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2021-2022学年江苏省南通市启东市七年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省南通市启东市七年级（上）期末数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了解答题解答时应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104B．589.73×106
C．5.8973×108D．0.58973×108
2．（3分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A．长方体B．三棱柱C．四棱锥D．三棱锥
3．（3分）若3amb3与﹣6a2bn是同类项，则2m+n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
4．（3分）将方程＝1去分母，结果正确的是（ ）
A．2x﹣3（1﹣x）＝6B．2x﹣3（x﹣1）＝6
C．2x﹣3（x+1）＝6D．2x﹣3（1﹣x）＝1
5．（3分）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（3分）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．2
7．（3分）下列有理数中，不可能是方程ax+5＝3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．
8．（3分）如图，∠AOB，∠COD都是直角，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．96里B．48里C．24里D．12里
10．（3分）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）
A．80cm3B．70cm3C．60cm3D．50cm3
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上.
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣（填“＜”或“＞”）．
12．（3分）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝ ．
13．（4分）如图，OA的方向是北偏东15度，OB的方向是西偏北50度，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是 ．
14．（4分）计算：﹣99×18＝ ．
15．（4分）某玩具店销售一种玩具，按规定会员购买打八折，非会员购买打九折，同样购买一样玩具，小芳用会员卡比小明不用会员卡购买少花了3元钱，则这种玩具用会员卡购买的价格是 元．
16．（4分）如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是 °．
17．（4分）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为 ．
18．（4分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答.
19．（10分）计算：
（1）（﹣﹣1）×（﹣12）；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2．
20．（10分）某市出租车的收费标准是：乘车3千米内（含3千米）起步价为12.5元，乘车超过3千米，超过3千米的部分每千米收费2.4元．某乘客乘坐出租车x千米．
（1）用含有x的代数式表示该乘客的付费y元；
（2）如果该乘客乘坐10千米，应付费多少元？
21．（10分）解方程：
（1）2（x﹣1）＝6﹣（x﹣4）；
（2）＝2﹣．
22．（10分）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： ．
23．（10分）（1）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2）．其中x＝，y＝﹣；
（2）设A＝3a2+4ab+5，B＝a2﹣2ab．当a，b互为倒数时，求A﹣3B的值．
24．（12分）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
25．（13分）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 ，出发时刻 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？
26．（15分）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为 ；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为 ；
（2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
2021-2022学年江苏省南通市启东市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上.
1．（3分）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104B．589.73×106
C．5.8973×108D．0.58973×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将589 730 000用科学记数法表示为：5.8973×108．
故选：C．
2．（3分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A．长方体B．三棱柱C．四棱锥D．三棱锥
【分析】由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体．
【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体为四棱锥．
故选：C．
3．（3分）若3amb3与﹣6a2bn是同类项，则2m+n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵3amb3与﹣6a2bn是同类项，
∴m＝2，n＝3，
2m+n＝4+3＝7．
故选：D．
4．（3分）将方程＝1去分母，结果正确的是（ ）
A．2x﹣3（1﹣x）＝6B．2x﹣3（x﹣1）＝6
C．2x﹣3（x+1）＝6D．2x﹣3（1﹣x）＝1
【分析】根据等式的性质，把方程＝1的等号两边同时乘6，判断出将方程＝1去分母，结果正确的是哪个即可．
【解答】解：将方程＝1去分母，结果正确的是：2x﹣3（1﹣x）＝6．
故选：A．
5．（3分）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
6．（3分）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．2
【分析】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．
【解答】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，
故选：D．
7．（3分）下列有理数中，不可能是方程ax+5＝3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．
【分析】根据一元一次方程的解定义作答．
【解答】解：观察选项，只有当x＝0时，等式ax+5＝3不成立．
故选：B．
8．（3分）如图，∠AOB，∠COD都是直角，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故①正确．
②只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°；
故②错误．
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD；
故③正确．
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故④正确．
故选：C．
9．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．96里B．48里C．24里D．12里
【分析】设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，根据六天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，
依题意，得：4x+2x+x+x+x+x＝378，
解得：x＝48．
故选：B．
10．（3分）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）
A．80cm3B．70cm3C．60cm3D．50cm3
【分析】设瓶子的容积为V cm3，利用瓶子的容积﹣瓶内空气的体积＝瓶内水的体积，即可得出关于V的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设瓶子的容积为V cm3，
依题意得：V﹣10×（7﹣5）＝10×4，
解得：V＝60．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上.
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣（填“＜”或“＞”）．
【分析】根据两负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．
【解答】解：|﹣|＝，|﹣|＝，
﹣，
故答案为：＞．
12．（3分）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝ ．
【分析】直接利用多项式系数与次数确定方法得出3m﹣1＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，
∴3mxy﹣xy＝0，
则3m﹣1＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，OA的方向是北偏东15度，OB的方向是西偏北50度，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是 北偏东70° ．
【分析】根据方位角的概念及互余的角求解即可．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB＝90°﹣50°+15°＝55°，OC的方向是北偏东15°+55°＝70°；
故答案为：北偏东70°．
14．（4分）计算：﹣99×18＝ ﹣1799 ．
【分析】首先把﹣99变为﹣100+，再用乘法分配律进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣100+）×18，
＝﹣100×18+×18，
＝﹣1800+1，
＝﹣1799．
故答案为：﹣1799．
15．（4分）某玩具店销售一种玩具，按规定会员购买打八折，非会员购买打九折，同样购买一样玩具，小芳用会员卡比小明不用会员卡购买少花了3元钱，则这种玩具用会员卡购买的价格是 24 元．
【分析】根据题意表示出打八折以及打九折后玩具的价格，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设这种玩具原价是x元，根据题意可得：
0.9x﹣0.8x＝3，
解得：x＝30，
∴0.8x＝24（元）
答：这种玩具用会员卡购买的价格是24元．
故答案为：24．
16．（4分）如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是 25 °．
【分析】由点O在直线AE上，得∠AOE＝180°．由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠AOE＝90°．由∠DOB是直角，根据同角的余角相等得∠AOB＝∠COD，从而解决此题．
【解答】解：∵点O在直线AE上，
∴∠AOE＝180°．
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝90°．
∴∠AOB+∠BOC＝90°．
∵∠DOB是直角，
∴∠DOB＝∠BOC+∠COD＝90°．
∴∠AOB＝∠1＝25°．
故答案为：25．
17．（4分）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为 4或16 ．
【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．
【解答】解：①如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝DC+CB
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC＝AC＝5
∴AC＝10
∴AD＝AC﹣DC＝7
∴DC+CB＝7
∴BC＝4；
②如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝DC+CA
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC＝AC＝5
∴AC＝10
∴AC+DC＝13
∴BD＝13
∴BC＝BD+DC＝16．
综上所述，BC的长为4或16．
故答案为4或16．
18．（4分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
【解答】解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON＝∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答.
19．（10分）计算：
（1）（﹣﹣1）×（﹣12）；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2．
【分析】（1）利用有理数的乘法的分配律进行运算即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）（﹣﹣1）×（﹣12）
＝×（﹣12）﹣×（﹣12）﹣1×（﹣12）
＝﹣3+4+12
＝13；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2
＝﹣16+（﹣8）﹣×
＝﹣16﹣8﹣1
＝﹣24﹣1
＝﹣25．
20．（10分）某市出租车的收费标准是：乘车3千米内（含3千米）起步价为12.5元，乘车超过3千米，超过3千米的部分每千米收费2.4元．某乘客乘坐出租车x千米．
（1）用含有x的代数式表示该乘客的付费y元；
（2）如果该乘客乘坐10千米，应付费多少元？
【分析】（1）分x≤3和x＞3两种情况分类讨论，即可得出结果；
（2）把x＝10代入计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）当x≤3时，y＝12.5，
当x＞3时，y＝12.5+（x﹣3）×2.4＝5.3+2.4x；
（2）当x＝10时，y＝5.3+2.4×10＝29.3，
∴该乘客乘坐10千米，应付费29.3元．
21．（10分）解方程：
（1）2（x﹣1）＝6﹣（x﹣4）；
（2）＝2﹣．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：2x﹣2＝6﹣x+4，
移项，可得：2x+x＝6+4+2，
合并同类项，可得：3x＝12，
系数化为1，可得：x＝4．
（2）去分母，可得：3y+1＝8﹣2（2y﹣1），
去括号，可得：3y+1＝8﹣4y+2，
移项，可得：3y+4y＝8+2﹣1，
合并同类项，可得：7y＝9，
系数化为1，可得：y＝．
22．（10分）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： 两点之间，线段最短 ．
【分析】（1）、（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接CF交OE于P；
（4）利用两点之间线段最短求解．
【解答】解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点P为所作；
（4）连接FC交OE于P，则根据两点之间，线段最短可判断此时PC+PF最小．
答案为：两点之间，线段最短．
23．（10分）（1）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2）．其中x＝，y＝﹣；
（2）设A＝3a2+4ab+5，B＝a2﹣2ab．当a，b互为倒数时，求A﹣3B的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可得；
（2）利用倒数的性质得到ab＝1，代入计算即可求出所求．
【解答】解：（1）原式＝5x2﹣6y2﹣12xy+2y2﹣5x2
＝﹣4y2﹣12xy
当，时，原式＝＝1；
（2）A﹣3B＝（3a2+4ab+5）﹣3 （a2﹣2ab）
＝3a2+4ab+5﹣3 a2+6ab
＝10ab+5
当a，b互为倒数时，所以ab＝1，原式＝15
24．（12分）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；
∴图中∠AOB的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°．
∴α＝15°，
∴∠BOC＝2α＝30°．
25．（13分）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 相同 ，出发时刻 不同 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？
【分析】（1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同，但出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；
（2）可设A，B两地之间的距离为s，而两车同时到达终点，于是可列方程﹣1＝，解方程即可求出两地距离；
（3）当高铁出发后，两车相距100km可以分追及之前与追及之后两种情况为考虑，但同时也要考虑两种情况的存在性，当高铁没有出发时，也存在两车相距100km是时刻．
【解答】解：（1）车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同；
两车出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；
故答案为相同，不同．
（2）设A，B两地之间的距离为s，根据题意可得
﹣1＝
解得s＝600
答：A，B两地之间的距离为600km．
（3）设在高铁出发t小时后两车相距100km，分追及前与追及后两种情况
①200（t+1）﹣300t＝100 解得 t＝1；
②300t﹣200（t+1）＝100 解得t＝3
但是在（2）的条件下，600÷300＝2
即高铁仅需2小时可到达B地，所以第②种情况不符合实际，应该舍去．
当高铁没有出发时，设动车出发x小时后两车相距100km，
200x＝100，
∴x＝，
答：在（2）的条件下，在高铁出发1小时两车相距100km或动车出发小时后两车相距100km．
26．（15分）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为 1 ；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为 ﹣4或2或8 ；
（2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【分析】（1）①分别求出OA、OB的长，比较大小，根据点到线段的“绝对距离”的定义，OA、OB的长度中较小数即为所求；
②分三种情况：点M在点A的左边；点M在点A、B之间；点M在点B的右边；
（2）求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①0＜t≤；②＜t≤；③＜t≤5；④t＞5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①∵数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
∴OA＝1，OB＝5，
而1＜5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1．
故答案为1；
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA＜MB，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴﹣1﹣m＝3，
∴m＝﹣4，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵MA＝m+1，MB＝5﹣m，
如果m+1＝3，那么m＝2，此时5﹣m＝3，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB＜MA，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴m﹣5＝3，
∴m＝8，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8；
（2）点P运动到点A时需要的时间为：秒，点B运动到点A时需要的时间为：5秒，点P、点B相遇需要的时间为：秒．
移动的时间为t（t＞0）秒，点P表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为2﹣t．
分四种情况：
①当0＜t≤时，PA＜PB，
∵PA＝﹣3﹣（﹣6+2t）＝3﹣2t＝2，
∴t＝，符合题意；
②当＜t≤时，
PA＝﹣6+2t﹣（﹣3）＝2t﹣3，PB＝2﹣t﹣（﹣6+2t）＝8﹣3t，
如果2t﹣3＝2，t＝，此时8﹣3t＝＜2，不合题意，舍去；
如果8﹣3t＝2，t＝2，此时2t﹣3＝1＜2，不合题意，舍去；
③当＜t≤5时，PB＜PA，
∵PB＝（﹣6+2t）﹣（2﹣t）＝3t﹣8＝2，
∴t＝，符合题意；
④当t＞5时，PA＜PB，
∵PA＝（﹣6+2t）﹣（﹣3）＝2t﹣3＝2，
∴t＝＜5，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为或．
1．（3分）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104B．589.73×106
C．5.8973×108D．0.58973×108
2．（3分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A．长方体B．三棱柱C．四棱锥D．三棱锥
3．（3分）若3amb3与﹣6a2bn是同类项，则2m+n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
4．（3分）将方程＝1去分母，结果正确的是（ ）
A．2x﹣3（1﹣x）＝6B．2x﹣3（x﹣1）＝6
C．2x﹣3（x+1）＝6D．2x﹣3（1﹣x）＝1
5．（3分）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．（3分）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．2
7．（3分）下列有理数中，不可能是方程ax+5＝3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．
8．（3分）如图，∠AOB，∠COD都是直角，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．96里B．48里C．24里D．12里
10．（3分）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）
A．80cm3B．70cm3C．60cm3D．50cm3
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上.
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣（填“＜”或“＞”）．
12．（3分）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝ ．
13．（4分）如图，OA的方向是北偏东15度，OB的方向是西偏北50度，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是 ．
14．（4分）计算：﹣99×18＝ ．
15．（4分）某玩具店销售一种玩具，按规定会员购买打八折，非会员购买打九折，同样购买一样玩具，小芳用会员卡比小明不用会员卡购买少花了3元钱，则这种玩具用会员卡购买的价格是 元．
16．（4分）如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是 °．
17．（4分）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为 ．
18．（4分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答.
19．（10分）计算：
（1）（﹣﹣1）×（﹣12）；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2．
20．（10分）某市出租车的收费标准是：乘车3千米内（含3千米）起步价为12.5元，乘车超过3千米，超过3千米的部分每千米收费2.4元．某乘客乘坐出租车x千米．
（1）用含有x的代数式表示该乘客的付费y元；
（2）如果该乘客乘坐10千米，应付费多少元？
21．（10分）解方程：
（1）2（x﹣1）＝6﹣（x﹣4）；
（2）＝2﹣．
22．（10分）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： ．
23．（10分）（1）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2）．其中x＝，y＝﹣；
（2）设A＝3a2+4ab+5，B＝a2﹣2ab．当a，b互为倒数时，求A﹣3B的值．
24．（12分）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
25．（13分）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 ，出发时刻 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？
26．（15分）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为 ；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为 ；
（2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
2021-2022学年江苏省南通市启东市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上.
1．（3分）习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104B．589.73×106
C．5.8973×108D．0.58973×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将589 730 000用科学记数法表示为：5.8973×108．
故选：C．
2．（3分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A．长方体B．三棱柱C．四棱锥D．三棱锥
【分析】由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体．
【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体为四棱锥．
故选：C．
3．（3分）若3amb3与﹣6a2bn是同类项，则2m+n的值为（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵3amb3与﹣6a2bn是同类项，
∴m＝2，n＝3，
2m+n＝4+3＝7．
故选：D．
4．（3分）将方程＝1去分母，结果正确的是（ ）
A．2x﹣3（1﹣x）＝6B．2x﹣3（x﹣1）＝6
C．2x﹣3（x+1）＝6D．2x﹣3（1﹣x）＝1
【分析】根据等式的性质，把方程＝1的等号两边同时乘6，判断出将方程＝1去分母，结果正确的是哪个即可．
【解答】解：将方程＝1去分母，结果正确的是：2x﹣3（1﹣x）＝6．
故选：A．
5．（3分）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
6．（3分）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．2
【分析】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．
【解答】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，
故选：D．
7．（3分）下列有理数中，不可能是方程ax+5＝3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．1D．
【分析】根据一元一次方程的解定义作答．
【解答】解：观察选项，只有当x＝0时，等式ax+5＝3不成立．
故选：B．
8．（3分）如图，∠AOB，∠COD都是直角，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故①正确．
②只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°；
故②错误．
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD；
故③正确．
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故④正确．
故选：C．
9．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．96里B．48里C．24里D．12里
【分析】设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，根据六天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，
依题意，得：4x+2x+x+x+x+x＝378，
解得：x＝48．
故选：B．
10．（3分）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）
A．80cm3B．70cm3C．60cm3D．50cm3
【分析】设瓶子的容积为V cm3，利用瓶子的容积﹣瓶内空气的体积＝瓶内水的体积，即可得出关于V的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设瓶子的容积为V cm3，
依题意得：V﹣10×（7﹣5）＝10×4，
解得：V＝60．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上.
11．（3分）比较大小：﹣ ＞ ﹣（填“＜”或“＞”）．
【分析】根据两负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．
【解答】解：|﹣|＝，|﹣|＝，
﹣，
故答案为：＞．
12．（3分）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝ ．
【分析】直接利用多项式系数与次数确定方法得出3m﹣1＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，
∴3mxy﹣xy＝0，
则3m﹣1＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，OA的方向是北偏东15度，OB的方向是西偏北50度，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是 北偏东70° ．
【分析】根据方位角的概念及互余的角求解即可．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB＝90°﹣50°+15°＝55°，OC的方向是北偏东15°+55°＝70°；
故答案为：北偏东70°．
14．（4分）计算：﹣99×18＝ ﹣1799 ．
【分析】首先把﹣99变为﹣100+，再用乘法分配律进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣100+）×18，
＝﹣100×18+×18，
＝﹣1800+1，
＝﹣1799．
故答案为：﹣1799．
15．（4分）某玩具店销售一种玩具，按规定会员购买打八折，非会员购买打九折，同样购买一样玩具，小芳用会员卡比小明不用会员卡购买少花了3元钱，则这种玩具用会员卡购买的价格是 24 元．
【分析】根据题意表示出打八折以及打九折后玩具的价格，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设这种玩具原价是x元，根据题意可得：
0.9x﹣0.8x＝3，
解得：x＝30，
∴0.8x＝24（元）
答：这种玩具用会员卡购买的价格是24元．
故答案为：24．
16．（4分）如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是 25 °．
【分析】由点O在直线AE上，得∠AOE＝180°．由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠AOE＝90°．由∠DOB是直角，根据同角的余角相等得∠AOB＝∠COD，从而解决此题．
【解答】解：∵点O在直线AE上，
∴∠AOE＝180°．
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝90°．
∴∠AOB+∠BOC＝90°．
∵∠DOB是直角，
∴∠DOB＝∠BOC+∠COD＝90°．
∴∠AOB＝∠1＝25°．
故答案为：25．
17．（4分）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为 4或16 ．
【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．
【解答】解：①如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝DC+CB
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC＝AC＝5
∴AC＝10
∴AD＝AC﹣DC＝7
∴DC+CB＝7
∴BC＝4；
②如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝DC+CA
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC＝AC＝5
∴AC＝10
∴AC+DC＝13
∴BD＝13
∴BC＝BD+DC＝16．
综上所述，BC的长为4或16．
故答案为4或16．
18．（4分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线B的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 5或23 ．
【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
【解答】解：∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON＝∠AOC＝40°，
此时，三角板旋转的角度为90°﹣40°＝50°，
∴t＝50°÷10°＝5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°﹣90°﹣40°＝230°，
∴t＝230°÷10°＝23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答.
19．（10分）计算：
（1）（﹣﹣1）×（﹣12）；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2．
【分析】（1）利用有理数的乘法的分配律进行运算即可；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）（﹣﹣1）×（﹣12）
＝×（﹣12）﹣×（﹣12）﹣1×（﹣12）
＝﹣3+4+12
＝13；
（2）﹣42+（﹣2）3﹣×（﹣）2
＝﹣16+（﹣8）﹣×
＝﹣16﹣8﹣1
＝﹣24﹣1
＝﹣25．
20．（10分）某市出租车的收费标准是：乘车3千米内（含3千米）起步价为12.5元，乘车超过3千米，超过3千米的部分每千米收费2.4元．某乘客乘坐出租车x千米．
（1）用含有x的代数式表示该乘客的付费y元；
（2）如果该乘客乘坐10千米，应付费多少元？
【分析】（1）分x≤3和x＞3两种情况分类讨论，即可得出结果；
（2）把x＝10代入计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）当x≤3时，y＝12.5，
当x＞3时，y＝12.5+（x﹣3）×2.4＝5.3+2.4x；
（2）当x＝10时，y＝5.3+2.4×10＝29.3，
∴该乘客乘坐10千米，应付费29.3元．
21．（10分）解方程：
（1）2（x﹣1）＝6﹣（x﹣4）；
（2）＝2﹣．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：2x﹣2＝6﹣x+4，
移项，可得：2x+x＝6+4+2，
合并同类项，可得：3x＝12，
系数化为1，可得：x＝4．
（2）去分母，可得：3y+1＝8﹣2（2y﹣1），
去括号，可得：3y+1＝8﹣4y+2，
移项，可得：3y+4y＝8+2﹣1，
合并同类项，可得：7y＝9，
系数化为1，可得：y＝．
22．（10分）如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据： 两点之间，线段最短 ．
【分析】（1）、（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接CF交OE于P；
（4）利用两点之间线段最短求解．
【解答】解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点P为所作；
（4）连接FC交OE于P，则根据两点之间，线段最短可判断此时PC+PF最小．
答案为：两点之间，线段最短．
23．（10分）（1）先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2）．其中x＝，y＝﹣；
（2）设A＝3a2+4ab+5，B＝a2﹣2ab．当a，b互为倒数时，求A﹣3B的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可得；
（2）利用倒数的性质得到ab＝1，代入计算即可求出所求．
【解答】解：（1）原式＝5x2﹣6y2﹣12xy+2y2﹣5x2
＝﹣4y2﹣12xy
当，时，原式＝＝1；
（2）A﹣3B＝（3a2+4ab+5）﹣3 （a2﹣2ab）
＝3a2+4ab+5﹣3 a2+6ab
＝10ab+5
当a，b互为倒数时，所以ab＝1，原式＝15
24．（12分）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．
【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；
∴图中∠AOB的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴6α＝90°．
∴α＝15°，
∴∠BOC＝2α＝30°．
25．（13分）以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 相同 ，出发时刻 不同 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？
【分析】（1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同，但出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；
（2）可设A，B两地之间的距离为s，而两车同时到达终点，于是可列方程﹣1＝，解方程即可求出两地距离；
（3）当高铁出发后，两车相距100km可以分追及之前与追及之后两种情况为考虑，但同时也要考虑两种情况的存在性，当高铁没有出发时，也存在两车相距100km是时刻．
【解答】解：（1）车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同；
两车出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；
故答案为相同，不同．
（2）设A，B两地之间的距离为s，根据题意可得
﹣1＝
解得s＝600
答：A，B两地之间的距离为600km．
（3）设在高铁出发t小时后两车相距100km，分追及前与追及后两种情况
①200（t+1）﹣300t＝100 解得 t＝1；
②300t﹣200（t+1）＝100 解得t＝3
但是在（2）的条件下，600÷300＝2
即高铁仅需2小时可到达B地，所以第②种情况不符合实际，应该舍去．
当高铁没有出发时，设动车出发x小时后两车相距100km，
200x＝100，
∴x＝，
答：在（2）的条件下，在高铁出发1小时两车相距100km或动车出发小时后两车相距100km．
26．（15分）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为 1 ；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为 ﹣4或2或8 ；
（2）在数轴上，点P表示的数为﹣6，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【分析】（1）①分别求出OA、OB的长，比较大小，根据点到线段的“绝对距离”的定义，OA、OB的长度中较小数即为所求；
②分三种情况：点M在点A的左边；点M在点A、B之间；点M在点B的右边；
（2）求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①0＜t≤；②＜t≤；③＜t≤5；④t＞5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①∵数轴上原点为O，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
∴OA＝1，OB＝5，
而1＜5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1．
故答案为1；
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA＜MB，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴﹣1﹣m＝3，
∴m＝﹣4，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵MA＝m+1，MB＝5﹣m，
如果m+1＝3，那么m＝2，此时5﹣m＝3，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB＜MA，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴m﹣5＝3，
∴m＝8，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8；
（2）点P运动到点A时需要的时间为：秒，点B运动到点A时需要的时间为：5秒，点P、点B相遇需要的时间为：秒．
移动的时间为t（t＞0）秒，点P表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为2﹣t．
分四种情况：
①当0＜t≤时，PA＜PB，
∵PA＝﹣3﹣（﹣6+2t）＝3﹣2t＝2，
∴t＝，符合题意；
②当＜t≤时，
PA＝﹣6+2t﹣（﹣3）＝2t﹣3，PB＝2﹣t﹣（﹣6+2t）＝8﹣3t，
如果2t﹣3＝2，t＝，此时8﹣3t＝＜2，不合题意，舍去；
如果8﹣3t＝2，t＝2，此时2t﹣3＝1＜2，不合题意，舍去；
③当＜t≤5时，PB＜PA，
∵PB＝（﹣6+2t）﹣（2﹣t）＝3t﹣8＝2，
∴t＝，符合题意；
④当t＞5时，PA＜PB，
∵PA＝（﹣6+2t）﹣（﹣3）＝2t﹣3＝2，
∴t＝＜5，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为或．
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