山东省临清市高中数学全套教学案数学必修1：3.1-1函数的单调性
展开学校：临清实验高中 学科：数学 编写人：赵福征
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）
第一课时 单调性
【教学目标】
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
【教学重点难点】
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．[来源:高考学习网
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．
3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。
变式训练1 函数在上的单调性为 （ ）
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。
变式训练2 若函数在上是增函数，那么 （ ）
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3．16.求证：函数，在区间上是减函数
解：设则
在区间上是减函数。
点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
② 作差f(x1)－f(x2)；[来源:Zxxk.Com]
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
变式训练3.：画出反比例函数的图象．[来源:Zxxk.Com]
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
【板书设计】
一、 函数单调性
二、 典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）
课前预习学案
一、预习目标：
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2.熟记函数单调性的定义
二、预习内容：
1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，
（1）当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 函数
（2）当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 函数
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 | 疑惑内容 |
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课内探究学案
一、学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
学习重点：函数的单调性及其几何意义．
学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
二、学习过程
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：
变式训练1 函数在上的单调性为 （ ）
A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：
变式训练2 若函数在上是增函数，那么 （ ）
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
例3．证明函数在（1，+∞）上为增函数
解：
变式训练3.：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
三、当堂检测
1、函数的单调增区间为 （ ）
A. B. C. D.
2、函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
3、若函数在上是减函数，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.[来源:Z&xx&k.Com]
4、函数的减区间是____________________.
5、若函数在上是减函数，则的取值范围是______.
课后练习与提高
一、 选择题
1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
2、函数的单调减区间是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
3、函数，上的单调性是_____________________.
4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.[来源:学.科.网]
三、解答题：
5、设函数为R上的增函数，令
（1）、求证：在R上为增函数
（2）、若，求证
参考答案
例一 略 变式训练一B
例二 略 变式训练二C
例三
解：设则
变式训练三略
