人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课后测评

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基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020辽宁六校协作体高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.(2020浙江杭州七县区高二上联考)已知平面内的两点F1(-2,0),F2(2,0),则满足||MF1|-|MF2||=1的点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.一条线段 D.两条射线
3.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且|PF1|=3,则|PF2|=( 易错 )
A.5B.1C.3D.1或5
4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7B.6或14C.3D.7
5.(2021江苏泰州中学高二上学期检测)设F1、F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积是( )
A.1
题组二 双曲线的标准方程
6.(2020浙江温州高二上期末)双曲线x29-y216=1的实轴长为( )
A.3B.4C.6D.8
7.(2020山东德州高二上期末)已知双曲线的实轴长为2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为( )
A.x212-y24=1B.x24-y212=1
C.x2-y215=1D.y215-x2=1
8.已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.x24-y2=1B.x2-y24=1
C.x22-y23=1D.x23-y22=1
9.经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)的双曲线的标准方程是 .
10.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.
题组三 双曲线的综合运用
11.若椭圆x29+y2k2=1与双曲线x2k-y23=1有相同的焦点,则k的值为( )
A.3 B.1 C.2 D.4
12.已知方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
13.已知某双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为 .
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点,且不在x轴上,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=( )
A.随P点变化而变化 B.2 C.4 D.5
2.(2020广东东莞高二上期末教学质量检查,)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,F1P为半径的圆和以F2为圆心,F2P为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( )
A.27 B.6 C.8 D.10
3.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,) 设F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于 .
4.()已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,那么△ABF2的周长是 .
5.(2020天津一中高二上期末质量调查,)若F1,F2为双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=120°,则P到x轴的距离为 .
题组二 双曲线的标准方程及其应用
6.(2019河北邯郸一中高二期末,)如图,F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-7,0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为( )
A.5x27-5y228=1B.x26-y2=1
C.x2-y26=1D.5x228-5y27=1
7.()已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),P是双曲线上一点,且PF1·PF2=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .
8.()已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求M点到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.深度解析
题组三 双曲线的综合运用
9.()已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6B.8C.10D.12
10.()某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品,现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.

答案全解全析
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选A.
2.B 由题意得||MF1|-|MF2||=1,且|F1F2|=4,因为1<4,符合双曲线的定义,所以点M的轨迹是双曲线,故选B.
3.A 依题意得,a=1,b=3,因此c=10,
因为|PF1|=3∈(c-a,a+c),所以点P只可以在双曲线的左支上,
因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.
易错警示 利用双曲线的定义求焦半径长,要注意判断P点位置:已知F1、F2分别是左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|4.A 连接ON,PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,
∴|ON|=12|PF2|,
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.
5.A 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4,
|F1F2|=25,∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
∴|PF1|·|PF2|=2,
则△F1PF2的面积是12|PF1|·|PF2|=1,故选A.
6.C 由题得a=3,所以实轴长为6.故选C.
7.C 由题意得c=4,a=1,
∴b2=c2-a2=16-1=15.
∵双曲线的焦点分别为(-4,0)、(4,0),且焦点在x轴上,
∴双曲线的标准方程是x2-y215=1.故选C.
8.B 设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),易知c=5,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(5,4).将P(5,4)代入双曲线方程,得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.故选B.
9.答案 y225-x275=1
解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125,
故双曲线的标准方程为y225-x275=1.
10.解析 已知双曲线x216-y29=1,则c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
∵所求双曲线与双曲线x216-y29=1共焦点,∴b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.
∵点P-52,-6在所求双曲线上,
∴-522a2-(-6)225-a2=1,
化简得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=1254.
当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-254<0,不合题意,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.
11.C 易知k>0,双曲线x2k-y23=1的焦点为(±3+k,0),椭圆x29+y2k2=1的焦点为(±9-k2,0).由椭圆x29+y2k2=1与双曲线x2k-y23=1有相同的焦点,可得3+k=9-k2,又k>0,所以k=2.故选C.
12.A 由题意得(1+k)(1-k)>0,
所以(k-1)(k+1)<0,所以-1故选A.
13.答案 y24-x25=1
解析 由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),且c=3,则a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得此时交点的坐标为(15,4)或(-15,4),由交点在双曲线上知16a2-15b2=1,
联立a2+b2=9,16a2-15b2=1,得a2=4,b2=5,故所求双曲线的方程为y24-x25=1.
能力提升练
1.C 延长F2M交PF1于Q,由题意得PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又线段MO是△F1F2Q的中位线,所以|MO|=12|QF1|=4.
2.B 依题意得,a=4,b=3,c=a2+b2=5.
设点P在双曲线的右支上,如图所示,
过F2作F2D⊥AF1于点D.易得四边形ABF2D为矩形.
∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,
∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|
=|PF1|-|PF2|=2a=8.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴在Rt△F1DF2中,|F2D|=|F1F2|2-|F1D|2=102-82=6,
∴|AB|=|F2D|=6.
3.答案 12
解析 ∵F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,∴可设F1(-3,0),F2(3,0),
∴|F1F2|=6,
由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可设|PF2|=x(x>0),则|PF1|=2x.
由双曲线的定义知2x-x=25,解得x=25,
∴|PF1|=45,|PF2|=25,
∴cs∠F1PF2=16×5+4×5-362×45×25=45,
∴sin∠F1PF2=35.
∴△PF1F2的面积为12×45×25×35=12.
4.答案 26
解析 ∵|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
即|AF2|+|BF2|-|AB|=16.
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.答案 1515
解析 根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs 120°,
∴20=(|PF1|-|PF2|)2+3|PF1|·|PF2|=16+3|PF1|·|PF2|,
故|PF1|·|PF2|=43.
设P点到x轴的距离为d,
又S△PF1F2=12×2c×d=12|PF1|·|PF2|·sin 120°=33,∴d=1515.
6.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,
则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-y26=1.
7.答案 x24-y2=1
解析 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=25.
由双曲线的定义,知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a2.
由PF1·PF2=0知PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
又|PF1|·|PF2|=2,∴a2=4.
又c=5,∴b2=c2-a2=1,
∴双曲线的标准方程为x24-y2=1.
8.解析 (1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,
∵MF1·MF2=0,
∴MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线的定义,知m-n=2a=8,
又m2+n2=(2c)2=80,
∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80,
∴mn=8,
∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=255.
(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(32,2),
∴1816-λ-44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求双曲线C的方程为x212-y28=1.
解题模板 与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ-y2b2+λ=1(-b2<λ9.C 不妨设C1:x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
故选C.
10.信息提取 ①沿道路PA、PB运送药品到矩形灾民区ABCD中去;②PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°;③界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.
数学建模 以救援员运送救灾药品距离最短为背景建立双曲线模型.设M为界线上的任意一点.由|PA|+|MA|=|PB|+|MB|得|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,知点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上,利用双曲线的定义确定曲线及其方程.
解析 灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意,知界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|=1002+1502-2×100×150×cs60°=507>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).易知
a=25,c=257,所以b2=c2-a2=3 750.故双曲线的标准方程为x2625-y23 750=1.
故界线的曲线方程为x2625-y23 750=1(25≤x≤35,0≤y≤60).