专题1.12 有理数的加法（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.12   有理数的加法（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；

2．理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．

2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．

特别说明：利用法则进行加法运算的步骤：

(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．

(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．

(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．

要点二、

3.运算律：

特别说明：交换加数的位置时，不要忘记符号．

　【典型例题】

类型一、有理数的加法运算 

1．（2019·全国七年级课时练习）计算：

（1）；   （2）；

（3）；  （4）.

【答案】（1）（2）（3）（4）6

 【分析】

（1）先去括号和求绝对值，再根据有理数的加法进行计算即可得到答案.

（2）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；

（3）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；

（3）根据加法交换律对进行变形，再根据有理数的加法运算法则进行求解，即可得到答案；

 解 ：（1）原式.

（2）原式.

（3）原式.

（4）原式.

【点拨】本题考查有理数的加法和加法交换律，解题的关键是掌握有理数的加法和加法交换律.

举一反三：

【变式1】 （2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：

（1）23＋（－17）＋6＋（－22）

（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）

【答案】（1）－10  （2）－3

【分析】根据有理数的加法法则（1）、（2）进行计算

解：（1）23＋（－17）＋6＋（－22）

=29+（-39）

=-（39-29）

=-10

（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）

=（-9）+6

=-（9-6）

=-3

【点拨】本题考查的是有理数的加法，关键是要掌握加法法则．

【变式2】（2018·全国七年级课时练习）计算：

（1）15＋（－22） （2）（－13）＋（－8）  （3）（－0.9）＋1.51  （4）

【答案】（1）－7，（2）－21，（3）0.61，（4）－

【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可.

解：（1）原式=-（22-15）=-7；

（2）原式=-（13+8）=-21；

（3）原式=1.51-0.9=0.61；

（4）原式=.

【点拨】熟记“有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号作为和的符号，再把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号作为和的符号，再用较大的绝对值减较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为0”是解答本题的关键.

 类型二、有理数加法运算中的符号问题

2．（2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学）计算： (＋15)＋(－20)＋(＋28)＋(－10)＋(－5)＋(－7)；

【答案】1

【分析】化简符号，再作加减法．

解：原式=15-20+28-10-5-7

=1

【点拨】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握运算法则．

举一反三：

5．【变式1】（2017·弥勒市江边中学七年级期末）

计算：（1）12－(-18)＋(-7)－15    

（2）（1﹣﹣）×（﹣1）

【答案】（1）8；（2）

【解析】试题解析：先去括号，再进行加减运算即可求解；

（2）先把括号里的进行通分计算或利用乘法对加法的分配律进行计算即可.

试题解析（1）原式=12+18-7-15 

=30 - 22       

=8         

（2）原式=

=

=

=﹣．

【变式2】 （2018·北京七年级期中）计算

（1）计算，根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据.

=   

=        运算依据：加法__________律；

=    运算依据：加法__________律；

=           

=__________           法则：绝对值不相等的异号两数相加，取____________________________的符号，并用______________________________. 

（2）；            

（3）．

【答案】（1）交换，结合，-10，绝对值较大的加数，较大的绝对值减去较小的绝对值（2）2（3）-

【分析】（1）根据有理数加法的运算法则解得即可；（2）根据有理数乘法分配律计算即可；（3）根据有理数混合运算法则计算即可.

解：（1）计算，

            =   

=        运算依据：加法交换律；

=    运算依据：加法结合律；

= 

=-10

法则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

（2）

=+3.57

=（1.43+3.57）

=5

=2.

（3）

=  -4-1.5（）

=-4+

=.

【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式3】

类型三、有理数加法运算在生活中的应用

3、（2019·贵阳市清镇养正学校七年级月考）检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正,向西为负,某天自A地出发, 到收工时,行走记录为(单位:千米):

 +8、-9、+4、+7、-2、-10、+18、-3、+7、+5

回答下列问题:

(1)收工时在A地的哪边?距A地多少千米?

(2)若每千米耗油0.3升,问从A地出发到收工时,共耗油多少升?

【答案】（1）收工时在A地的东边距A地25千米；（2）从出发到收工共耗油21.9升．

【分析】

（1）向东为正，向西为负，将从A地出发到收工时行走记录相加，如果是正数，检修小组在A地东边；如果是负数，检修小组在A地西边；

（2）将每次记录的绝对值相加得到的值×0.3升就是从出发到收工时共耗油多少升．

解：（1）+8-9+4+7-2-10+18-3+7+5=8+4+7+18+7+5-9-2-10-3=25，

答：收工时在A地的东边，距A地25米；

（2）8+9+4+7+2+10+18+3+7+5=73（千米），

73×0.3=21.9（升），

答：共耗油21.9升．

举一反三：

【变式1】（2020·甘州中学七年级月考）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣3（单位：元）；

请通过计算说明：

（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？

（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？

【答案】（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了36元；

（2）每套儿童服装的平均售价是54.5元．

【解析】

试题分析：(1)将数据求和，就是和55元偏离的值，用总价减去成本就是盈利.

(2)用总售价除以总件数，就是平均售价.

试题解析：

（1）售价：55×8+（2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣3）=440﹣4=436，

盈利：436﹣400=36（元）；

答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了36元；

（2）平均售价：436÷8=54.5（元），

答：每套儿童服装的平均售价是54.5元．

【变式2】（2021·全国七年级）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：+10，﹣2，+5，﹣6，+12，﹣9，+4，﹣14．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）

（1）守门员最后是否回到球门线上？

（2）守门员离开球门线的最远距离达多少米？

（3）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？

【答案】(1)0回到球线上；（2）19米；（3）三次

【解析】

试题分析：（1）根据有理数的加法，可得答案；

（2）根据有理数的加法，可得每次与球门线的距离，根据有理数的大小比较，可得答案；

（3）根据有理数的大小比较，可得答案．

试题解析：（1）+10-2+5-6+12-9+4-14=0，

答：守门员最后正好回到球门线上；

（2）第一次10，第二次10-2=8，第三次8+5=13，第四次13-6=7，第五次7+12=19，第六次19-9=10，第七次10+4=14，第八次14-14=0，

19＞14＞13＞10＞8＞7，

答：守门员离开球门线的最远距离达19米；

（3）第一次10=10，第二次10-2=8＜10，第三次8+5=13＞10，第四次13-6=7＜10，第五次7+12=19＞10，第六次19-9=10，第七次10+4=14＞10，第八次14-14=0，

答：对方球员有三次挑射破门的机会．

点拨：，（1）利用了有理数的加法运算，（2）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较，（3）利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较．

 类型四、有理数加法运算律

4、（2018·全国七年级课时练习）计算：

【答案】32.9

 【分析】根据绝对值的代数意义结合有理数的加法法则进行计算即可.

解：

=16.2＋

=32.9.

【点拨】熟悉“有理数的加法法则和绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”是解答本题的关键.

举一反三：

【变式1】（2019·全国七年级专题练习）计算题：

（1）23+17+（-7）+（-16）；（2）（-5）+（-3.5）；

（3）（+）+（-）；（4）+（-）+（-1）+.

【答案】（1）17（2）-8.75（3）-（4）-

【解析】试题分析：（1）、（2）、（3）、（4）按照有理数的加法法则进行计算即可.

试题解析：（1）23+17+(－7)+(－16)=40-23=17；

（2）(－5)＋(－3.5)=-（5.25+3.5）=-8.75；

（3） (＋)＋(－)=-（ ）=-；

（4） +(－)+（－1）+=++（-1）+(－)=1+（-1）+(－)=－.

【变式2】（2020·兴化市安丰初级中学七年级期中）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：

（1）在数轴上表示﹣x，|y|；

（2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接，

（3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．

【答案】（1）见解析；（2）﹣x＜y＜0＜|y|＜x；（3）y.

【分析】（1）由数轴可知x>0，y<0，则=-y，根据在数轴上互为相反数的两个数到原点的距离相等即可标出-x、|y|；（2）数轴上左边的数小于右边的数，则可比较大小；（3）根据绝对值的意义进行化简即可．

   解：（1）由数轴可知x>0，y<0，则=-y，则－x，在数轴上表示为：

（2）数轴上左边的数小于右边的数，则-x<y<0<<x；

（3）由数轴可知x+y>0，y-x<0，=-y，

则－+=x+y+y-x-y=y.

【点拨】考核知识点：绝对值化简.数形结合分析问题是关键.