高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第1课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第1课时导学案，共9页。学案主要包含了随机变量的概念，随机变量的分类，随机变量的取值等内容，欢迎下载使用。

第1课时 随机变量
学习目标 1.通过具体实例，了解随机变量的概念.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.能列出随机变量的取值所表示的事件．
导语
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．
一、随机变量的概念
问题1 下述现象有哪些共同特点？
①某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…，10中的某一个数；
②抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数；
③新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某个数．
提示 上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系．
知识梳理
1．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量．
2．表示方法：
(1)通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量．
(2)常用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
注意点：
随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
①取值依赖于样本点；②所有可能取值是明确的．
例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(3)体积为8 cm3的正方体的棱长．
解 (1)被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，因此是随机变量．
(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量．
反思感悟 随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
跟踪训练1 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
二、随机变量的分类
问题2 观察下列随机变量，其取值各有何特点？
(1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数；
(2)某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间．
提示 (1)随机变量的取值是离散的，可以一一列举出来；
(2)随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来．
知识梳理
随机变量可分为以下两类：
(1)离散型随机变量：取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量；
(2)连续型随机变量：取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量．
注意点：
变量离散与否与变量的选取有关：
比如：对树木高度问题，可定义如下离散型随机变量
ξ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，树高<2米，,1，树高≥2米.))
例2 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
反思感悟 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
跟踪训练2 下列随机变量中是离散型随机变量的有________，是连续型随机变量的有________．
(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(2)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(3)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
答案 (1) (2)(3)
解析 (1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，是连续型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量．
三、随机变量的取值
例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
解 (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5,6,7.
{X＝3}表示“取出标有1,2的两张卡片”；
{X＝4}表示“取出标有1,3的两张卡片”；
{X＝5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；
{X＝6}表示“取出标有2,4的两张卡片”；
{X＝7}表示“取出标有3,4的两张卡片”．
延伸探究
1．若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？ 其中Y＝2表示什么含义？
解 Y的所有可能取值有1,2,3.
{Y＝2}表示“取出标有1,3或2,4的两张卡片”．
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．
解 根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.
{X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”．
{X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出”．
{X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”．
{X＝7}表示“在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出”．
反思感悟 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________________，其中X＝4表示的试验结果有________种．
答案 3,4,5,6 3
解析 根据题意可知X的所有可能取值为3,4,5,6，其中{X＝4}表示“取得的一球编号为4，另两个球从1,2,3中选取”，有Ceq \\al(2,3)＝3(种)．
1．知识清单：
(1)随机变量的概念．
(2)随机变量的分类．
(3)用随机变量表示随机试验．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确．
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
答案 C
解析 选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．
2．掷均匀硬币一次，随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
答案 B
解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，X的取值是0,1.A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
答案 C
解析 ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
答案 17
解析 X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．
课时对点练
1．(多选)下列变量中，是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
答案 ACD
解析 B中水沸腾时的温度是一个确定的值，ACD为随机变量．
2．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
答案 B
解析 袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到的球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故A不正确；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.
3．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大值为( )
A．5 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 由于不能打开的钥匙会扔掉，故扔掉4把打不开的钥匙后，第5把钥匙就是能开锁的钥匙，故ξ的最大值为4，故选D.
4．(多选)抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>3”表示的试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
答案 AC
5．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．{X＝4} B．{X＝5} C．{X＝6} D．{X≤5}
答案 C
解析 因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，
所以X＝6.
6．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢两局
C．甲、乙平局两次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案 D
解析 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
7．下列随机变量中是离散型随机变量的是________，是连续型随机变量的是________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
答案 ①③④ ②
解析 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．
8．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这个同学回答这三个问题总得分ξ的所有可能取值是______________________．
答案 －300，－100,100,300
解析 ∵答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．
解 X的可能取值为0,1,2.
{X＝0}表示“在两天检查中均发现了次品”；
{X＝1}表示“在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品”；
{X＝2}表示“在两天检查中没有发现次品”．
10．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解 (1)
(2)由题意可得η＝5ξ＋6，
而ξ可能的取值为0,1,2,3，
所以η对应的各值是
5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量．
11．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是( )
A．6 B．7 C．10 D．25
答案 C
解析 列出X所有可能取值：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，共10个．故选C.
12．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )
A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈Z
C．1≤ξ≤6，ξ∈N* D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z
答案 D
解析 第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为－5.第一枚的最大值为6，第二枚的最小值为1，差为5.故ξ的取值范围是－5≤ξ≤5，故选D.
13．在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机变量X的最大值是( )
A．M B．n
C．min{M，n} D．max{M，n}
答案 C
解析 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机变量X的最大值是min{M，n}，故选C.
14．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
答案 24
解析 后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有Aeq \\al(3,4)＝24(个)．
15．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．则X的可能取值为________________．
答案 6,11,15,21,25,30
解析 X的可能取值为6,11,15,21,25,30.
其中，{X＝6}表示“抽到的是1元和5元”；
{X＝11}表示“抽到的是1元和10元”；
{X＝15}表示“抽到的是5元和10元”；
{X＝21}表示“抽到的是1元和20元”；
{X＝25}表示“抽到的是5元和20元”；
{X＝30}表示“抽到的是10元和20元”．
16．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果．
解 因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|y－x|≤2，所以0≤ξ≤3，
所以ξ可能的取值为0,1,2,3.
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为
{ξ＝0}表示“两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)”．
{ξ＝1}表示“(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)”．
{ξ＝2}表示“(1,2)，(3,2)”．
{ξ＝3}表示“(1,3)，(3,1)”．ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球