AD= ,所以AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED,因为BE∩ED=E,所以AE⊥平面BCDE,所以AE⊥BC,又因为BE⊥BC,AE∩BE=E,所以BC⊥平面ABE,所以BC⊥AB.图1 (2)解 由(1)知EB,ED,EA两两垂直,以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,假设满足条件的P存在, =λ,图2