专题强化练8　定点、定值等探索性问题-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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专题强化练8　定点、定值等探索性问题一、选择题1.(2021安徽六校教育研究会高三上第一次素质测试,)已知直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A、B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线D:x2=8y交于M、N两点,若对于任意k∈R,λ|AB|-|MN|为定值,则实数λ的值为              (　　)A.12　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.22.(2021江苏镇江高三上期中,)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”,设直线l交抛物线y=x2于A,B两点,若|OA|,|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”(O为坐标原点),则此直线l恒过定点              (　　)A.　　　　　　　B.C.(0,2)　　　　　　　D.(0,4)3.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高三第二次模拟,)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=2,以M为圆心的圆过A,B两点,且与直线y=1相切.若存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值,则点P的坐标为              (　　)A.(0,1)　　　　　　　B.(0,-1)C.　　　　　　　D.二、解答题4.()过双曲线x2-=1的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是线段AB的中点,O为坐标原点.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当点P的坐标为(x0,2)时,求直线l的方程;(3)求证:|OA|·|OB|是一个定值.        5.(2021浙江温州十五校联合体高二上期中联考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,且F(0,)是C的一个焦点,过焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)y轴上是否存在定点P(异于点F),使得对任意的动直线l都有∠APF=∠BPF?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.         6.(2021湖南长沙长郡、雅礼、一中、附中高三上联合编审名校卷,)已知点P是圆Q:(x+2)2+y2=32上任意一点,定点R(2,0),线段PR的垂直平分线l与半径PQ相交于M点,P在圆周上运动时,设点M的运动轨迹为Γ.(1)求点M的轨迹Γ的方程;(2)若点N在双曲线-=1(顶点除外)上运动,过点N,R的直线与曲线Γ相交于A,B,过点N,Q的直线与曲线相Γ交于C,D,试探究|AB|+|CD|是不是定值,若是定值,请求出这个定值,若不是定值,请说明理由.           
答案全解全析一、选择题1.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+1与x2=4y联立,得x2-4kx-4=0,∴|AB|=·,将y=2kx+2与x2=8y联立,得x2-16kx-16=0,∴|MN|=·,∴λ|AB|-|MN|=λ··4·-8(1+4k2)=(4λ-32)k2+4λ-8,∴λ=8.故选B.2.D　设直线AB的方程为y=kx+b(b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4b=0,由根与系数的关系可得x1+x2=4k,x1x2=-4b,若|OA|,|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”(O为坐标原点),则|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以OA⊥OB,即⊥,所以·=x1x2+y1y2=0,又y1y2=×=(x1x2)2,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1x2)2=-4b+×(-4b)2=0,即b2-4b=0,解得b=4或b=0(舍去),所以直线AB的方程为y=kx+4,恒过点(0,4).故选D.3.D　设M(x,y),因为点A,B关于坐标原点O对称,所以O是线段AB的中点,又因为以M为圆心的圆过A,B两点,所以有OA⊥OM,因此有|OM|2+|OA|2=|MA|2,又|AB|=2,所以|OA|=1.又因为以M为圆心的圆与直线y=1相切,所以有|MA|=|y-1|,把|OA|=1,|MA|=|y-1|代入|OM|2+|OA|2=|MA|2中,得x2+y2+1=|y-1|2,化简得x2=-2y(y≤0),因此点M的轨迹是抛物线,该抛物线的焦点坐标为,准线方程为y=,记F,又|MA|-|MP|=|y-1|-|MP|=1-y-|MP|=-y-|MP|+=-|MP|+,由抛物线的定义可知:=|MF|,所以有|MA|-|MP|=|MF|-|MP|+,由题意可知存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值,因此一定有|MF|=|MP|,此时定点P即为该抛物线的焦点F.故选D.二、解答题4.解析　(1)令x2-=0,可得双曲线的渐近线方程为y=±2x.(2)将(x0,2)代入双曲线方程可得=1+=2,解得x0=(负值舍去),设A(m,2m),B(n,-2n),由P为线段AB的中点,可得m+n=2,2m-2n=4,解得m=+1,n=-1,则A(+1,2+2),可得直线PA的斜率k==2,则直线l的方程为y-2=2(x-),即y=2x-2.(3)证明:设P(x0,y0),A(m',2m'),B(n',-2n'),则-=1,由P为线段AB的中点,可得m'+n'=2x0,2m'-2n'=2y0,解得m'=x0+y0,n'=x0-y0,则|OA|·|OB|=|m'|·|n'|=5|m'n'|=5=5=5,为定值.5.解析　(1)依题意得,解得a=2,b=1.故椭圆C的标准方程为+x2=1.(2)设存在点P(0,t)(t≠)满足题意,直线l的方程为y=kx+,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(k2+4)x2+2kx-1=0,从而x1+x2=-,x1·x2=-.由∠APF=∠BPF得kAP+kBP=0,又kAP+kBP=+=+==-=-·=-·=0,所以只需t=即可满足.从而y轴上存在定点P满足题意.6.解析　(1)由题意可知|MP|=|MR|,则|MR|+|MQ|=|MQ|+|MP|=|PQ|=4>4=|RQ|,由椭圆的定义知点M的轨迹是以R,Q为焦点,4为长轴长,4为焦距的椭圆,即a=2,c=2,b=2,故Γ:+=1.(2)设N(x0,y0),则-=1,x0≠±2,易知直线NR,NQ的斜率都存在,分别设为k1,k2,则直线NR:y=k1(x-2),直线NQ:y=k2(x+2),k1k2=·===,将直线NR的方程y=k1(x-2)与+=1联立,得(2+1)x2-8x+8-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=·=4·,同理可得|CD|=4·,∴|AB|+|CD|=4=4=4·=6.即|AB|+|CD|是定值,定值为6.