高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差课后测评，共17页。试卷主要包含了2　离散型随机变量的方差，已知随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 离散型随机变量的方差与标准差
1.设投掷一枚骰子的点数为随机变量ξ,则Dξ=( )
A.72 B.494 C.3512 D.3516
2.(2020广东实验中学南海学校高二下期中)已知随机变量X的分布列如下表,则X的标准差为( )
B.3.2
C.3.2
3.(2020山东临沂罗庄第一中学高二下期中)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )
A.2 B.22
C.12 D.1
4.(多选题)已知离散型随机变量X的分布列如下表,则( )
A.P(X=0)=13 B.EX=-13
C.DX=2327 D.D(X2)=29
题组二 离散型随机变量的方差的性质
5.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下阶段检测)已知随机变量Y,X之间的关系为Y=2X+3,且DX=7,则DY=( )
A.7 B.17 C.28 D.63
6.(2020广东汕头高二期末)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=23,则E(3X+1)和D(3X+1)的值分别是( )
A.3和4 B.3和2 C.2和4 D.2和2
7.已知随机变量X的分布列为
则DX= ,D(2X-1)= .
题组三 均值、方差的综合应用
8.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1A.53 B.73 C.3 D.113
9.(2019山东枣庄高二下期末)已知随机变量X的分布列如下表,若EX=1,D(2X+1)=2,则p=( )
A.13 B.14 C.15 D.16
10.甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数(均为整数)为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列、数学期望与方差;
(2)比较甲、乙的射击技术.
能力提升练
题组 离散型随机变量的方差
1.(2020浙江丽水高二模拟,)已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若0A.Eξ增大,Dξ增大 B.Eξ减小,Dξ增大
C.Eξ减小,Dξ减小 D.Eξ增大,Dξ减小
2.(2020浙江台州高二月考,)设12

则当p在12,1内增大时,( )
A.E(ξ+η)减小,D(ξ+η)增大
B.E(ξ+η)减小,D(ξ+η)减小
C.E(ξ+η)增大,D(ξ+η)增大
D.E(ξ+η)增大,D(ξ+η)减小
3.(多选题)(2020河南顶级名校高三联考,)已知随机变量X的分布列如下表,则下列说法正确的是( )
A.存在x,y∈(0,1),EX>12
B.对任意x,y∈(0,1),EX≤12
C.对任意x,y∈(0,1),DX≤EX
D.存在x,y∈(0,1),DX>14
4.()如图,某工人的住所在A处,上班的企业在D处,开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线可供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F,中间路线经过路口G.如果开车到B,C,E,F,G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为15,12,14,13,16,此外再无别的路口会遇到红灯.
(1)为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线?
(2)对于(1)中所选择的路线,求其堵车次数的方差.
5.()为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有数额的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的数额之和为该顾客所获得的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的数额为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获得的奖励额为60元的概率;
②顾客所获得的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球由标有数额10元和50元的两种球组成,或由标有数额20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球所标的数额给出一个合适的设计,并说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.C ξ的可能取值为1,2,3,4,5,6,ξ的分布列为
∴Eξ=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=72,
Dξ=1-722×16+2-722×16+3-722×16+4-722×16+5-722×16+6-722×16=254+94+14+14+94+254×16=3512.
2.D 易知0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,
∴EX=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,
∴DX=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56,
∴X的标准差为DX=3.56.
故选D.
3.D 由题意得X的可能取值为0,1,3,
P(X=0)=2A33=13,
P(X=1)=3A33=12,
P(X=3)=1A33=16,
∴EX=0×13+1×12+3×16=1,
∴DX=(0-1)2×13+(1-1)2×12+(3-1)2×16=1.故选D.
4.ABD 由X的分布列可知P(X=0)=13,所以A正确;
根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得,EX=(-1)×12+0×13+1×16=-13,
所以DX=-1+132×12+0+132×13+1+132×16=59,所以B正确,C不正确;
因为P(X2=0)=13,P(X2=1)=23,所以E(X2)=23,所以D(X2)=0-232×13+1-232×23=29,所以D正确.
故选ABD.
5.C ∵Y=2X+3,DX=7,
∴DY=D(2X+3)=22DX=28.
故选C.
6.D ∵随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=23,∴P(X=1)=13,
∴EX=0×23+1×13=13,
DX=0-132×23+1-132×13=29,
∴E(3X+1)=3EX+1=3×13+1=2,
D(3X+1)=32DX=9×29=2,故选D.
7.答案 1.56;6.24
解析 EX=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8,
所以DX=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56,由方差的性质,得D(2X-1)=4DX=4×1.56=6.24.
8.C ∵EX=43,DX=29,
∴23x1+13x2=43,23x1-432+13x2-432=29,
解得x1=1,x2=2,或x1=53,x2=23(不合题意,舍去),
∴x1+x2=3.
9.B 由题意得,EX=0×12-p+a×12+2×p=1,∴a2+2p=1.①
由方差的性质知,D(2X+1)=4DX=2,∴DX=12,
∴DX=(0-1)2×12-p+(a-1)2×12+(2-1)2×p=12,即a2-2a+1=0,所以a=1.将a=1代入①式,得p=14.
故选B.
10.信息提取 ①甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数为两个相互独立的随机变量ξ,η;②甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2;③求分布列、期望、方差.
数学建模 本题以射击比赛为背景构建概率模型,先由分布列的性质求出a和乙射中7环的概率,再列出ξ,η的分布列,进而求期望与方差.
解析 (1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
(2)由(1)得
Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;
Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;
Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;
Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于Eξ>Eη,Dξ能力提升练
1.C ∵随机变量ξ满足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,
∴Eξ=0×13+1×x+223-x=43-x,
Dξ=0-43+x2·13+1-43+x2x+2-43+x2·23-x=-x2-13x+89=-x+162+1112.
若02.D 由题意得,Eξ=-23+13=-13,
Eη=p-1+p=2p-1,
Dξ=-1+132×23+1+132×13=89,
Dη=(-2p)2(1-p)+(2-2p)2p=4p-4p2,
故E(ξ+η)=2p-43,
D(ξ+η)=4p-4p2+89=-4p-122+179,
∴当p在12,1内增大时,E(ξ+η)增大,D(ξ+η)减小,故选D.
3.BC 依题意可得x+y=1,EX=2xy,
又2xy≤(x+y)22=12,
∴EX≤12,
当且仅当x=y=12时取等号,
∴A错误,B正确.
DX=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx,
∵0∴-1<2x-1<1,
∴0≤(2x-1)2<1,
∴DX∴C正确.
∵DX=(1-2x)2yx当且仅当x=y=12时取等号,∴D错误.
故选BC.
4.解析 (1)设这位工人选择行驶路线A—B—C—D、A—F—E—D、A—B—G—E—D时堵车的次数分别为X1、X2、X3,则X1、X2的可能取值均为0,1,2,X3的可能取值为0,1,2,3.
P(X1=0)=45×12=25,
P(X1=1)=15×12+45×12=12,
P(X1=2)=15×12=110,
所以EX1=0×25+1×12+2×110=710.
P(X2=0)=23×34=12,
P(X2=1)=13×34+23×14=512,
P(X2=2)=13×14=112,
所以EX2=0×12+1×512+2×112=712.
P(X3=0)=45×56×34=12,
P(X3=1)=15×56×34+45×16×34+45×56×14=47120,
P(X3=2)=45×16×14+15×56×14+15×16×34=110,
P(X3=3)=15×16×14=1120,
所以EX3=0×12+1×47120+2×110+3×1120=3760.
综上,EX2最小,所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.
(2)由(1)知EX2=712,P(X2=0)=12,
P(X2=1)=512,P(X2=2)=112,
则DX2=0-7122×12+1-7122×512+2-7122×112=59144,
所以该条行驶路线堵车次数的方差为59144.
5.解析 (1)设顾客所获得的奖励额为X元.
①依题意得,P(X=60)=C11C31C42=12,
即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.
②依题意得,X的所有可能取值为20,60.
P(X=60)=12,P(X=20)=C32C42=12,
即X的分布列为
所以顾客所获得的奖励额的数学期望EX=20×0.5+60×0.5=40(元).
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.
所以,先寻找期望为60元的可能方案.
对于由数额10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是数额之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是数额之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于由数额20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对两种方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获得的奖励额为X1元,则X1的分布列为
则EX1=20×16+60×23+100×16=60,
DX1=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获得的奖励额为X2元,则X2的分布列为
则EX2=40×16+60×23+80×16=60,
DX2=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
X
-1
0
1
P
12
13
16
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
X
0
a
2
P
12-p
12
p
ξ
-1
1
P
23
13
η
-1
1
P
1-p
p
X
x
y
P
y
x
ξ
1
2
3
4
5
6
P
16
16
16
16
16
16
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
X
20
60
P
0.5
0.5
X1
20
60
100
P
16
23
16
X2
40
60
80
P
16
23
16