第二章 圆锥曲线 单元测试卷-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（）选择性必修 第一册

这是一份第二章 圆锥曲线 单元测试卷-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（）选择性必修 第一册，共6页。
圆锥曲线单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)A．(2,0)　　　　　　　 B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)A．(1，＋∞) B．(1,2)C. D．(0,1)3．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)A．4 B．－4C．p2 D．－p25．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)A.eq \f(1,2) B．1C．2 D．46．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3)C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)7．从双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|＝(　　)A.eq \f(b－a,2) B．b－aC.eq \f(a＋b,2) D．a＋eq \f(b,2)8．方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图像可能是(　　)9．若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点，且eq \o(PF1,\s\up7(―→))·eq \o(PF2,\s\up7(―→))＝0，tan∠PF1F2＝eq \f(1,2)，则此椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(2),3)C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)10．两个正数a，b的等差中项是eq \f(9,2)，一个等比中项是2eq \r(5)，且a>b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为(　　)A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(41),4)C.eq \f(5,4) D.eq \f(\r(41),5)11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)A.eq \r(5) B．2eq \r(2)C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)12．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋eq \r(a2＋b2)，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－eq \r(2)，0)∪(0，eq \r(2))D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．14．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的______．(填序号)①2　　　　②－1　　　　③4　　　　④－315．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．16．以下是关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，k为非零常数，||eq \o(PA,\s\up7(―→)) |－|eq \o(PB,\s\up7(―→)) ||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若eq \o(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \o(OB,\s\up7(―→)))，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,35)＋y2＝1有相同的焦点．其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．18．(本小题满分12分)已知直线y＝eq \f(\r(2),2)x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若eq \o(MF1,\s\up7(―→))·eq \o(MF2,\s\up7(―→))＝2，求椭圆的标准方程．19．(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l：y＝2x＋1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．20．(本小题满分12分)如图所示，F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．21．(本小题满分12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \o(NP,\s\up7(―→))＝eq \r(2)eq \o(NM,\s\up7(―→)).(1)求点P的轨迹方程．(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(PQ,\s\up7(―→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22．(本小题满分12分)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，M为PD上一点，且|MD|＝eq \f(4,5)|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被方程C所截线段的长度．参考答案1—5 BDDBC 6—10 ABAAD 11—12 CA13．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝114．①②15．(x－1)2＋y2＝416．③④17．解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，如图，∴可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在抛物线上，∴(eq \r(6))2＝2p×eq \f(3,2).∴p＝2.∴y2＝4x.∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，∴－c＝－1，c＝1.∴a2＋b2＝1.①又∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，∴eq \f(9,4a2)－eq \f(6,b2)＝1.②联立①②可得，a2＝eq \f(1,4)，b2＝eq \f(3,4).∴双曲线的方程为4x2－eq \f(4,3)y2＝1.故所求抛物线与双曲线的方程分别为y2＝4x或4x2－eq \f(4,3)y2＝1.18．解：如图，由已知设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，则M点的横坐标为c.∴M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(\r(2),2)c)).∴eq \o(MF1,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(\r(2),2)c))，eq \o(MF2,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)c)).∴eq \o(MF1,\s\up7(―→))·eq \o(MF2,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)c2.由已知得eq \f(1,2)c2＝2，∴c＝2.又在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝4，|MF2|＝eq \r(2)，∴|MF1|＝eq \r(|F1F2|2＋|MF2|2)＝3eq \r(2).∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4eq \r(2).∴a＝2eq \r(2).∴b2＝4.∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.19．解：(1)由题意可知p＝2.∴抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)直线l：y＝2x＋1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x2＝4y))得x2－8x－4＝0，∴x1＋x2＝8，∴|AB|＝y1＋y2＋2＝2x1＋1＋2x2＋1＋2＝2(x1＋x2)＋4＝20.20．解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入椭圆方程得eq \f(1,22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,b2)＝1，解得b2＝3，故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)由(1)知A(－2,0)，B(0，eq \r(3))，所以kPQ＝kAB＝eq \f(\r(3),2)，所以PQ所在直线方程为y＝eq \f(\r(3),2)(x－1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),2)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得8y2＋4eq \r(3)y－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq \f(\r(3),2)，y1·y2＝－eq \f(9,8)，所以|y1－y2|＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(\f(3,4)＋4×\f(9,8))＝eq \f(\r(21),2)，所以S△F1PQ＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(21),2)＝eq \f(\r(21),2).21．解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，eq \o(NP,\s\up7(―→))＝(x－x0，y)，eq \o(NM,\s\up7(―→))＝(0，y0)，由eq \o(NP,\s\up7(―→))＝eq \r(2)eq \o(NM,\s\up7(―→))，得x0＝x，y0＝eq \f(\r(2),2)y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,2)＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则eq \o(OQ,\s\up7(―→))＝(－3，t)，eq \o(PF,\s\up7(―→))＝(－1－m，－n)，eq \o(OQ,\s\up7(―→))·eq \o(PF,\s\up7(―→))＝3＋3m－tn，eq \o(OP,\s\up7(―→))＝(m，n)，eq \o(PQ,\s\up7(―→))＝(－3－m，t－n)，由eq \o(OP,\s\up7(―→))·eq \o(PQ,\s\up7(―→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以eq \o(OQ,\s\up7(―→))·eq \o(PF,\s\up7(―→))＝0，即eq \o(OQ,\s\up7(―→))⊥eq \o(PF,\s\up7(―→)).又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22．解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y，))∵P在圆上，∴x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)y))2＝25，即C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线方程为y＝eq \f(4,5)(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝eq \f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq \f(x2,25)＋eq \f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝eq \f(3－\r(41),2)，x2＝eq \f(3＋\r(41),2).∴线段AB的长度为|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(16,25)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2)＝ eq \r(\f(41,25)×41)＝eq \f(41,5).