高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列精品综合训练题

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8．2 离散型随机变量及其分布列
【题型归纳目录】
题型一：利用定义求离散型随机变量的均值
题型二：离散型随机变量均值的性质
题型三：离散型随机变量均值的应用
题型四：求离散型随机变量的方差
题型五：方差的性质的应用
题型六：均值与方差的综合应用
题型七：n重伯努利试验的判断
题型八：n重伯努利试验概率的求法
题型九：二项分布的均值与方差
题型十：利用超几何分布的公式求概率
题型十一：超几何分布的分布列
题型十二：超几何分布的综合应用
【知识点梳理】
知识点一．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为



…

…




…

…

则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
知识点二．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么；
知识点三．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为．
一般地，下面的结论成立：．
知识点四．离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为



…

…




…

…

考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称
为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为．
知识点五．几个常见的结论
（1）．
（2）若服从两点分布，则．
知识点六．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点七．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列



…

…




…

…

由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点八．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．

0
1
…




…

2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
【方法技巧与总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
【典型例题】
题型一：利用定义求离散型随机变量的均值
【方法技巧与总结】
求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）．
例1．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（    ）
A．该游客至多游览一个景点的概率为 B．
C． D．

例2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（    ）
A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

题型二：离散型随机变量均值的性质
【方法技巧与总结】
离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量与的关系为为常数，一般思路是先求出，再利用公式求．也可以利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得．
例4．（2023·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P（X=0）=0．2，P（X=1）=0．6，P（X=2）=0．2，则=（    ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2

例5．（2023·北京·人大附中高二阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（    ）

1
2
3




A． B． C． D．

例6．（2023·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（    ）
A．或4 B．2 C．3 D．4

变式1．（2023·山西·晋中新大陆双语学校高二阶段练习）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X

0
1
P

a
b
则a，b的值分别为（    ）
A． B．
C． D．

题型三：离散型随机变量均值的应用
【方法技巧与总结】
解答实际问题时，（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应均值．
例7．（2023春·辽宁朝阳·高二统考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

(1)求样本容量是多少？第六小组的频数是多少？
(2)求a，b，c，d的值；
(3)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
（i）求在各组应该抽取的人数；
（ii）在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.




例8．（2023·贵州贵阳·高三统考期末）在2022年9月贵阳市疫情防控期间，某学校高一学生居家学习，为了解学生的自主学习状况，随机抽取了该年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）平均每天自主学习时间的数据（单位：分钟），并分组整理得到如下频率分布表：
组别
分组
频数
频率


4



10







8





(1)学校要进一步研究学生自主学习时间与学业成绩的相关性，在这5组内的40名学生中，用分层抽样的方法再选取20人进行对照研究，求从组中抽取的人数；
(2)若组中男生有3人，现从该组中随机抽取3人，以表示其中抽取男生的人数，求的分布列和数学期望；




例9．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.
(1)求小陈同学有机会答题的概率；
(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.




变式2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：

(1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.




变式3．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．
(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；
(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．




变式4．（2023·全国·高三专题练习）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望




题型四：求离散型随机变量的方差
【方法技巧与总结】
求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
（1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．
（2）已知分布列是两点分布：直接套用公式求解．
（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况．
例10．（2023·上海市奉贤中学高二期末）已知一个随机变量的分布为，且，则______．

例11．（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布如下表：


0
2
P
a
b

若随机变量的期望值，则______．

例12．（2023·全国·高二课时练习）某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差______．

题型五：方差的性质的应用
【方法技巧与总结】
求随机变量方差的方法
求随机变量的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式求解．
例13．（2023·全国·高二课时练习）对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．
①是反映随机变量的平均取值；        ②越小，说明X越集中于；
③；                ④．

例14．（2023·全国·高二课时练习）离散型随机变量X的分布为：

0
1
2
4
5






若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．

例15．（2023·四川眉山·高二期末（文））若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________．

变式5．（2023·山西·怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（文））某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的方差为________．

题型六：均值与方差的综合应用
【方法技巧与总结】
（1）均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．
（2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．
例16．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间．这两个班级各有40名学生，均提供了有效数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据，估计该校高三年级每天学习时间不超过4小时的学生人数；
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较的大小．（只需写出结论）




例17．（2023·河南·校联考模拟预测）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度（）
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4

序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度（）
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0
(1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差；
(2)若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差.
参考数据：.




例18．（2023·全国·高三专题练习）第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为，求的数学期望和方差．




变式6．（2023·全国·高二专题练习）为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在A区发球2次或者B区发球3次，球落到指定区域内才能得分．在A区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在B区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出．已知选手甲在A区和B区每次发球得分的概率分别为，．
(1)如果选手甲从在A区和B区发球得分的期望值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
(2)如果选手甲从在A区和B区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？




变式7．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）一兴趣小组为了解种的使用情况，在某社区随机抽取了人进行调查，得到使用这种的人数及每种的满意率，调查数据如下表：

第种
第种
第种
第种
第种
使用的人数





满意率





(1)从这人中随机抽取人，求此人使用第种的概率；
(2)根据调查数据，将使用人数超过的称为“优秀”.该兴趣小组从这种中随机选取种，记其中“优秀”的个数为，求的分布列及数学期望；
(3)假设每种被社区居民评价为满意的概率与表格中该种的满意率相等， 用“”表示居民对第种满意，“”表示居民对第种不满意.写出方差、、、、的大小关系.（只需写出结论）




题型七：n重伯努利试验的判断
【方法技巧与总结】
n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验的结果相互独立，互不影响．
例19．（2023·全国·高二专题练习）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是伯努利试验的是（       ）
A．① B．② C．③ D．④

例20．（多选题）（2023·全国·高二课时练习）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（       ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标

题型八：n重伯努利试验概率的求法
【方法技巧与总结】
n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
例21．（2023·全国·高二课时练习）在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（       ）
A．(0，0.6] B．[0.6，1)
C．[0.4，1) D．(0，0.4]

例22．（2023·全国·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是（       ）
A． B． C． D．

题型九：二项分布的均值与方差
【方法技巧与总结】
解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则，；若X服从二项分布，即，则，．
例23．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某平台为了解某地区不同年龄用户在该平台观看文娱新闻等的同时是否从平台上推荐的购物车购物的情况，在该地区随机抽取了200人进行调查，调查结果整理如下：
年龄段
20以下





70以上
购物人数
20
30
26
28
6
8
0
未曾购物人数
10
5
14
12
24
12
5
(1)从被抽取的年龄在的购物人群中，随机抽取3人进一步了解情况，求这3人年龄都在的概率；
(2)视频率为概率，用随机抽样的方法从该地区抽取40名市民进行调查，其中年龄在的人数为，试问当取何值时，最大？




例24．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.
(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.




例25．（2023·河南·统考模拟预测）某学校筹备成立足球社团,由于报名人数太多,需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取.规则如下:每人最多有四次机会,只要连续踢进2个点球,则停止踢球并予以录取;若已经确定不能连续踢进2个点球,则停止踢球且不予录取.下表是某同学六次训练数据,以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.
点球数
20
30
30
25
20
25
进球数
15
17
22
18
14
14
(1)求该同学被录取的概率;
(2)若该同学要进行“点球测试”,记他在测试中进球的个数为,求随机变量的期望.




变式8．（2023·江西赣州·统考一模）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在，两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从小区内随机抽取5个人，用表示赞成该小区推行方案的人数，求的分布列及数学期望．




变式9．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球.
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.




题型十：利用超几何分布的公式求概率
【方法技巧与总结】
超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.
例26．（2023·湖南·高二课时练习）50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

例27．（2023·全国·高二课时练习）在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.

例28．（2023·全国·高二课时练习）某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．

题型十一：超几何分布的分布列
【方法技巧与总结】
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
例29．（2023·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．

厨余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
厨余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．




例30．（2023·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.




题型十二：超几何分布的综合应用
【方法技巧与总结】
超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则.
例31．（2023·全国·高二专题练习）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
(1)求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
(2)设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
(3)某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．




例32．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．

组别
分组
频数
频率
第1组

14
0.14
第2组



第3组

36
0.36
第4组


0.16
第5组

4


合计


(1)求，，，的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．




例33．（2023·全国·高二专题练习）某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，．
(1)求该产品的次品率；
(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为，求随机变量的分布列与期望．




变式10．（2023·全国·高三专题练习）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.




变式11．（2023·江西上饶·统考一模）为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”．

(1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率；
(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在40-50分钟之间的学生数，求的分布列及期望．




变式12．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表

优秀
不优秀
总计
甲队
80
40
120
乙队
240
200
240
合计
320
240
560
附

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，）
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与学校有关系；
(2)采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的 名学生中抽取 名同学．现从这 名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这 名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望．




变式13．（2023·全国·高三专题练习）新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．

(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．




变式14．（2023·全国·高三专题练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．




变式15．（2023·全国·高二专题练习）袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为，求的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列和期望.




【同步练习】
一、单选题
1．（辽宁省农村重点高中协作体2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x

0
1
2
P
a
b
c

若，，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2023春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）在某个独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·北京·高三校考强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示，
X
0
1
2
P
a
b
c
若成等比数列，则的最大值为（    ）A． B． C． D．1
5．（2023·高一课时练习）某班40人一次外语测试的成绩如下表：
分数
72
73
75
76
78
80
83
87
91
人数
1
2
3
4
10
8
6
4
2
其中中位数为（    ）A．78 B．80 C．79 D．78和89
6．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为，乙队队进3球的概率为，则（    ）
A． B．
C． D．，大小关系无法确定
7．（2023春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X的分布列如下所示．
X
1
2
3
P
a
2b
a
则的最大值为（    ）A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量（且），最大时，（    ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
二、多选题
9．（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（    ）
A． B．
C． D．
10．（辽宁省农村重点高中协作体2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（    ）
X
1
2
3
4
P




A． B． C． D．
11．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当时，
12．（2023春·山西吕梁·高二校联考期中）设是一个离散型随机变量、其分布列为

0
1
2




若，则下列说法正确的是（    ）A．有最大值 B．有最大值
C．无最小值 D．无最小值
三、填空题
13．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．
14．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.

1
2
3
4
5

0.1

0.2
0.3
0.1
15．（2023春·重庆·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P


0.3
0.4
则______．
16．（2023·全国·高三专题练习）设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？




18．（2023·全国·高三专题练习）《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2020年植树节期间种植了一批树苗，2022年市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：

(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值；
(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望．




19．（2023·全国·高三专题练习）某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．

(1)求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；
(2)以频率估计概率， 现从学校所有学生中中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？




20．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
(1)若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
(2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．




21．（2023春·北京·高三北理工附中校考开学考试）为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量


频率
0.25
0.75

（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）
(1)以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．




22．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．