专题1.3 有理数（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
展开专题1.3 有理数（知识讲解）
【学习目标】
1．理解有理数的概念；
2. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想；
3. 理解并识记一些特殊的数。
【要点梳理】
有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
特别说明：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、有理数概念的理解
1、（2020·天津市宝坻区第二中学七年级月考）把下列各数分别填入相应的
（1）正数集合： { …}；
（2）负数集合： { …}；
（3）整数集合： { …}；
（4）有理数集合：{ …}．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）正数比0大；
（2）负数比0小；
（3）整数包含正整数、0、负整数；
（4）整数和分数统称为有理数．
解：（1）正数集合：；
（2）负数集合：；
（3）整数集合：；
（4）有理数集合：．
【点拨】本题考查有理数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】 （2018·武汉市南湖中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合内：
5，，0， 0.56， －3， ， －0.0001， ＋2， －600， π
正整数集合：{ …}；
负整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
【答案】见详解．
【分析】根据正整数、负整数、正分数、负分数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，则
正整数集合：{ 5、＋2、…}；
负整数集合：{－3、－600、…}；
正分数集合：{0.56、、…}；
负分数集合：{、－0.0001、…}．
【点拨】本题考查了正整数、负整数、正分数、负分数的定义，解题的关键是掌握有理数的分类进行解题．
【变式2】 （2020·成都市双庆中学校七年级月考）将下列各数填在相应的大括号里
，，，，，，，，，，，，
①负分数集合：{___________}
②非负整数集合：{___________}
③正有理数集合；{_____________}
【答案】①；②；③．
【分析】把小于0的有限小数、无限循环小数、分数填入；把0及正的整数填入；
把大于0且不包括的所有数填入．
解：负分数集合：
非负整数集合：
正有理数集合：
【点拨】本题考查有理数的概念及分类．注意3.14是有理数，不是有理数；有限小数和无限循环小数是分数，是有理数．
类型二、0的意义
2．（2019·全国七年级课时练习）在表中符合条件的空格里画上“√”.
【答案】
【分析】根据有理数的分类，分别对：-8，-2.25，，0进行分类判断即可.
解：-8属于有理数、整数；-2.25属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；0属于有理数、整数、自然数.
【点拨】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.
举一反三：
【变式1】（2021·全国七年级）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）
【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．
解：①零既不是正数也不是负数；
②零小于正数，大于负数；
③零不能做分母；
④零是最小的非负数；
⑤零的相反数是零;
⑥任何不为零的数的零次幂为1；
⑦零乘以任何数都是零等．
【点拨】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．
【变式2】 （2019·四川巴中市·七年级期中）把下列各数填在相应的括号内：
+5，+，0.31，0，-1.3，，62.6，-8.3，，7，100
（1）正整数：（ ）
（2）分数：（ ）
（3）非负数：（ ）
【答案】（1）正整数：（ +5， 7，100）；（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）；（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100）
【分析】根据正整数，分数和非负数的意义进行判断即可，注意0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0．
解：（1）正整数：（ +5， 7，100）
（2）分数：（ +，0.31， -1.3，，62.6，-8.3， ）
（3）非负数：（+5，+，0.31，0， ，62.6， 7，100）
【点拨】本题考查有理数的分类，掌握0既不是正数也不是负数，有限小数属于分数，非负数即正数和0是本题的解题关键．
类型三、有理数的分类
3、（2020·重庆市江津实验中学校）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内．
（1）正分数集合：｛ …｝
（2）负整数集合：｛ …｝
（3）非负整数集合：｛ …｝
（4）非正数集合：｛ …｝
（5）有理数集合：｛ …｝
【答案】（1）8.6；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】按有理数分类标准挑选即可．
解：（1）正分数集合：｛ 8.6 …｝，
（2）负整数集合：｛ -11，-9 …｝，
（3）非负整数集合：｛ 0， +12 …｝，
（4）非正数集合：，
（5）有理数集合：．
【点拨】本题考查有理数的分类问题，关键是掌握有理数分类的标准，不重复，不遗漏．
举一反三：
【变式1】（2020·邢台市第七中学七年级月考）把下面的有理数填在相应的大括号里：（友情提示：将各数用逗号分开）
5，，0，20%，，
正数集合{ …}；负分数集合{ …}；
整数集合{ …}；正分数集合{ …}．
【答案】正数集合{5，，20%…}；负分数集合{…}；整数集合{5，0，…}；正分数集合{ ，20%…}.
【分析】根据正数、负分数、整数和正分数的定义逐一判断即可．
解：正数集合{5，，20%…}；
负分数集合{…}；
整数集合{5，0，…}；
正分数集合{ ，20%…}.
【点拨】本题考查有理数的分类，掌握正数、负分数、整数和正分数的定义是解题的关键．
【变式2】（2020·滨州市滨城区滨北街道办事处北城英才学校七年级月考）把下列各数填在相应的括号里：﹣，﹣1，0，+6，﹣1.08，，10%，0.33…，4．
正数集合：{ }
负数集合：{ }
自然数集合：{ }
分数集合：{ }
非负整数集合：{ }
【答案】+6，，10%，0.33…；﹣，﹣1，﹣1.08；0，+6，4；﹣，﹣1.08，，10%，0.33…；0，+6，4．
【分析】根据正数、负数、自然数、分数、非负整数的定义将对应的数字填入括号即可．
解：正数集合：{+6，，10%，0.33……}
负数集合：{﹣，﹣1，﹣1.08…}
自然数集合：{0，+6，4…}
分数集合：{﹣，﹣1.08，，10%，0.33……}
非负整数集合：{0，+6，4…}
【点拨】本题主要考查有理数的分类，熟记正数、负数、自然数、分数、非负整数的定义是解题关键．
类型四、带“非”的有理数
4．（2020·广西河池市·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号里．
－0.78，3，，－10，0，－4．
正数：{ }；
分数：{ }；
非负整数：{ }；
【答案】正数：；分数：；非负整数：．
【分析】根据正数、分数、非负整数的定义即可得．
解：正数：；
分数：；
非负整数：．
【点拨】本题考查了正数、分数、非负整数，掌握理解有理数的概念和分类是解题关键．
举一反三：
【变式1】 （2020·成都市第四十中学校七年级月考）把下列各数按要求分类：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ，⑩ ．．．（填序号）
整数集合：｛ ｝．
分数集合：｛ ｝．
正数集合：｛ ｝．
非负有理数集合：｛ ｝．
【答案】整数集合：①③⑥⑧；分数集合：②④⑤⑦⑨；正数集合：③④⑥⑦⑨⑩；非负有理数集合：③④⑥⑦⑧⑨⑩．
【分析】根据整数、分数和有理数的定义逐一判断即可．
解：由题意得：
整数集合：①③⑥⑧；
分数集合：②④⑤⑦⑨；
正数集合：③④⑥⑦⑨⑩；
非负有理数集合：③④⑥⑦⑧⑨⑩．
【点拨】本题考查了有理数的分类，题目较为基础，关键是掌握有理数的两种分类方式：按定义分类和按正负分类．
【变式2】 （2019·广西南宁市·南宁三中七年级期中）将下列各数填入适当的括号内
-7，，-0.96，2019，0，，3.14，-50
（1）负分数集合：{ ……}
（2）整数集合：{ ……}
（3）非负整数集合：{ ……}
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】分数和正数统称有理数,整数包括正整数,0,负整数;分数包括有限小数和无限循环小数;非负整数是指正整数和0.
解：（1）负分数集合:
（2）整数集合:
（3）非负整数集合:
【点拨】本题主要考查有理数的分类,解决本题的关键是要熟练掌握有理数的分类.
