专题3.1 从算式到方程（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题3.1  从算式到方程（知识讲解）

【学习目标】

1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；

2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；

3. 理解并掌握等式的两个基本性质.

【要点梳理】

要点一、方程的有关概念

1．定义：含有未知数的等式叫做方程.

特别说明：

判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．

2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

特别说明：

判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．

3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.

要点二、一元一次方程的有关概念

定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

特别说明： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．

要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：

如果，那么；如果，那么.

特别说明：

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；

 (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．

【典型例题】

知识点一、一元一次方程的概念 

1．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：

（1）m的值；

（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．

【答案】（1）m=5；（2）23．

【分析】（1）根据一元一次方程的定义结合已知条件分析解答即可；

（2）先将原式化简，再将（1）中所得m的值代入计算即可.

解：（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解得m=5；

（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，

当m=5时，原式=6×5﹣7=23．

【点拨】熟悉“一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程，其一般形式为：（其中是常数，且）”是解答本题的关键.

举一反三：

【变式1】 已知是关于的一元一次方程，求的值．

【答案】5

【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m和n的方程，求出方程的解得到m，n的值，然后计算即可．

 解：∵是关于的一元一次方程，

∴2m−8＝0，3n−2＝1，

解得：m＝4，n＝1，

∴.

【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．

【变式2】已知是关于x的一元一次方程，求m的值．

【答案】

【分析】根据一元一次方程的定义，令二次项系数等于0，一次项系数不等于0列式求解即可．

解：根据题意得，且，
解得，
故答案为：．

【点拨】本题考查了一元一次方程的定义以及解绝对值方程，需要注意一次项的系数不等于0的条件．

【变式3】 已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：

（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？

（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？

【答案】（1）当m≠n时，方程是一元二次方程；（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程

试题分析：（1）一元二次方程要求最高项次数为2且二次项系数不为0，由题，只要 即可确定方程为一元二次方程.

（2）一元一次方程要求最高项次数为1且一次项系数不为0，所以当方程同时满足 时，即可确定方程为一元一次方程.

试题解析：（1）根据题意得：m－n≠0，解得：m≠n；
（2）根据题意得：，
解得：．

当 且 时，方程是一元一次方程．

点拨：本题考查一元二次方程与一元一次方程的辨析，解题的关键在于清楚一元二次方程的最高项次数为2且二次项系数不为0，而一元一次方程的最高项次数为1且一次项系数不为0.

知识点二、方程的解

2．(1)若关于的方程的解为2，则=           ;

(2)若关于的方程和的解的和为4,求的值.

【答案】（1）1（2）m=5

【分析】

（1）把x=2代入原方程即可求出m的值；

（2）分别解出的解为x=3-m，的解为x=,再根据两个方程的解得和为4可列关于m的方程，解之即可得m的值.

解：（1）把x=2代入原方程得2+m-3=0,解得m=1；

（2）解得x=3-m，

解得x=，

依题意得3-m+=4，

解得m=5.

【点拨】此题主要考察一元一次方程的解，根据题意列出m的方程是解题的关键.

举一反三：

【变式1】已知是方程的解，求关于的方程的解．

【分析】先把代入方程得求得，再将代入方程解方程即可．

解：把代入方程得

解得．

将代入方程中，得

，解得．

【点拨】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换.

【变式2】 检验下列各数是不是方程的解．

（1）；             （2）．

【答案】（1）不是原方程的解；（2）是原方程的解

【分析】将未知数的值代入，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程的解．

解：（1）当时，左边，右边=0，

因为左边≠右边，所以不是原方程的解；

（2）当时，左边=-3，右边=-3，

因为左边=右边，所以是原方程的解．

【点拨】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解是能使方程两边相等的未知数的值．

【变式3】已知关于x的一元一次方程的解是，求k的值．

【答案】的值为2．

 【分析】此题可将代入方程，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值．

解：把代入原方程得：

解得：．

的值为2．

【点拨】此题考查的是一元一次方程的解法，将已知的x的值代入得到关于k的方程是关键．

知识点三、列方程

3、设某数为x，根据下列条件列方程并解方程．

(1)某数的4倍是它的3倍与7的差；

(2)某数的75%与－2的差等于它的一半；

(3)某数的与5的差等于它的相反数．

【答案】（1）4x＝3x－7，x＝－7；（2）75%x－(－2)＝x，x＝－8 ；（3）x－5＝－x，x＝.

【分析】找出题目中的关键字：“倍”，“和”，“差”等，找出等量关系，列出方程．

解：(1)4x＝3x－7，解得x＝－7

(2)75%x－(－2)＝x，解得x＝－8

(3) x－5＝－x，解得x＝.

【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找出题目中的关键字：“差”、“倍”等，根据等量关系列方程．

举一反三：

【变式1】根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程．

（1）从60cm的木条上截去2段同样长的木棒，还剩下10cm长的短木条，截下的每段为多少？

（2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2倍加上10，结果正好是我出生的那个月的总天数，你猜我有几岁？”

【答案】(1) 60－2x=10,是一元一次方程；(2) 2x+10=30，是一元一次方程.

【分析】

(1)根据等量关系:木条截取两段后剩下的长度等于10cm,即可列出方程,

(2)根据等量关系:我的年龄的2倍加上10等于我出生的那个月的总天数,即可列出方程.

解：(1)设截下的每段为xcm,根据题意可列出方程为:60－2x=10,

(2)设小红的岁数为x,根据题意可列出方程为:2x+10=30.

（1）（2）都是一元一次方程.

【变式2】某校七年级的一名学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道题只看到如下字样：“甲、乙两地相距120千米”，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时， ？请你将这道题补充完整，并列出方程．

【答案】答案不唯一．如补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？

设x小时后两车相遇，依题意得：45x+35x=120．

【解析】

【分析】可补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？

设x小时后两车相遇，依题意可列出方程.

【详解】补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？

设x小时后两车相遇，依题意得：45x+35x=120．

【点拨】本题考核知识点：列方程解应用题.解题关键点：找出相等关系列出方程.

【变式3】设未知数，列方程不解答：

(1)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，求男生人数；

(2)五一节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元，求该电器的成本价；

(3)甲、乙两人分别用20元和10元买了一本同样的书，结果营业员找给甲的零钱是找给乙的零钱的6倍，求这本书的价格．

【答案】(1)设男生人数为x元，列方程为：3x＋2(20－x)＝52　

     (2)设该电器的成本价为x，列方程为：(1＋30%)x·80%＝2080　

     (3)设这本书的价格为x元，则20－x＝6(10－x)

【解析】试题分析:(1)根据等量关系:男生植树的棵树加上女生植树的棵树等于总棵树,可列出方程,

(2)根据等量关系:成本价乘以(1+30%),再乘以80%,等于售价,可列出方程,

(3)根据等量关系:找给甲的零钱是找给乙的零钱的6倍,可列出方程.

试题解析:(1)设男生人数为x元,列方程为:3x＋2(20－x)＝52,　

        (2)设该电器的成本价为x,列方程为:(1＋30%)x·80%＝2080,　

        (3)设这本书的价格为x元,列方程为:20－x＝6(10－x).

知识点四、等式的基本性质

4、某天王强对张涛同学说：“我发现5可以等于4．这里有一个方程：5x﹣8=4x﹣8，等式两边同时加上8得5x=4x，等式两边同时除以x得5=4．”请你想一想，王强说的对吗？请简要说明理由．

【答案】不对，理由详见解析.

【分析】

根据等式的基本性质，等式两边除以的未知数也有可能是0，所以不能把等式两边都除以未知数.

解：解：不对．

理由：∵的解为，当两边除以时，即两边除以，

∴不对．

故答案为不对.

【点拨】等式两边除以的数，应保证不为0的情况下结果才依然是等式.

举一反三：

【变式1】老师在黑板上写了一个等式．王聪说，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立．

（1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由；

（2）你能求出当时中x的值吗？

【答案】（1）王聪的说法不正确，见解析；（2）

【分析】

（1）根据等式的性质进行判断即可．

（2）利用代入法求解即可．

解：（1）王聪的说法不正确．

理由：两边除以不符合等式的性质2，因为当时，x为任意实数．

刘敏的说法正确．

理由：因为当时，x为任意实数，所以当时，这个等式也可能成立．

（2）将代入，得，解得．

【点拨】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的性质、等式的性质是解题的关键．

【变式2】利用等式的性质解下列方程.

(1)y+3=2； (2)-y-2=3； (3)9x=8x-6； (4)8m=4m+1。

【答案】(1)-1;(2)-10;(3)-6;(4).

【解析】

【分析】

（1）利用等式的性质1进行求解即可得；

（2）利用等式的性质1、2进行求解即可得；

（3）利用等式的性质1进行求解即可得；

（4）利用等式的性质1、2进行求解即可得.

解：(1)两边同时减去3，得

y+3-3=2-3，

y=-1；

(2)两边同时加2，得

-y-2+2=3+2，

-y=5，

两边同时乘以-2，得

y=-10；

(3)两边同时减去8x，得

9x-8x=8x-6-8x，

x=-6；

(4)两边同时减去4m，得

8m-4m=4m+1-4m，

4m=1，

两边同时除以4，得

m=.

【点拨】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.

等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式；

等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．

【变式3】用等式的性质解方程：

(1)                                  (2)

【答案】（1）11   （2）-4

【分析】（1）根据等式性质，等式两边同时加上同一个数,等式仍成立,即可求解;（2）先根据等式性质1,将等式两边同时减去2,再根据等式性质1,将等式两边同时乘以-4即可求解.

 (1)解：,

,

.

(2)解:,

,

,

,

.

【点拨】本题主要考查等式的基本性质,解决本题的关键是要熟练掌握等式的基本性质.