2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案19

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 2022届新教材北师大版  　立体几何        单元测试一、选择题1、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A. B. C. D.2、正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为（    ）A. B.或 C. D.或3、已知正方体的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的体积为（    ）A． B． C． D．4、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（　　）A． B． C． D．5、某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )A． B． C．4 D．86、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED成 角②NF与BM是异面直线③CN与BM成角 ④DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（    ）A．1个      B．2个       C．3个      D．4个 7、阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （    ）A． B． C． D．8、下列说法中正确的个数是（     ）①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱． A．0 B．1 C．2 D．39、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、如图为一个几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，，，点、、、及、、、共线，沿图中直线将它们折叠，使、、、四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体15、已知，，垂足分别为A，B，且，若，，则P到l上任一点距离最小值是________.16、唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是______.三、解答题17、（本小题满分10分）如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.18、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，分别为的中点，且为等腰直角三角形，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角．19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求三棱锥的体积.
参考答案1、答案D解析根据三视图确定出该几何体是正四棱锥，根据锥体的体积计算公式直接求解体积即可.详解由三视图可知，该几何体是正方体中的正四棱锥.故选：D.点睛本题考查根据几何体的三视图求解几何体的体积，难度一般.对于三视图中含有多条垂直线段或出现多个正方形、矩形的情况，可考虑在长方体或者正方体中寻找几何体.2、答案B解析画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积。详解设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图此时有 ，即可解得h=3因而棱柱的体积当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图有，即可解得h=1所以综上，棱锥的体积为或所以选B点睛本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题。3、答案C解析先求球的半径，即得正方体棱长，根据三视图还原几何体，再根据正方体以及锥体体积公式求结果.详解：设外接球的半径为正方体棱长为，因为正方体的外接球的体积为，所以由三视图知几何体为正方体截去两个角（如图），其体积为故选：C点睛本题考查三视图、正方体以及锥体体积、球体积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.4、答案C解析由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角,再求解.详解由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，∵PM∥AD，AD∥BC，PM＝AD，AD＝BC．∴PBCM是平行四边形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角．设PA＝AB＝a，在三角形ACM中，AMa，ACa，CMa，∴三角形ACM是等边三角形．所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°．故答案为：C点睛本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法，空间直线与直线的位置关系，难度中档．5、答案A解析由三视图先确定几何体的形状，由体积公式即可求解.详解由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为.故选A点睛本题主要考查由三视图来求几何体的体积，属于基础题型.6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故②③④正确，故选C．7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．故选：C．点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.详解将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.故填：.点睛本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.15、答案解析延展平面交于点，可推出，则即为所求，在三角形中，由正弦定理可得结果.详解如图所示：延展平面交于点，因为，，所以，同理，又，所以平面，因为平面，所以，所以即为所求，因为，，所以，所以四点共圆，其直径为，在三角形中，由正弦定理得.故答案为：点睛本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了正弦定理，考查了运算求解能力，属于中档题.16、答案2.解析设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.详解：解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，所以，，故，故答案为：2.点睛本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题. (2)根据(1)中的结论再证明即可.详解：（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.（2）由是正方体,可知,,∵平面,年平面,∴平面,由（1）知,平面,又,∴平面平面.点睛本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.解析18、答案（1）见解析；（2）（2）将异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，即可得结果.详解解：（1）分别为的中点，，平面平面，平面；（2）由（1）知：，异面直线与所成的角为，，异面直线与所成的角为.点睛本题考查线面平行的判定以及求异面直线所成的角，是基础题.解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．考点线面平行与面面垂直．解析20、答案（1）证明见解析（2）（2）根据，计算可得.详解（1）证明：连接交于，连接，则是的中位线∴∵平面，平面∴平面（2）∵∵∴三棱锥的体积为点睛本题考查线面平行的证明及锥体的体积计算，属于基础题.解析