专题强化练7　圆锥曲线中的范围与最值问题-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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专题强化练7　圆锥曲线中的范围与最值问题　一、选择题1.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学情调研,)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为              (　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2.(2021重庆第八中学高二上期中,)若点O和点F分别为双曲线-y2=1的中心和左焦点,点P为该双曲线上的任意一点,则·的最小值为              (　　)A.2+　　　　B.2-　　　　C.　　　　D.-3.(2020吉林长春实验中学高二上月考,)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,点P为椭圆C上不同于A,B两点的动点,若直线PA的斜率的取值范围是[1,2],则直线PB的斜率的取值范围是(　　)A.[-2,-1]　　　　　　　B.C.　　　　　　　D.4.(2020广西桂林十八中高三第十次适应性月考,)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足(+)·=0,则椭圆的离心率e的取值范围为              (　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.5.(2021安徽淮北第一中学高二上期中,)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,·的最小值是2a(其中O为坐标原点),则的最小值为              (　　)A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.246.(2021重庆云阳江口中学高二上第二次月考,)直线l经过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A、B两点,过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则△PQF的面积的最小值是              (　　)A.2　　　　B.4　　　　C.4　　　　D.67.(2020湖南湘潭一中、双峰一中、邵东一中高二下联考,)已知抛物线C:x2=2y的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若直线l1与l2的斜率的乘积为-1,则|AB|+|MN|的最小值为              (　　)A.16　　　　B.12　　　　C.8　　　　D.68.(2020江西南昌二中高三测试,)已知双曲线C:-y2=1的离心率为,过点P(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是              (　　)A.∪B.∪C.∪D.∪二、填空题9.(2021北京汇文中学高二上期中,)已知抛物线y2=4x的动弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为　　　　. 10.(2020海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆+=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离取得最小值时,P点的坐标为　　　　. 三、解答题11.()设F为抛物线C:y2=4x的焦点,P,Q为抛物线C上的两个不同的动点,O为坐标原点.(1)若点F在线段PQ上,求|PQ|的最小值;(2)当OP⊥PQ时,求点Q的纵坐标的取值范围.      
答案全解全析一、选择题1.B　设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,联立消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-,x1x2=.∴|AB|==·=·=·,∴当m=0时,|AB|取得最大值,为,故选B.2.B　由题意,得点O(0,0),点F(-,0),设点P(x,y),则-y2=1,即y2=-1,x∈(-∞,-]∪[,+∞),所以=(x,y),=(x+,y),所以·=x(x+)+y2=x2+x+-1=-,所以当x=-时,·取得最小值,最小值为-=2-.故选B.3.D　由题意得A(-2,0),B(2,0),设P(x0,y0),则+=1,其中x0≠±2,所以kPA·kPB=·===-,又因为直线PA的斜率的取值范围是[1,2],所以直线PB的斜率的取值范围是.故选D.4.C　取线段AP的中点Q,故2·=0,∴FQ⊥AP,故三角形AFP为等腰三角形,即|FA|=|FP|,且|FA|==a,由于点P在直线x=上,∴|FP|≥-c,即a≥-c,∴≥-1,∴e2+e-1≥0,解得e≥或e≤,又0<e<1,∴≤e<1,故选C.5.B　设P(x0,y0),则·=cx0,当x0=a时,取得最小值ac,则ac=2a,所以c=2.依题意知解得设|PF2|=t(t≥1),则|PF1|=t+2,所以==t++4≥2+4=8,即的最小值为8.故选B.6.B　由抛物线y2=4x可知p=2,所以F(1,0),准线方程为x=-1,依题意可设直线l:x=ty+1,与y2=4x联立,得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以|y1-y2|==≥4,当且仅当t=0时,等号成立.所以S△PQF=×2×|PQ|=|y1-y2|≥4.故选B.7.C　易得F,由题意设直线l1的方程为y=kx+,将其与抛物线方程联立,得x2-2kx-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以x1+x2=2k,x1·x2=-1,|AB|=y1+y2+p=(+)+p=×[-2x1·x2]+p=2k2+2,因为直线l1与l2的斜率的乘积为-1,所以直线l2的斜率为-,所以|MN|=+2,所以|AB|+|MN|=2k2++4≥8,当且仅当2k2=,即k=±1时取等号,故选C.8.A　因为双曲线C:-y2=1的离心率为,所以=,解得m=2,所以双曲线C的方程为-y2=1.设直线l:x=ty+2,与双曲线C的方程联立,得(t2-2)y2+4ty+2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=-,x1x2=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=,又因为∠AOB为钝角,所以·<0,所以y1y2+x1x2<0,即+<0,解得t2-2>0,即t2>2,所以直线l的斜率k满足k2=<,又A,O,B三点不可能共线,所以k≠0,故直线l的斜率的取值范围是∪,故选A.二、填空题9.答案　6解析　如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4.由抛物线的定义可知|AF|+|BF|=x1+x2+2=6,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤6,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值6.10.答案　解析　设直线l1:4x-5y+m=0(m≠40),当直线l1与椭圆相切时,其中一个切点到直线4x-5y+40=0的距离最小,故联立整理,得25x2+8mx+m2-225=0,相切时有Δ=(8m)2-4×25×(m2-225)=0,解得m=±25,易知当m=25时,切点到直线4x-5y+40=0的距离最小,将m=25代入25x2+8mx+m2-225=0中,得x1=x2=-4,将其代入4x-5y+25=0中,得y=,故此时P点的坐标为.三、解答题11.解析　(1)由抛物线的标准方程,知p=2,根据抛物线的性质,知当PQ⊥x轴时,|PQ|最小,最小值为2p,即为4.(2)如图,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意知y1y2≠0,y1≠y2.则=4x1①,=4x2②,因为OP⊥PQ,=(x1,y1),=(x2-x1,y2-y1),所以·=x1(x2-x1)+y1(y2-y1)=0③.由①②③,得+y2y1+16=0,由y1∈R,且y1≠0,得Δ=-64≥0,即y2≤-8或y2≥8,故点Q的纵坐标的取值范围为(-∞,-8]∪[8,+∞).