2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的图象与性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-利用导数研究函数的图象与性质，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 fx=12x2−csx，fʹx 为 fx 的导函数，则 fʹx 的图象是
A. B.
C. D.

2. fʹx 是函数 y=fx 的导函数，y=fʹx 的图象如图所示，则 y=fx 的图象最有可能是
A. B.
C. D.

3. 若函数的导函数图象如图所示，则该函数的图象大致是
A. B.
C. D.

4. 如图所示为函数 y=fx，y=gx 的导函数的图象，那么 y=fx，y=gx 的图象可能是
A. B.
C. D.

5. 已知函数 y=fx 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f′x 的图象如图所示，则该函数的图象是
A. B.
C. D.

6. 设函数 fx 在定义域内可导，y=fx 的图象如图所示，则导函数 y=fʹx 的图象为
A. B.
C. D.

7. 已知直线 y=kx+1k>0 与函数 y=sinx 的图象恰有四个公共点 Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，Dx4,y4 其中 x1A. sinx4=1B. sinx4=x4+1csx4
C. sinx4=kcsx4D. sinx4=x4+1tanx4

8. 已知函数 y=x3−3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c=
A. −2 或 2B. −9 或 3C. −1 或 1D. −3 或 1

9. 设函数 fx=ax2+bx+ca,b,c∈R，若 x=−1 为函数 y=fx⋅ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=fx 的图象是
A. B.
C. D.

10. 已知函数 fx 的定义域为 −1,5，部分对应值如表．fx 的导函数 y=fʹx 的图象如图所示．
x−1045fx1221
下列关于函数 fx 的命题：
①函数 y=fx 是周期函数；
②函数 fx 在 0,2 上是减函数；
③如果当 x∈−1,t 时，fx 的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；
④当 1其中真命题的个数有
A. 4B. 3C. 2D. 1

11. 如图，点 A2,1，B3,0，Ex,0x≥0，过点 E 作 OB 的垂线 l．记 △AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S=fx 的图象为下图中的
A. B.
C. D.

12. 关于函数 fx=sinx−xcsx，下列说法错误的是
A. fx 是奇函数
B. 0 不是 fx 的极值点
C. fx 在 −π2,π2 上有且仅有 3 个零点
D. fx 的值域是 R

13. 函数 fx=x−csx 在 0,+∞ 内
A. 没有零点B. 有且仅有一个零点
C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点

14. 若函数 fx=14x4+12ax2+bx+d 的导函数有三个零点，分别为 x1，x2，x3，且满足：x1<−2，x2=2，x3>2，则实数 a 的取值范围是
A. −∞,−1B. −∞,−3
C. −7,+∞D. −∞,−12

15. 函数 y=ex2x−1 的大致图象是
A. B.
C. D.

16. 设函数 fx=x3−4x+a0A. x1>−1B. x2<0C. x3>2D. 0
17. 设函数 fx=3−xex−tx+5t，t∈R，若存在唯一的整数 x0，使得 fx0>0，则实数 t 的取值范围为
A. −e23,−e2B. −e23,−e2C. −e23,e2D. −e23,e2

18. 已知 fx=e2x+ex+2−2e4，gx=x2−3aex，A=xfx=0，B=xgx=0，若存在 x1∈A，x2∈B，使得 ∣x1−x2∣<1，则实数 a 的取值范围为
A. 1e,4e2B. 13e,43e2C. 13e,83e2D. 13e,8e2

19. 若函数 fx=x−x−alnx 在区间 1,+∞ 上存在零点，则实数 a 的取值范围为
A. 0,12B. 12,eC. 0,+∞D. 12,+∞

20. 已知函数 fx=x2exx∈R，若关于 x 的方程 f2x−12mfx+12m−1−0 恰好有 4 个不相等的实根，则 m 的取值范围是
A. 1,8e2+1B. 2,4e2+2C. 1,4e2+1D. 2,8e2+2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知函数 fx=lg2x−1,x>1x3−3x+1,x≤1，则函数 fx 的零点个数为 ．

22. 已知函数 y=fx 的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数 y=fx 在 x= 处取得极值．

23. 函数 fx=x+2−1,x≤0lnx−x2+2x,x>0 的零点的个数是 ．

24. 若函数 fx=x2−mcsx+m2+3m−8 有唯一零点，则满足条件的实数 m 组成的集合为 ．

25. 设函数 fx 满足 fx=f3x，且当 x∈1,3 时，fx=lnx．若在区间 1,9 内，存在 3 个不同的实数 x1，x2，x3，使得 fx1x1=fx2x2=fx3x3=t，则实数 t 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知函数 fx=x3−92x2+6x−3．
（1）在所给的坐标系中画出函数 fx 在区间 0,3 的图象；
（2）若直线 y=6x+b 是 曲线 y=fx 的一条切线，求 b 的值．

27. 已知函数 fx=lnx+1x．
（1）求函数 fx 的单调区间；
（2）设函数 gx=x+1lnx−x+1，证明：当 x>0 且 x≠1 时，x−1 与 gx 同号．

28. 已知函数 fx=12e2x−a+1ex+ax．
（1）讨论 fx 的单调性．
（2）若 fx 有两个零点，求 a 的取值范围．

29. 已知函数 fx=3x2+2x−a2−2a，gx=196x−13，若对任意 x1∈−1,1，总存在 x2∈0,2，使得 fx1=gx2 成立，求实数 a 的取值范围．

30. 设函数 fx=lnx+aex，gx=axex0（1）若 y=fx 在 x=1 处的切线平行于直线 y=2x，求实数 a 的值．
（2）设函数 hx=fx−gx，判断 y=hx 的零点的个数．
（3）设 x1 是 hx 的极值点，x2 是 hx 的一个零点，且 x12．
答案
第一部分
1. A【解析】依题意 fʹx=x+sinx，令 hx=x+sinx，
则 hʹx=1+csx，
由于 fʹ0=0，故排除C选项．
由于 hʹ0=1+1=2>0，故 fʹx 在 x=0 处导数大于零，故排除B，D选项．故本小题选A．
2. C
3. A
4. D【解析】由 y=fʹx 的图象知，y=fʹx 在 0,+∞ 上单调递减，说明函数 y=fx 的切线的斜率在 0,+∞ 上也单调递减，故可排除A，C．
又由图象知 y=fʹx 与 y=gʹx 的图象在 x=x0 处相交，说明 y=fx 与 y=gx 的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同，故可排除B．
5. B
【解析】由 y=f′x 的图象是先上升后下降可知，
函数 y=fx 图象的切线的斜率先增大后减小，
故选B．
6. C【解析】由图可知，函数 fx 在 −∞,0 上单调递减，所以 y=fʹx<0 在 −∞,0 上恒成立，排除选项B和D；
函数 fx 在 0,+∞ 上先递减后递增再递减，所以 y=fʹx 在 0,+∞ 上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确．
7. B【解析】因为直线 y=kx+1k>0 与函数 y=sinx 的图象恰有四个公共点，如图：
当 x∈π,2π 时，函数 y=sinx=−sinx，yʹ=−csx，
依题意，切点坐标为 x4,y4，
又切点处的导数值就是直线 y=kx+1k>0 的斜率 k，即 k=−csx4，
所以 y4=kx4+1=−csx4x4+1=sinx4=−sinx4，
所以 sinx4=x4+1csx4．
8. A【解析】记 fx=x3−3x+c，则有 fʹx=3x2−3．当 x<−1 或 x>1 时，fʹx>0；当 −19. D【解析】设 hx=fx⋅ex，则 hxʹ=ax2+2a+bx+b+cex，
由 x=−1 为函数 y=fx⋅ex 的一个极值点，代入上式，
可得 a=c，
所以 fx=ax2+bx+a，若 fx=0 有两个零点 x1,x2，
那么 x1⋅x2=aa=1，D 中的图象一定不满足
10. D
【解析】依题意得，函数 fx 不可能是周期函数，因此①不正确；当 x∈0,2 时，fʹx<0，因此函数 fx 在 0,2 上是减函数，②正确；当 x∈−1,t 时，fx 的最大值是 2，依题意，结合函数 fx 的可能图象形状分析可知，此时 t 的最大值是 5，因此③不正确；注意到 f2 的值不明确，结合图形分析可知，将函数 fx 的图象向下平移 a111. D【解析】函数的定义域为 0,+∞，当 x∈0,2 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越大，即斜率 fʹx 在 0,2 内大于 0 且越来越大，因此，函数 S=fx 的图象是上升的且图象是下凸的；
当 x∈2,3 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 大于 0 且越来越小，即斜率 fʹx 在 2,3 内大于 0 且越来越小，因此，函数 S=fx 的图象是上升的且图象是上凸的；
当 x∈3,+∞ 时，在单位长度变化量 Δx 内面积变化量 ΔS 为 0，即斜率 fʹx 在 3,+∞ 内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x 轴的射线．
12. C【解析】A．f−x=sin−x−−xcs−x=−sinx+xcsx=−fx，即 fx 为奇函数，故A正确；
B．fʹx=csx−csx−xsinx=xsinx，fʹ0=0，
当 x∈−π2,0 时，fʹx>0，所以 fx 在 −π2,0 单调递增，
当 x∈0,π2 时，fʹx>0，所以 fx 在 0,π2 单调递增，
所以 x=0 不是极值点，故B正确；
C．fʹx=xsinx，当 x∈−π2,π2 时，fʹx≥0，fx 在区间 −π2,π2 上单调递增，
又因为 f0=0，所以 fx 在区间 −π2,π2 上只存在一个零点，故C错；
D．fx 在 R 上连续，当 x=2kπk∈Z 时，f2kπ=sin2kπ−2kπcs2kπ=−2kπ，
所以 fx 的值域为 R，故D正确．
13. B【解析】当 x∈0,1 时，因为 fʹx=12x+sinx，x>0，sinx>0，
所以 fʹx>0，故 fx 在 0,1 上单调递增，
且 f0=−1<0，f1=1−cs1>0，所以 fx 在 0,1 内有唯一零点．
当 x>1 时，fx=x−csx>0，故函数 fx 在 0,+∞ 上有且仅有一个零点．
14. D
15. A
【解析】yʹ=ex2x−1+2ex=ex2x+1，
令 yʹ=0 得 x=−12，
所以当 x<−12 时，yʹ<0，
当 x>−12 时，yʹ>0，
所以 y=ex2x−1 在 −∞,−12 上单调递减，在 −12,+∞ 上单调递增，
因为当 x=0 时，y=e00−1=−1，
所以函数图象与 y 轴交于点 0,−1；
令 y=ex2x−1=0 得 x=12，
所以 fx 只有 1 个零点 x=12，
当 x<12 时，y=ex2x−1<0，
当 x>12 时，y=ex2x−1>0，
综上，函数图象为 A．
16. D【解析】fʹx=3x2−4，令 fʹx=0 得 x=−233 或 x=233，
所以 fx 在 −∞,−233 上单调递增，在 −233,233 上单调递减，在 233,+∞ 上单调递增．
所以 fx 在 −∞,−233，−233,233，233,+∞ 上各有一个零点．
所以 x1<−233<−1，故A错误；
因为 f−233>0，f0=a>0，f1=−3+a<0，f233<0，
所以 0因为 f2=a>0，
所以 x3<2，故C错误．
17. A【解析】设 gx=3−xex，hx=tx−5，函数 fx=3−xex−tx+5t，t∈R．
若存在唯一的整数 x0，使得 fx0>0，等价于 gx>hx 有唯一整数，
即在唯一的整数 x0，使得 gx0>hx0，
gʹx=2−xex，
由 gʹx>0，得 x<2，
由 gx<0，得 x>2，
所以 gx 在 −∞,2 上递增，在 2,+∞ 上递减，
因为只有一个整数 x0，gx0>hx0，
所以 g2>h2,g1≤h1,g3≤h3⇒e2>−3t,2e≤−4t,0≤−5t, 得 −e23即实数 t 的取值范围为 −e23,−e2．
18. B【解析】令 fx=e2x+ex+2−2e4=0，解得 ex=e2或−2e2（舍），
所以 x=2．
即 A=xfx=0=2．
若存在 x1∈A，x2∈B，使得 ∣x1−x2∣<1，即 ∣2−x2∣<1，得 x2∈1,3．
即 gx=x2−3aex=0 在 1,3 上有解，等价于 a=x23ex 在 1,3 上有解．
令 hx=x23ex，x∈1,3，hʹx=x2−x3ex．
当 x∈1,2 时，hʹx>0，hx 单调递增；
当 x∈2,3 时，hʹx<0，hx 单调递减．
h1=13e，h2=43e2，h3=3e3>h1．
所以 hx∈13e,43e2，即有：a 的取值范围为 13e,43e2．
19. D【解析】因为函数 fx=x−x−alnx，
所以 fʹx=1−12x−ax=2x−x−2a2x，
令 gx=2x−x−2a，
因为 gʹx=2−12x=4x−12x，
当 x∈1,+∞ 时，4x−1>0，2x>0，
所以 gʹx>0，
所以 gx 在 1,+∞ 上为增函数，则 gx>g1=1−2a，
当 1−2a≥0 时，gx>0，
所以 fʹx>0，
所以 fx 在 1,+∞ 上为增函数，则 fx>f1=0，
所以 fx 在 1,+∞ 上没有零点．
当 1−2a<0 时，即 a>12，
因为 gx 在 1,+∞ 上为增函数，则存在唯一的 x0∈1,+∞，使得 gx0=0，且当 x∈1,x0 时，gx<0，当 x∈x0,+∞ 时，gx>0；
所以当 x∈1,x0 时，fʹx<0，fx 为减函数，当 x∈x0,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数，当 x=x0 时，fminx=fx0，
因为 fx0所以在 x∈x0,+∞ 内，fx 一定存在一个零点，
所以 a∈12,+∞．
20. D
【解析】函数 fx=x2ex 的导数为 fʹx=2x−x2ex，
当 00,fx 递增；
当 x>2 或 x<0 时，fʹx<0，fx 递减，
可得 fx 在 x=0 处取得极小值 0，在 x=2 取得极大值 4e2<1，
作出 y=fx 的图象，
设 t=fx，关于 x 的方程 f2x−12mfx+12m−1=0，即为 t2−12mt+12m−1=0，
解得 t=1 或 t=12m−1，
当 t=1 时，fx=1 有 1 个实根；
由题意可得当 t=12m−1∈0,4e2，
方程恰好共有 4 个不相等的实根，解得 2第二部分
21. 3
22. −1
23. 4
【解析】当 x>0 时，fx=lnx−x2+2x，fʹx=1x−2x+2=−2x2+2x+1x，
令 fʹx=0 可得 fʹx=−2x2+2x+1=0，
fʹ0=1，fʹ2=−3<0，说明导函数有两个零点，
函数的 f1=1>0，f3<0，可得 x>0 时，函数的零点有 2 个．
x<0 时，函数的图象如图：
可知函数的零点有 4 个．
24. 2
25. ln39,13e
【解析】因为 fx=f3x，所以 fx=fx3，当 x∈3,9 时，x3∈1,3，所以 fx=lnx3，在直角坐标系内作出函数 fx 的图象（图略），而 fxx 表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．
图象上的点 9,ln3 与原点的连线的斜率为 ln39；当过原点的直线与曲线 fx=lnx3，x∈3,9 相切时，斜率为 13e（利用导数解决）．
所以由图可知，满足题意得实数 t 的取值范围为 ln39,13e．
第三部分
26. （1） fx 的图象如图所示，在图上正确标出 f0=−3，f3=32，f1=−12，f2=−1，
图上表明 f1 是极大值，f2 是极小值．
（2） 因为 fʹx=3x2−3x+2，直线 y=6x+b 是 fx 的切线，设切点为 x0,fx0，则 fʹx0=3x02−3x0+2=6，解得 x0=0 或 x0=3．
当 x0=0 时，fx0=−3，代入直线方程得 b=−3；
当 x0=3 时，fx0=32，代入直线方程得 b=−332．
27. （1） 函数 fx 的定义域是 0,+∞，
又 fʹx=1x−1x2=x−1x2，
令 fʹx=0，得 x=1，
当 x 变化时，fʹx 与 fx 的变化情况如下表，
x0,111,+∞fʹx−0+fx↘↗
所以 fx 的单调递增区间是 1,+∞，单调递减区间是 0,1．
（2） 函数 gx 的定义域是 0,+∞，
又 gʹx=lnx+x+1x−1=lnx+1x=fx，
由（1）可知，fxmin=f1=1，
所以当 x>0 时，gʹx>0，
所以 gx 在区间 0,+∞ 上单调递增．
因为 g1=0，所以当 x>1 时，
gx>g1=0 且 x−1>0；
当 0 gx所以当 x>0 且 x≠1 时，x−1 与 gx 同号．
28. （1） fʹx=e2x−a+1ex+a=ex−1ex−a，
（i）若 a≤0，
当 x∈−∞,0 时，fʹx<0，fx 为减函数；
当 x∈0,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 a>0 时，令 fʹx=0，则 x1=0，x2=lna．
（ii）若 a=1，x1=x2，fʹx≥0 恒成立，
fx 在 −∞,+∞ 上为增函数．
（iii）若 0x2，
当 x∈−∞,lna 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 x∈lna,0 时，fʹx<0，fx 为减函数；
当 x∈0,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数；
（iv）若 a>1，x1当 x∈−∞,0 时，fʹx>0，fx 为增函数；
当 x∈0,lna 时，fʹx<0，fx 为减函数；
当 x∈lna,+∞ 时，fʹx>0，fx 为增函数；
综上所述：当 a≤0 时，fx 在 −∞,0 上为减函数，
fx 在 0,+∞ 上为增函数；
当 a=1 时，fx 在 −∞,+∞ 上为增函数；
当 0 fx 在 lna,0 上为减函数，
fx 在 0,+∞ 上为增函数；
当 a>1 时，fx 在 −∞,0 上为增函数，
fx 在 0,lna 上为减函数，
fx 在 lna,+∞ 上为增函数．
（2） （i）当 a=0 时，fx=12e2x−ex=ex12ex−1，
令 fx=0，x=ln2，
此时 1 个零点，不合题意；
（ii）当 a<0 时，由（1）可知，fx 在 −∞,0 上为减函数，fx 在 0,+∞ 上为增函数，
因为 fx 有两个零点，必有 f0=−a−12<0，即 a>−12，
注意到 f1=12e2+a−a+1e=12e2−e+a1−e>0，
所以，当 x∈0,1 时，fx 有 1 个零点；
当 x<0 时，fx=ax+ex12ex−a−1>ax−a+1ex>ax−a+1，
取 x0<1+1a<0，则 fx0>0，
所以，当 x∈x0,0 时，fx 有 1 个零点；
所以，当 −12（iii）当 a=1 时，fx 在 −∞,+∞ 上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；
（iv）当 0 fx 在 lna,0 上为减函数；
fx 在 0,+∞ 上为增函数；
flna=12e2lna−a+1elna+alna=12a2−a2+alna=alna−12a−1，
因为 lna−12a−a<0，
所以 flna<0，
此时，fx 最多有 1 个零点，不合题意；
（v）当 a>1 时，fx 在 −∞,0 上为增函数，
fx 在 0,lna 上为减函数，
fx 在 lna,+∞ 上为增函数，
因为 f0=12−a−1=−a−12<0，
此时，fx 最多有 1 个零点，不合题意．
综上所述，若 fx 有两个零点，则 a 的取值范围是 −12,0．
29. fx=3x2+2x−aa+2，则 fʹx=6x+2，
由 fʹx=0 得 x=−13，
当 x∈−1,−13 时，fʹx<0；
当 x∈−13,1 时，fʹx>0，
所以 fxmin=f−13=−a2−2a−13，
又由题意可知，fx 的值域是 −13,6 的子集，
所以 f−1≤6，−a2−2a−13≥−13，f1≤6，
解得实数 a 的取值范围是 −2,0．
30. （1） 由函数 fx=lnx+aex 可知，fʹx=1x+aex，x>0，
因为 y=fx 在 x=1 处切线平行于直线 y=2x，
则有 fʹ1=1+ae=2，
解得 a=1e．
（2） hx=fx−gx=lnx+aex−axex，x>0，
所以 hʹx=1x+aex−a1+xex=1−ax2exx，
令 mx=1−ax2ex，则 mʹx=−a2xex+x2ex，
由 01 可知，mʹx<0 恒成立，
即 mx 在 0,+∞ 上单调递减，
又 m1=1−ae>0 且 m1a=1−aln1a2⋅1a=1−ln1a2<0，
所以 mx=0 在 0,+∞ 内有唯一解，
从而 hʹx=0 在 0,+∞ 内有唯一解，不妨设为 x0，
则 10，
当 x∈x0,+∞ 时，hʹx<0，
所以 hx 在 0,x0 内递增，在 x0,+∞ 内递减，
所以 hx 在 x=x0 处取极大值，
令 φx=lnx−x+1，则当 x>1 时，φʹx=1x−1<0，
即 φx 在 1,+∞ 内递减，
所以当 x>1 时，φx<φ1=0，即 lnx所以
hln1a=lnln1a+a1−ln1aeln1a=lnln1a−ln1a+1=φln1a<0.
又因为 hx0>h1=0，
所以 hx 在 x0,+∞ 内有唯一零点，
又 hx 在 0,x0 内有唯一零点 1，
所以 hx 在 0,+∞ 内恰有两个零点．
（3） 由（2）及题意，hʹx1=0,hx2=0,
则 ax12ex1=1,lnx2=ax2−1ex2,
从而 lnx2=x2−1x12ex2−x1，
即 ex2−x1=x12lnx2x2−1，
所以当 x>1 时，lnxx1>1，
所以 ex2−x1两边取对数，得 lnex2−x1即 x2−x1<2lnx1<2x1−1，
整理得 3x1−x2>2．