高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第2课时当堂检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第2课时当堂检测题，共13页。试卷主要包含了2　离散型随机变量及其分布列，已知随机变量X的概率分布如下表，已知随机变量ξ的概率分布如下表，4+3×0，故选C等内容，欢迎下载使用。

8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
基础过关练
题组一 离散型随机变量的方差与标准差
1.(2021江苏海头高级中学高二月考)已知随机变量X的概率分布如下表:
则X的方差D(X)的值为( )

A.56B.1736C.76D.1336
2.(2020广东实验中学南海学校高二下期中)已知随机变量X的概率分布如下表,则X的标准差为( )
B.3.2
C.3.2
3.(多选)(2021江苏无锡高二期末)随机变量ξ的概率分布如下表:
若E(ξ)=53,随机变量ξ的方差为D(ξ),则下列结论正确的有( )
A.a=12,b=13B.a=13,b=12
C.D(ξ)=59D.D(ξ)=1918
4.(2020山东临沂罗庄第一中学高二下期中)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )
A.2B.22C.12D.1
题组二 离散型随机变量的方差的性质
5.(多选)(2021江苏泰州中学高二期中)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,E(X)、D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4D.D(X)=49
6.(2021江苏常州前黄中学高二期中)已知随机变量ξ的概率分布如下表:
若D(ξ+1)=59,则E(ξ+1)=( )
A.23B.43
C.23或43D.-23或43
7.(2021浙江诸暨高二期末)设a>0,若随机变量ξ的概率分布如下表:
则下列方差中最大的是( )
A.D(ξ)B.D(|ξ|)
C.D(2ξ-1)D.D(2|ξ|+1)
题组三 均值与方差的简单应用
8.(多选)(2021江苏南通高三期中)已知A={1,2,3},B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则( )
A.P4=2P2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=4D.D(X)=43
9.袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中红球3个,白球2个,现每次从中不放回地取出一球,取到白球停止.
(1)求取球次数X的概率分布;
(2)求取球次数X的期望和方差.
能力提升练
题组一 离散型随机变量的方差
1.(多选)(2021江苏扬州高二期末,)已知随机变量ξ的概率分布如下表:
随机变量η的概率分布如下表:
则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是( )

A.E(ξ)=E(η)B.D(ξ)=D(η)
C.E(ξ)增大D.D(η)先增大后减小
2.()已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具,甲盒中有2只熊猫,1只狗,乙盒中有1只熊猫,2只狗.现从甲、乙两个盒中各不放回地任取两次,每次取走一个动物玩具,此时记甲盒中的熊猫只数为ξ1,乙盒中的熊猫只数为ξ2,则( )
A.E(ξ1)B.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
D.E(ξ1)题组二 均值与方差的综合应用
3.()如图,某工人的住所在A处,上班的企业在D处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15,12,14,13,16,此外再无别的路口会遇到红灯.
(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线?
(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.
4.()某民营企业计划投资引进新项目,项目一使用甲种机器生产A产品;项目二使用乙种机器生产B产品.甲种机器每台2万元,乙种机器每台1万元,当甲、乙两种机器出现故障时,它们每次的维修费用分别为2 500元/台和1 000元/台.该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数,得到频数分布表如下:
以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率.
(1)若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产,求一年内该企业维修费用的数学期望;
(2)该企业现有资金1 110万元,计划只投资一个项目,其中100万元用于购买机器,并根据机器维修费用的均值预留维修费用,将其余资金作为生产专用资金全部投入生产.
据统计:当投入项目一的生产专用资金为a万元时,生产A产品获利的概率是34,且一年获利310a万元;亏损的概率是14,且一年亏损110a万元.当投入项目二的生产专用资金为a万元时,生产B产品获利的概率是23,且一年获利25a万元;亏损的概率是13,且一年亏损15a万元.你认为该企业应投资哪个项目?请说明理由.
答案全解全析
第8章 概率
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.2 离散型随机变量的数字特征
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
基础过关练
1.B 由题知13+a+16=1,解得a=12,故E(X)=0×13+1×12+2×16=56,D(X)=0-562×13+1-562×12+2-562×16=1736,故选B.
2.D 易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,
∴E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
∴D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56,
∴X的标准差为D(X)=3.56.
故选D.
3.AC 由题意得a+b+16=1,53=a+2b+3×16,
解得a=12,b=13,则D(ξ)=1-532×12+2-532×13+3-532×16=59,故选AC.
4.D 由题意得X的可能取值为0,1,3,
P(X=0)=2A33=13,
P(X=1)=3A33=12,
P(X=3)=1A33=16,
∴E(X)=0×13+1×12+3×16=1,
∴D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×16=1.故选D.
5.AB 由题意得P(X=1)=23,E(X)=0×13+1×23=23,D(X)=0-232×13+1-232×23=29.
在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×23+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×29=2,故C错误;在D中,D(X)=29,故D错误.故选AB.
6.C 由题意得a+c=23,即c=23-a,所以E(ξ)=c-a=23-2a,所以D(ξ)=23-2a+12·a+23-2a-02·13+23-2a-12·23-a=-4a2+83a+29.由D(ξ+1)=D(ξ)=59,得-4a2+83a+29=59,解得a=12或a=16.
所以E(ξ+1)=E(ξ)+1=23-2a+1=23或43.
7.C 由分布列的性质可得a+2a+3a=1,解得a=16,所以E(ξ)=-1×16+0×13+2×12=56,E(|ξ|)=1×16+0×13+2×12=76,所以D(ξ)=-1-562×16+0-562×13+2-562×12=5336,
D(|ξ|)=1-762×16+0-762×13+2-762×12=2936,
所以D(2ξ-1)=4D(ξ)=539,
D(2|ξ|+1)=4D(|ξ|)=299,
所以方差中最大的是D(2ξ-1).故选C.
8.BCD 由题意得X的可能取值为2,3,4,5,6,从A、B中分别任取1个数,共有9种情况,则P(X=2)=19,P(X=3)=29,
P(X=4)=39=13,P(X=5)=29,
P(X=6)=19.
对于A,P4=3P2,故A不正确;对于B,P(3≤X≤5)=29+13+29=79,故B正确;对于C,E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×19=369=4,故C正确;对于D,D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×19=43,故D正确.
故选BCD.
9.解析 (1)由题设知,X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)=25,
P(X=2)=35×24=310,
P(X=3)=35×24×23=15,
P(X=4)=35×24×13=110,
则X的概率分布为
(2)由(1)得取球次数X的期望E(X)=1×25+2×310+3×15+4×110=2,
X的方差D(X)=(1-2)2×25+(2-2)2×310+(3-2)2×15+(4-2)2×110=1.
能力提升练
1.BC 对于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正确;对于C,∵E(ξ)=-12+12p,∴当p在(0,1)内增大时,E(ξ)增大,故C正确;对于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=-12-p22×12+12-p22×1-p2+32-p22×p2=-14(p-2)2+54,∴当p在(0,1)内增大时,D(η)单调递增,故D错误.故选BC.
2.B 根据题意可得ξ1=0,1,ξ2=0,1,
P(ξ1=0)=2×13×2=13,P(ξ1=1)=2×13×2×2=23,
所以ξ1的概率分布为
P(ξ2=0)=2×13×2×2=23,P(ξ2=1)=2×13×2=13,
所以ξ2的概率分布为
则E(ξ1)=0×13+1×23=23,
E(ξ2)=0×23+1×13=13,
D(ξ1)=0-232×13+1-232×23=29,
D(ξ2)=0-132×23+1-132×13=29,
所以E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2).
3.解析 (1)设这位工人选择行驶路线A—B—C—D、A—F—E—D、A—B—G—E—D时堵车的次数分别为X1、X2、X3,则X1、X2的可能取值均为0,1,2,X3的可能取值为0,1,2,3.
P(X1=0)=45×12=25,
P(X1=1)=15×12+45×12=12,
P(X1=2)=15×12=110,
所以E(X1)=0×25+1×12+2×110=710.
P(X2=0)=23×34=12,
P(X2=1)=13×34+23×14=512,
P(X2=2)=13×14=112,
所以E(X2)=0×12+1×512+2×112=712.
P(X3=0)=45×56×34=12,
P(X3=1)=15×56×34+45×16×34+45×56×14=47120,
P(X3=2)=45×16×14+15×56×14+15×16×34=110,
P(X3=3)=15×16×14=1120,
所以E(X3)=0×12+1×47120+2×110+3×1120=3760.
综上,E(X2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.
(2)由(1)知E(X2)=712,P(X2=0)=12,
P(X2=1)=512,P(X2=2)=112,
则D(X2)=0-7122×12+1-7122×512+2-7122×112=59144,
所以该条行驶路线堵车次数的方差为59144.
4.解析 (1)购买甲种机器台数为1002=50,
一台甲种机器一年需要维修一次的频率为160200=0.8,不需要维修的频率为40200=0.2.
设一年内该企业维修费用为X,则E(X)=50×0.8×2 500=100 000(元).
即一年内该企业维修费用的数学期望为10万元.
(2)若投资项目一,由(1)可知预留维修费用为10万元,故投入生产专用资金为1 000万元,
设一年的利润为ξ万元,则ξ的可能取值为300,-100,
且P(ξ=300)=34,P(ξ=-100)=14,
∴E(ξ)=300×34+(-100)×14=200.
若投资项目二,则购买机器100台,且一台乙机器一年需要维修一次的频率为160200=0.8,一年需要维修两次的频率为20200=0.1,
则需要预留的维修费用为1 000×100×0.8+1 000×100×0.1×2=100 000元=10万元.
故投入生产的专用资金为1 000万元,
设一年的利润为η万元,则η的可能取值为400,-200,
且P(η=400)=23,P(η=-200)=13,
∴E(η)=400×23+(-200)×13=200.
D(ξ)=(300-200)2×34+(-100-200)2×14=30 000,D(η)=(400-200)2×23+(-200-200)2×13=80 000.
故E(ξ)=E(η),D(ξ)∴投资两个项目的利润期望相等,但投资项目一风险更小,故选择投资项目一.
方法总结
利用均值和方差解决决策问题的步骤:1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,先计算均值,看一下谁的平均水平高.2.在均值相等的情况下计算方差,方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁更稳定,最后依据方差的几何意义下结论.
X
0
1
2
P
13
a
16
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
ξ
1
2
3
P
a
b
16
ξ
-1
0
1
P
a
13
c
ξ
-1
0
2
P
a
2a
3a
ξ
-1
0
1
P
12
1-p2
p2
η
1
2
3
P
12
1-p2
p2
维修次数
0
1
甲种机器台数
40
160
维修次数
0
1
2
乙种机器台数
20
160
20
X
1
2
3
4
P
25
310
15
110
ξ1
0
1
P
13
23
ξ2
0
1
P
23
13