人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教案设计

【新教材】4.5.2 用二分法求方程的近似解

（人教A版）

本节通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。

课程目标

1.了解二分法的原理及其适用条件.

2.掌握二分法的实施步骤.

3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

数学学科素养

1.数学抽象：二分法的概念；

2.逻辑推理：用二分法求函数零点近似值的步骤；

3.数学运算：求函数零点近似值；

4.数学建模：通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用.

重点：利用二分法求方程的近似解；

难点：利用二分法求方程的近似解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2. 75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

二、预习课本，引入新课

阅读课本144-145页，思考并完成以下问题

1. 二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？？

2. 利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足什么条件？如何根据精确度确定符合要求的近似值.

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[点睛]　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.

第二步，求区间(a，b)的中点c.

第三步，计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．

四、典例分析、举一反三

题型一    二分法概念的理解

例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是                                  （   ）

【答案】C．

【解析】A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.

解题技巧：（二分法的适用条件）

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

跟踪训练一

1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求

解的个数分别为         (　　)

A．4,4　　　  B．3,4

C．5,4                           D．4,3

【答案】D

【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.

题型二   用二分法求方程的近似解

例2 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).

【答案】-2.25

【解析】由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.

解题技巧：（用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图）

1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则:

(1)依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽可能的小,区间的端点尽量为整数).

(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法).

2.利用二分法求函数近似零点的流程图:

跟踪训练二

1. 用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2).

参考数据:

【答案】1.375

【解析】令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0.

∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x+x=4在(1,2)内的近似解可取为1.375.

四、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本155页习题4.5

本节课主要考察二分法概念及应用步骤，明确二分法的应用条件及求函数近似解步骤（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算.