高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时导学案

《6.4.3余弦定理、正弦定理》

 第2课时  正弦定理 

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题1】　　＝＝＝c.

【问题2】　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

（二）正弦定理

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝。

拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.

2.正弦定理的变形形式　

设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(4)＝＝＝.

【思考1】　实现三角形中边角关系的互化.

【思考2】不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

【做一做】1.　D2.　A    3.　2

（三）典型例题

【例1】解　根据正弦定理，得a＝＝＝10.

又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

所以b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋).

【巩固练习1】解　因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，

由正弦定理＝，得b＝＝＝，故所求的最短边长为.

【例2】 解 由正弦定理＝，知sin A＝＝，

∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝＝＝；

当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝＝＝.

故当A＝60°时，C＝75°，c＝；当A＝120°时，C＝15°，c＝.

【巩固练习2】解　由正弦定理，得sin C＝＝＝，

又c>a，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝－1.

【例3】解 由正弦定理＝＝＝2R得sin A＝，sin B＝，sin C＝.

∵bsin B＝csin C，∴b·＝c·，∴b2＝c2，∴b＝c.

∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴()2＝()2＋()2，

∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，

∴△ABC为等腰直角三角形．

【巩固练习3】解析　(1)由正弦定理＝，得＝.

又acos B＝bcos A，所以＝，

所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，

即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0，

∵A，B是三角形内角，

所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.

(2)由正弦定理＝，得＝.

又acos A＝bcos B，所以＝，

所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，

所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，

∵A，B为三角形内角，

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

答案　(1)等腰　(2)等腰或直角

（四）操作演练  素养提升

答案 1.B    2.B   3. 　A   4.　60°或120°