高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列同步达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了2　离散型随机变量及其分布列，伯努利试验应满足的条件，某种种子每粒发芽的概率都为0等内容，欢迎下载使用。

8.2.3 二项分布
基础过关练
题组一 伯努利试验及其概率计算
1.伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )

A.①②B.②③
C.①②③D.①②④
2.某同学在一次普通话二级测试中通过的概率是14,若该同学连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是( )
A.164B.116C.964D.34
3.(2021江苏徐州高三期末)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在话音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127B.227C.281D.881
4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23、34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二 二项分布的概率分布
5.设随机变量X~B6,12,则P(X=3)等于( )
A.516B.316C.58D.716
6.(2021江苏盐城中学高二期中)在一次比赛中,如果运动员甲胜运动员乙的概率是23,那么在甲、乙两人的五次比赛中,运动员甲恰有三次获胜的概率是( )
A.40243B.80243C.110243D.20243
7.(2021江苏苏州四中高二期中)一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8,有4台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( )
6 8
2 8
8.(2020江苏南京二十九中高三下模拟)某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是12.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的概率分布.
题组三 二项分布的期望与方差
9.(2020江苏宿迁中学高二期中)设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=Cnk23k13n-k,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,则D(ξ)的值为( )
A.8B.12C.29D.16
10.(2021江苏如东中学高二期中)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.100B.200C.300D.400
11.(2020江苏宿迁高二月考)随机变量X,Y满足Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=59,则D(Y)=( )
A.5B.4C.7D.9
12.(2021浙江杭州二中高三月考)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯停留的时间都是2分钟,则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ(单位:分钟)的数学期望为 ,方差为 .
13.某学校要招聘志愿者,参加应聘的学生要从8道试题中随机挑选出4道进行作答,至少答对3道才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8道试题中甲能答对6道,乙能答对每道试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每道试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的概率分布、数学期望和方差.
14.(2021江苏南京秦淮中学高二期中)一辆汽车前往目的地需要经过4个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率均为34(可以正常通过),遇到红灯的概率均为14(必须停车).假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进,用随机变量ξ表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.
(1)求汽车在第3个路口首次停车的概率;
(2)求ξ的概率分布和数学期望.
能力提升练
题组一 二项分布的概率
1.(2021江苏南京高二期中,)在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中,计分规则如下(满分为10分):①每人可发球7次,每成功一次记1分;②若连续两次发球成功加0.5分,连续三次发球成功加1分,连续四次发球成功加1.5分,以此类推,连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23,且各次发球之间相互独立,则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )

A.2635B.2535
C.2636D.2536
2.(2021江苏苏州第十中学校高二期中,)某篮球运动员每次投篮投中的概率是34,每次投篮的结果相互独立,那么在他的10次投篮中,记最有可能投中的次数为m,则m的值为( )
A.5B.6
C.7D.8
3.()下表所示的是采取一项单独防疫措施感染COVID-19的概率统计表:
一次核酸检测的准确率为1-10p.某家有3人,若他们每个人只戴口罩,没有做到勤洗手也没有接种COVID-19疫苗,感染COVID-19的概率都为0.01.这3人的核酸检测结果以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的.若他们3人都落实了表中的三项防疫措施,而且共做了10次核酸检测,以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为依据,这10次核酸检测中,有X次结果为确诊,则X的数学期望为( )
×10-6×10-7
C.1.8×10-7D.2.2×10-7
题组二 二项分布的期望与方差
4.(2020江苏南京、盐城高三二模,)如图是一旅游景区供游客行走的路线图,假设从进口A开始到出口B,每遇到一个岔路口,每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩,他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩,并按箭头所指路线行走,最后到出口B集合,设点C是其中的一个交叉路口点.
(1)求甲经过点C的概率;
(2)设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C,求随机变量X的概率分布和数学期望.
5.(2021江西高三二模,)某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为p,假设每道题答对与否互不影响.
(1)当p=15时,
(i)若甲答对了某道题,求该题是甲自己答对的概率;
(ii)甲答了4道题,记甲答对题目的个数为随机变量X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X);
(2)乙答对每道题的概率为23(含亲友团),现甲、乙两人各答两个问题,若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536,求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
答案全解全析
第8章 概率
8.2.3 二项分布
基础过关练
1.C 由伯努利试验的概念知①②③正确,④错误.
2.C 由题意知,该同学连续测试3次,只有第3次通过的概率P=1-142×14=964.故选C.
3.答案 B
信息提取 ①“石头、剪刀、布”的游戏规则;②小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛;③小军和大明比赛至第四局小军胜出.
数学建模 以猜拳游戏为背景考查二项分布问题.先根据 “石头、剪刀、布”的游戏规则求出每局比赛中小军获胜的概率,根据比赛至第四局小军胜出可知前三局中小军胜两局,所以小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是C32132231×13.
解析 由题意得,每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局及小军输给大明的概率都为13,
若小军和大明进行五局三胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛,比赛至第四局小军胜出,则前三局中小军胜两局,第四局小军胜,
∴所求概率P=C32132231×13=227.
故选B.
4.解析 (1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,
则P(A1)=13×13×23=227.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为227.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=34×14×34+14×34×34=932,
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为932.
5.A 由二项分布的概率公式可得,P(X=3)=C63×123×123=516,故选A.
6.B 运动员甲获胜的次数记为X,则X~B5,23,则P(X=3)=C53233132=80243.
7.D 设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看,则ξ~B(4,0.2),
所以P(ξ≤2)=C40×0.84+C41×0.83×0.2+C42×0.82×0.22=0.972 8.故选D.
8.解析 (1)甲恰好通过两个项目测试的概率为C321221-121=38.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为
C321221-121+123=12,
所以可看作3次独立重复试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B3,12,
所以P(X=0)=1-123=18,
P(X=1)=C311211-122=38,
P(X=2)=C321221-121=38,
P(X=3)=123=18.
故X的概率分布为
9.A 由P(ξ=k)=Cnk23k13n-k,k=0,1,2,…,n,可得ξ~Bn,23,所以E(ξ)=23n=24,解得n=36,
所以D(ξ)=36×23×13=8,故选A.
10.B 设没有发芽的种子数为ξ,
则ξ~B(1 000,0.1),X=2ξ,
所以E(X)=2E(ξ)=2×1 000×0.1=200.
11.B ∵随机变量X~B(2,p),P(X≥1)=59,∴P(X=0)=1-P(X≥1)=C20(1-p)2=49,解得p=13或p=53(舍去),即X~B2,13,∴D(X)=np(1-p)=2×13×23=49.又∵随机变量X,Y满足Y=3X-1,∴D(Y)=9D(X)=4.
12.答案 83;329
解析 设这名学生在上学路上遇到红灯的次数为η,则ξ=2η,由题意知η~B4,13,所以E(η)=4×13=43,D(η)=4×13×23=89,所以E(ξ)=2E(η)=83,D(ξ)=4D(η)=329.
13.解析 (1)由题意得,甲通过初试的概率P1=C63C21C84+C64C84=1114,
乙通过初试的概率P2=C43343141+C44344=189256.
∵1114>189256,∴甲通过初试的可能性更大.
(2)设乙答对试题数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,34,
∴P(X=k)=C4k34k144-k(k=0,1,2,3,4),
易知Y=5X,
∴Y的概率分布为
E(Y)=5×4×34=15,
D(Y)=25×4×34×14=754.
14.解析 (1)由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯,在第3个路口遇到红灯,
∴汽车在第3个路口首次停车的概率P=34×34×14=964.
(2)设前往目的地途中遇到绿灯数为X,则X~B4,34,
易知ξ的可能取值为0,2,4,
则P(ξ=0)=P(X=2)=C42342142=54256=27128,
P(ξ=2)=P(X=1)+P(X=3)=C41341·143+C43343141=120256=1532,
P(ξ=4)=P(X=4)+P(X=0)=344+144=82256=41128,
∴ξ的概率分布为
E(ξ)=0×27128+2×1532+4×41128=7132.
能力提升练
1.B 该同学在测试中恰好得5分有两种情况:四次发球成功,其中前两次与后两次都因连续两次发球成功加0.5分,此时概率P1=C42234133=2536;四次发球成功,其中前三次或后三次因连续三次发球成功加1分,分为连续发球成功在7次发球中的首尾和不在首尾两类,此时概率P2=(C21C31+C31C21)234133=2636,故所求概率P=P1+P2=2536+2636=2535.故选B.
2.D 记在他的10次投篮中,投中的次数为X,则X~B10,34,且P(X=m)=C10m·34m·1410-m,m=0,1,2,…,10.
由P(X=m)≥P(X=m+1),P(X=m)≥P(X=m-1)得
C10m34m1410-m≥C10m+134m+1149-m,C10m34m1410-m≥C10m-134m-11411-m,
即C10m≥3C10m+1,3C10m≥C10m-1,
即10!m!×(10-m)!≥3×10!(m+1)!×(9-m)!,3×10!m!×(10-m)!≥10!(m-1)!×(11-m)!,
解得294≤m≤334,所以m=8,所以在他的10次投篮中,最有可能投中的次数为8,故选D.
3.B 由题意知p=0.01,一次核酸检测的准确率为1-10×0.01=0.9.一个人落实了题表中的三项防疫措施后,感染COVID-19的概率为145p(1-p)·p100=2.2×10-8,这个人再进行一次核酸检测,可知此人核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为2.2×10-8×0.9=1.98×10-8.因此X~B(10,1.98×10-8),∴E(X)=10×1.98×10-8=1.98×10-7,故选B.
4.解析 (1)设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M,甲选中间的路的概率为13,在前面从岔路到达点C的概率为12,这两个事件相互独立,所以选择从中间一条路走到C的概率P1=13×12=16.
同理,选择从最右边的道路走到点C的概率P2=13×12=16.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥,
所以P(M)=P1+P2=16+16=13.
所以甲从进口A开始到出口B经过点C的概率为13.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,则X~B4,13,
所以P(X=0)=C40×130×234=1681,
P(X=1)=C41×131×233=3281,
P(X=2)=C42×132×232=2481=827,
P(X=3)=C43×133×231=881,
P(X=4)=C44×134×230=181,
所以X的概率分布为
E(X)=4×13=43.
5.解析 (1)(i)记事件A为“甲答对了某道题”,事件B为“甲自己答对了某道题”,
则P(A)=12+12×15=35,P(AB)=12,
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1235=56.
(ii)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,由(i)知P(A)=35,
则X~B4,35,
所以P(X=k)=C4k35k254-k(k=0,1,2,3,4),
则随机变量X的概率分布为
E(X)=4×35=125.
(2)记事件Ai为“甲答对了i道题”,事件Bi为“乙答对了i道题”,i=0,1,2,
其中甲答对某道题的概率为12+12p=12(1+p),答错某道题的概率为1-12(1+p)=12(1-p),
则P(A1)=C21×12(1+p)×12(1-p)=12(1-p2),
P(A2)=12(1+p)2=14(1+p)2,
P(B0)=132=19,
P(B1)=C21×23×13=49,
所以甲答对题目的个数比乙多的概率P=P(A1B0∪A2B1∪A2B0)=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)=12(1-p2)·19+14(1+p)2·49+14(1+p)2·19=136(3p2+10p+7)≥1536,
所以23≤p<1,即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为23.
单独防疫
措施
戴口罩
勤洗手
接种COVID-19
疫苗
感染COVID-19
的概率
p
145(1-p)
p100
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18
Y
0
5
10
15
20
P
1256
364
27128
2764
81256
ξ
0
2
4
P
27128
1532
41128
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181
X
0
1
2
3
4
P
16625
96625
216625
216625
81625