第二章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第二章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析），共17页。

 本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视圆锥曲线定义中的限制条件致错
1.(2020广东江门第二中学高二下期中,)已知圆O的半径为定长R,A是圆O内一个定点,P是圆O上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.圆　　　　　　　B.椭圆
C.双曲线　　　　　　　D.抛物线
2.()已知平面内两定点F1(-2,0),F2(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是 (　　)
A.|PF1|-|PF2|=±3　　　　　　　B.|PF1|-|PF2|=±4
C.|PF1|-|PF2|=±5　　　　　　　D.|PF1|2-|PF2|2=±4
易错点2　对圆锥曲线方程理解不到位致错
3.(多选题)(2021江苏徐州沛县高二上第一次学情调研,)若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中错误的是 (　　)
A.若C为椭圆,则1 B.若C为双曲线,则t>3或t<1
C.曲线C可能为圆
D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1 4.()已知抛物线的方程为y=-8x2,则该抛物线的准线方程为　　　　. 
易错点3　忽略圆锥曲线的焦点位置致错
5.()椭圆x2m+y24=1的焦距是2,则m的值是　　　　. 
6.(2020海南海口四中高二上第三次月考,)抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且它过点P(-2,22),求抛物线的方程.






易错点4　混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系
7.(2021黑龙江哈尔滨德强学校高二上期中,)已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的焦点与椭圆x225+y216=1的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 (　　)
A.42　　　　B.5　　　　C.3　　　　D.5
8.(多选题)()曲线x24+y23=1与x2-y23=1的离心率分别为e1,e2,下列结论正确的是 (　　)
A.e1e2>e2e1　　　　　　　B.lne1 C.e1e2=1　　　　　　　D.3e1>3e2
易错点5　求轨迹方程时不能正确剔除不合题意的点致错
9.()设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.





10.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.





易错点6　忽略直线与圆锥曲线位置关系中的特殊情况
11.(2021福建平潭新世纪学校高二上月考,)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 (　　)
A.1条　　　　B.2条　　　　C.3条　　　　D.0条
12.(2020福建莆田第七中学高二上期末,)过双曲线x2-y22=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有 (　　)
A.1条　　　　　　　B.2条
C.3条　　　　　　　D.4条
思想方法练
一、分类讨论思想在解析几何中的应用
1.()点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x2=112y　　　　　　　
B.x2=112y或x2=-136y
C.x2=-136y　　　　　　　
D.x2=12y或x2=-36y
2.(2021黑龙江高二上学业水平考试,)无论θ为何值,方程x2+3cosθ·y2=1所表示的曲线不可能为 (　　)
A.双曲线　　　　　　　B.抛物线
C.椭圆　　　　　　　D.圆
3.(2020江苏上冈高级中学高二上期中,)已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为 (　　)
A.95　　　　　　　B.3
C.977或94　　　　　　　D.94
二、数形结合思想在解析几何中的应用
4.(2020浙江丽水四校高二上期中,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=-2FB,则|AB|= (　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12
5.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考,)已知椭圆C:x216+y212=1,圆A:x2+y2-3x-y+2=0,P,Q分别为椭圆C和圆A上的点,F(-2,0),则|PQ|+|PF|的最小值为 (　　)
A.4-322　　　　　　　B.8-32
C.4-2　　　　　　　D.8-2
三、转化与化归思想在解析几何中的应用
6.(2020四川成都第七中学高三高考热身考试,)已知P(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,若PF1·PF2<0,则x0的取值范围是 (　　)
A.-263,263　　　　　　　B.-233,233
C.-33,33　　　　　　　D.-63,63
7.(2020重庆第一中学高三下5月月考,)已知点P在以F1,F2为左,右焦点的椭圆C:x22b2+y2b2=1(b>0)上,在△PF1F2中,若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则sin(α+β)sinα+sinβ= (　　)
A.12　　　　　　　B.22
C.32　　　　　　　D.2
8.(2020江西宜春宜丰中学高二上第二次月考,)设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I是△PF1F2的内心,若△PF1F2的面积是△IF1F2面积的3倍,则该椭圆的离心率为 (　　)
A.33　　　　　　　B.22
C.32　　　　　　　D.12
四、函数与方程思想在解析几何中的应用
9.(2021四川成都树德中学高二上10月阶段检测,)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为1,若|AF1|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则此椭圆的长轴长为 (　　)
A.33　　　　　　　B.3　　　　
C.6　　　　　　　D.6
10.(2021江苏南京高二上期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.3-1　　　　　　　B.5-1　　　　
C.3+1　　　　　　　D.5+1
11.(2020安徽皖西南名校高二下期末联考,)已知点P(5,0),若双曲线C:x2-y23=1的右支上存在两动点M,N,使得PM⊥PN,则MP·MN的最小值为　　　　. 

答案全解全析
易混易错练
1.B　∵A为圆O内一定点,P为圆O上一动点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,则|QA|=|QP|,则|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=|OP|=R>|AO|,即动点Q到两定点O,A的距离和为定值,根据椭圆的定义,可知点Q的轨迹是以O,A为焦点,OP为实轴长的椭圆.
2.A　当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,此时点P的轨迹是双曲线.故选A.
总结反思
(1)椭圆定义中,动点到两定点的距离之和为常数,且这个常数大于这两定点之间的距离,这点往往会被忽略;
(2)双曲线定义中,动点到两定点的距离之差的绝对值为常数,且这个常数小于这两定点之间的距离.如果仅仅是动点到两定点的距离之差为常数(常数小于两定点之间的距离),则轨迹仅是双曲线的一支;若常数不小于两定点之间的距离,则轨迹不是双曲线.
3.AD　若t>3,则方程可变形为y2t-1-x2t-3=1,它表示焦点在y轴上的双曲线;若t<1,则方程可变形为x23-t-y21-t=1,它表示焦点在x轴上的双曲线;若2 4.答案　y=132
解析　由已知得抛物线的标准方程为x2=-18y,所以该抛物线的准线方程为y=132.
总结反思
(1)对于形如x2m+y2n=1的方程,当m,n异号时,为双曲线方程,当m,n均为正且不相等时,才是椭圆方程;
(2)不少同学常把y=ax2这种形式的方程看成是抛物线的标准方程,从而解题错误,应该先化为标准方程再进行求解.
5.答案　3或5
解析　由题意得c2=1.
当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,则a2-b2=m-4=1,得m=5;
当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,则a2-b2=4-m=1,得m=3.
综上所述,m=5或m=3.
6.解析　抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,需分类讨论:
(1)对称轴是x轴,即焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=2px,
代入点P(-2,22)得8=-4p,所以p=-2,所以抛物线的方程为y2=-4x.
(2)对称轴是y轴,即焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py,
代入点P(-2,22),得4=42p,所以p=22,所以抛物线的方程为x2=2y.
综上,所求抛物线的方程为y2=-4x或x2=2y.
总结反思
对于从题意中无法确定焦点位置的圆锥曲线问题,需要分类讨论,列出所有的情况.
7.D　由题意得4+b2=25-16,∴b2=5,b=5,因此该双曲线的一条渐近线的方程为y=52x,即5x-2y=0.又双曲线的焦点为(3,0)和(-3,0),所以双曲线的焦点到其渐近线的距离d=355+4=5.故选D.
8.BC　由曲线x24+y23=1,可得a=2,b=3,则c=a2-b2=1,所以e1=12,由曲线x2-y23=1,可得a1=1,b1=3,则c1=a12+b12=2,所以e2=2.因为122<212,故A错误;因为ln12 总结反思
在椭圆中,a,b,c之间的关系式为a2=b2+c2,而在双曲线中,a,b,c之间的关系式为a2+b2=c2,关系式不能搞混.
9.解析　设N(x,y),则由MN=2MP,得P为MN的中点.
又点M在x轴上,点P在y轴上,
所以M(-x,0),P0,y2,
∴PM=-x,-y2,PF=1,-y2,
∵PM⊥PF,∴PM·PF=0,
∴-x+-y2·-y2=0,
∴y2=4x(x≠0).
10.解析　由已知,得圆E的半径为2,设圆P的半径为R,
则|PF|=|PM|=R,|ME|=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
所以|PF|-|PE|=2<|EF|=4,
由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,由题意得a=1,c=2,所以b=3,
故动圆P的圆心P的轨迹方程为x2-y23=1(x≤-1).
总结反思
求轨迹方程,一般是通过建立坐标系、设动点坐标、列出动点满足的方程、化简方程得轨迹方程这样一个过程.但得出轨迹方程后,我们往往缺少一个验证的过程,需要结合条件认真分析变量x,y是否有限制条件,对于不符合题意的点要剔除.
11.C　易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,此时直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
12.C　若l⊥x轴,则AB为通径,而通径长度2b2a正好是4,故直线l交双曲线于同支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线只有一条.若l经过顶点,此时|AB|=2,故直线l交双曲线于异支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线有且只有两条.故满足|AB|=4的直线l有3条.故选C.
总结反思
(1)直线与抛物线只有一个交点时,可能是相切位置关系,也可能是直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时也是只有一个交点,这点易被忽略;
(2)不要认为双曲线同一支上两点连接的线段才是弦,左支和右支的点连接的线段也是弦;
(3)在过双曲线焦点的弦中,如果在同一支上,则通径最短,如果跨两支的弦,则连接两顶点所得的弦最短.
思想方法练
1.D　将y=ax2转化为x2=1ay,
a的符号影响到准线方程,所以要分类讨论.
当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=-14a,点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6,所以a=112,所以抛物线方程为y=112x2,即x2=12y;当a<0时,抛物线开口向下,准线方程为y=-14a,点M(5,3)到准线的距离为3+14a=6,所以a=-136,所以抛物线的方程为y=-136x2,即x2=-36y.综上所述,抛物线的方程为x2=12y或x2=-36y,故选D.
2.B　-1≤cosθ≤1,
由于θ∈R,所以对cosθ的符号和取值进行
讨论,从而确定曲线表示的图形.
当cosθ=0时,方程化为x=±1,表示两条直线;当0 3.D　由于直角三角形的直角位置不确定,需
分类讨论.
由已知得F1(-7,0),F2(7,0).当∠PF2F1=90°或∠PF1F2=90°时,xP=±7,yP=±94,所以点P到x轴的距离为94;当∠F1PF2=90°时,设P(x,y),则F1P·F2P=0,即x2-7+y2=0,与x216+y29=1联立,无解.所以点P到x轴的距离为94,故选D.
思想方法
在解答圆锥曲线相关问题时,应用圆锥曲线的方程、几何性质以及与直线的位置关系解题时会遇到多种可能情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合归纳得出问题的正确答案.分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,分类时要做到不重复,不遗漏.
4.C　抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,作图如下:

由FA=-2FB,可得|FA|∶|AB|=2∶3,过B作BC⊥l于C,设l与x轴交于D,则|FD|∶|BC|=2∶3,
结合图形可发现三角形ADF与三角形ACB
相似,则有对应线段成比例.
因为|FD|=2,所以|BC|=3,|FB|=3,|AB|=3|FB|=9,故选C.
5.D　圆A:x2+y2-3x-y+2=0可化为x-322+y-122=12.作出椭圆C与圆A的图象如图,F(-2,0)为椭圆C的左焦点,设椭圆的右焦点为F'(2,0),由椭圆的定义知|PF|+|PF'|=8,则|PQ|+|PF|=|PQ|+8-|PF'|=8-(|PF'|-|PQ|),
结合图形及椭圆的定义进行转换求解.
圆A过点F',要使|PQ|+|PF|最小,则|PF'|-|PQ|最大,而|PF'|-|PQ|最大为圆A的直径,即2.∴|PQ|+|PF|的最小值为8-2.故选D.

思想方法
数形结合思想在圆锥曲线中主要体现为:(1)以数研形,通过建立坐标系将数与形结合起来,如解方程组求交点坐标,利用二次方程的判别式判别直线与圆锥曲线的交点个数等;(2)以形助数,直接使用图形的几何性质解题.
6.A　PF1·PF2<0可转化为∠F1PF2为钝角.
如图,设以O为原点,半焦距c=3为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A,B两点.由x2+y2=3,x24+y2=1,得x=±263,要使PF1·PF2<0,即∠F1PF2为钝角,即点P在A、B之间,
∴x0的取值范围是-263,263.故选A.

7.B　在△PF1F2中,由正弦定理将角的关系
转化为边的关系.
在△PF1F2中,|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(α+β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),所以sin(α+β)sinα+sinβ=|F1F2||PF1|+|PF2|=2c2a=ca=2b2-b22b=22,故选B.
8.D　设△PF1F2内切圆的半径为r,
∴S△PF1F2=S△IPF1+S△IPF2+S△IF1F2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=(a+c)·r,将大三角形面积转化为三个小三角形面积
之和.
又S△IF1F2=12|F1F2|·r=c·r,S△PF1F2=3S△IF1F2,∴a+c=3c,
∴a=2c,∴e=ca=12.
思想方法
转化与化归是一种很有效的数学思维方式,在解析几何中,求直线与圆锥曲线相交的有关问题时,若要证明线段相等或求弦长,则直接求交点,再求长度,这样计算一般较复杂.此时,若能进行合理转化,便可简化运算.
9.D　AF2⊥x轴,l在y轴上的截距为1,则A(c,2),|AF1|=3|F1B|,由相似三角形可得B-53c,-23,将A,B代入椭圆,构建关于a,b,c的方程组,求a,b,c的值.
得c2a2+4b2=1,25c29a2+49b2=1,解得b2=6,又|AF2|=b2a=2,∴2a=6.故选D.
10.C　由题意可知|OF|=c,由四边形OFMN为菱形,可得|MN|=|OF|=c,设点M在F的上方,可知M、N关于y轴对称,可设M-c2,3c2,代入双曲线方程可得-c22a2-32c2b2=1,又由a2+b2=c2,化简可得c4+4a4-8a2c2=0,建立关于a,b,c的方程.
两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0,进一步转化为关于e的方程.
解得e2=4+23(4-23舍去),因为e>1,所以e=4+23=(1+3)2=3+1,故选C.
11.答案　634
解析　设M(x1,y1)(x1≥1),则x12-y123=1,即y12=3(x12-1).
因为PM⊥PN,所以PM·PN=0,
则MP·MN
=MP·(MP+PN)=MP2+MP·PN=MP2
=(x1-5)2+y12=x12-10x1+25+3(x12-1)=4x1-542+634.
建立关于点M的横坐标x1的函数,从而
由x1的取值得出MP·MN的最值.
因为x1≥1,所以4x1-542+634≥634,当且仅当x1=54时等号成立,所以MP·MN的最小值为634.
总结反思
有些与圆锥曲线相关的问题,最终归结为某些数值的确定,我们把这些数值看成未知数,把题目中给定的条件、关系转换成这些未知数所满足的方程(组)或函数,通过解方程(组)或求函数的最值解决问题.