2022届高考数学二轮专题测练-利用导数求函数的切线方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-利用导数求函数的切线方程，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线，则 k 的值为
A. 12B. −12C. 1eD. −1e

2. 已知函数 fx=ex−mx+1 的图象为曲线 C．若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线，则实数 m 的取值范围是
A. −∞,1eB. 1e,+∞C. 1e,eD. e,+∞

3. 若曲线 y=ax2 在 x=a 处的切线与直线 2x−y−1=0 平行，则 a=
A. −1B. 1C. −1 或 1D. −12 或 1

4. 曲线 y=x4+ax2+1 在点 −1,a+2 处的切线斜率为 8，则实数 a 的值为
A. −6B. 6C. 12D. −12

5. limΔx→01+Δx2−1Δx 表示
A. 曲线 y=x2 切线的斜率
B. 曲线 y=x2 在点 1,1 处切线的斜率
C. 曲线 y=−x2 切线的斜率
D. 曲线 y=−x2 在 1,−1 处切线的斜率

6. 函数 fx=x2 在点 P 处的切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为
A. 3,9B. −3,9C. 32,94D. −32,94

7. 函数 fx=x−1lnx−1 的图象在点 2,0 处的切线方程为
A. y=x−2B. y=2x−4C. y=−x+2D. y=−2x+4

8. 正弦曲线 y=sinx 上切线的斜率等于 12 的点为
A. π3,32
B. −π3,−32 或 π3,32
C. 2kπ+π3,32k∈Z
D. 2kπ+π3,32 或 2kπ−π3,−32k∈Z

9. 已知点 P 在曲线 y=4ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是
A. 3π4,πB. π4,π2C. π2,3π4D. 0,π4

10. 曲线 y=2sinx+csx 在点 π,−1 处的切线方程为
A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0
C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=0

11. 曲线 y=2sinx+csx 在点 π,−1 处的切线方程为
A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0
C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=0

12. fx=x2,x≤0lnx+1,x>0，对于 ∀x∈−1,+∞，均有 fx−1≤ax+1，则实数 a 的取值范围是
A. 1e2,+∞B. 1e,+∞C. 1,+∞D. 1e2,1e

13. 函数 fx=x4−2x3 的图象在点 1,f1 处的切线方程为
A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+1

14. 设函数 fx=x3+a−1x2+ax．若 fx 为奇函数，则曲线 y=fx 在点 0,0 处的切线方程为
A. y=−2xB. y=−xC. y=2xD. y=x

15. 已知函数 fx=14x2+csx 的图象在点 t,ft 处的切线的斜率为 k，则函数 k=gt 的大致图象是
A. B.
C. D.

16. 已知曲线 y=aex+xlnx 在点 1,ae 处的切线方程为 y=2x+b，则
A. a=e，b=−1B. a=e，b=1
C. a=e−1，b=1D. a=e−1，b=−1

17. 已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C:x2a2−y2b2=1b>a>0 上有一点 P5,mm>0，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是
A. x2−y24=1B. x22−y23=1C. x2−y26=1D. x232−y272=1

18. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线平行于直线 l2:x+2y+5=0，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为
A. x220−y25=1B. x25−y220=1C. 3x225−3y2100=1D. 3x2100−3y225=1

19. 已知函数 fx=k+4klnx+4−x2x，k∈4,+∞，曲线 y=fx 上总存在两点 Mx1,y1，Nx2,y2，使曲线 y=fx 在 M，N 两点处的切线互相平行，则 x1+x2 的取值范围为
A. 85,+∞B. 165,+∞C. 85,+∞D. 165,+∞

20. 已知函数 fx=k＋4klnx＋4−x2x，k∈4,+∞，曲线 y=fx 上总存在两点 Mx1,y1，Nx2,y2，使曲线 y=fx 在 M，N 两点处的切线互相平行，则 x1+x2 的取值范围为
A. 85,+∞B. 165,+∞C. 85,+∞D. 165,+∞

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y=x+4x（x>0）上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是 ．

22. 若曲线 y=ax2−lnx 在点 1,a 处的切线平行于 x 轴，则 a= ．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 −e,−1（e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ．

24. 设直线 y=−3x+m 是曲线 y=x3−3x2+3 的一条切线，则实数 m 的值是 ．

25. 已知点 Mm,m−12 和点 Nn,n−12m≠n，若线段 MN 上的任意一点 P 都满足：经过点 P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线 C:y=12x2+x−1≤x≤3 相切，则 ∣m−n∣ 的最大值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 求证双曲线 y=1x 上任意一点 P 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．

27. 已知函数 y=xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程．

28. 已知曲线 fx=xlnx 在点 e,fe 处的切线与曲线 y=x2+a 相切，求实数 a 的值．

29. 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点，求点 P 到直线 y=x 的最小距离．

30. 已知函数 fx=lnx−ax+1a∈R．
（1）若函数 hx=fx+ax+2x 的图象与函数 gx=1 的图象在区间 0,e2 上有公共点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 a>1，且 a∈N*，曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线 l 与 x 轴，y 轴的交点坐标为 Ax0,0，B0,y0，当 1x02+1y02 取得最小值时，求切线 l 的方程．
答案
第一部分
1. C【解析】因为 yʹ=1x=k，所以 x=1k，所以切点坐标为 1k,1．
又切点在曲线 y=lnx 上，所以 ln1k=1，所以 1k=e，k=1e．
2. B【解析】曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线，即方程 f′x=−1e 有解，即 ex−m=−1e 有解，即 m=ex+1e 有解，故只要 m>1e 即可．
3. A【解析】yʹ=2ax，于是切线的斜率 k=yʹ∣x=a=2a2，
因为切线与直线 2x−y−1=0 平行，
所以 2a2=2，
所以 a=±1
a=1 时，y=x2，切点是 1,1，
切线的斜率 k=2，
故切线方程是：y−1=2x−1，
即 2x−y−1=0 和直线 2x−y−1=0 重合，
故 a=−1．
4. A【解析】由 y=x4+ax2+1，得 yʹ=4x3+2ax，
则曲线 y=x4+ax2+1 在点 −1,a+2 处的切线斜率为 −4−2a=8，得 a=−6．
5. B
【解析】根据导数的概念，limΔx→01+Δx2−1Δx=limΔx→0f1+Δx−f1Δx，
可知 limΔx→01+Δx2−1Δx 表示 y=fx=x2 在 x=1 处的导数，
由导数的几何意义可知，其表示曲线 y=x2 在点 1,1 处的切线的斜率．
6. C
7. A【解析】因为函数 fx=x−1lnx−1，
所以 fʹx=lnx−1+1，
所以 fʹ2=ln1+1=1，
所以函数 fx 在点 2,0 的切线方程为 y=x−2．
8. D【解析】设斜率等于 12 的切线与曲线的切点为 Px0,y0．
因为 yʹx=x0=csx0=12，
所以 x0=2kπ+π3 或 x0=2kπ−π3k∈Z，
所以 y0=32 或 y0=−32．
9. A【解析】求导可得 yʹ=−4ex+e−x+2，
因为 ex+e−x+2≥2ex⋅e−x+2=4，
当且仅当 x=0 时，等号成立，
所以 yʹ∈−1,0，得 tanα∈−1,0，
又 α∈0,π，
所以 3π4≤α0，
对于 ∀x∈−1,+∞，则 fx−1=x2−1,−1≤x≤0lnx+1−1,x>0，
在坐标系中，画出函数 y=fx−1 与 y=ax+1 的图象，如图：
对于 ∀x∈−1,+∞，均有 fx−1≤ax+1，
就是函数 y=ax+1 的图象都在 y=fx−1 图象的上方，
则 y=lnx+1−1 可得 yʹ=1x+1x>0，设切点坐标 m,n，
可得 1m+1=nm+1，可得 n=1，此时 lnm+1−1=1，解得 m=e2−1，
所以切线的斜率为：1e2−1+1=1e2．
可得 a≥1e2．
13. B【解析】由 fx=x4−2x3，得 fʹx=4x3−6x2，
所以 fʹ1=4−6=−2，
又 f1=1−2=−1，
所以函数 fx=x4−2x3 的图象在点 1,f1 处的切线方程为 y−−1=−2x−1，
即 y=−2x+1．
14. D
15. A
【解析】由于 fx=14x2+csx，所以 fʹx=12x−sinx，
又 fʹ−x=−fʹx，故 fʹx 为奇函数，即 gt 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D，
又当 t=π2 时，gπ2=π4−sinπ2=π4−10，且 x1≠x2）．
即有 k+4kx1−4x12−1=k+4kx2−4x22−1，
化为 4x1+x2=k+4kx1x2，而 x1x20，对 k∈4,+∞ 恒成立，
即 gk 在 4,+∞ 递增，所以 gk≥g4=5，所以 16k+4k≤165，
所以 x1+x2>165，即 x1+x2 的取值范围是 165,+∞．
20. B
【解析】由题得 fʹx=k+4kx−4x2−1=−x2−k+4kx+4x2=−x−kx−4kx2x>0,k>0．
由题意，可得 fʹx1=fʹx2（x1,x2>0，且 x1≠x2），
即 k+4kx1−4x12−1=k+4kx2−4x22−1，
化简得 4x1+x2=k+4kx1x2，
而 x1x20 对 k∈4,+∞ 恒成立，
所以 gk≥g4=5，所以 16k+4k≤165，
所以 x1+x2>165，故 x1+x2 的取值范围为 165,+∞．
第二部分
21. 4
【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线 y=x+4x 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 x+y=0 的距离最小．
由 yʹ=1−4x2=−1，得 x=2（−2 舍），y=32，
即切点 Q2,32，
则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为 2+3212+12=4．
22. 12
【解析】因为 yʹ=2ax−1x，所以 yʹ∣x=1=2a−1．因为曲线在点 1,a 处的切线平行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a−1=0，a=12．
23. e,1
【解析】设 Am,n，则曲线 y=lnx 在点 A 处的切线方程为 y−n=1mx−m．
又切线过点 −e,−1，
所以有 n+1=1mm+e．
再由 n=lnm，解得 m=e，n=1．
故点 A 的坐标为 e,1．
24. 4
【解析】因为 y=x3−3x2+3，所以 yʹ=3x2−6x，
因为直线 y=−3x+m 是曲线 y=x3−3x2+3 的一条切线，
所以 k=3x2−6x=−3，解得 x=1，即切点的横坐标为 1，
代入曲线方程得切点坐标 1,1，
因为切点 1,1 在切线上，所以 1=−3×1+m，
解得 m=4，所以实数 m 的值为 4．
25. 43
【解析】由对称性不妨设 mx−12，
所以点 P 必定不在曲线 C 上，
不妨设 Pt,t−12m≤t≤n，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Qx0,12x02+x0，
易知 yʹ∣x=x0=kPQ，即 x0+1=12x02+x0−t−12x0−t，
整理得 x02−2tx0−1=0．
（法一）显然 x0≠0，
所以 2t=x0−1x0，
令 fx=x−1x，x∈−1,0∪0,3，
如图，直线 y=2t 和函数 y=fx 的图象有两个交点，
又 f−1=0，且 f3=83，
所以 0≤2t≤83，即 0≤t≤43，
所以 0≤m